2020泸县五中高一下学期期末模拟考试数学试题含答案

2020年春四川省泸县第五中学高一期末模拟考试

数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．的值是

A． B． C．- D．

2．在中，如果，则角

A． B． C． D．

3．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为

A． B． C． D．

4．已知数列为等差数列，且，则的值为

A． B． C． D．

5．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则的值为

A． B． C． D．

6．在中，已知，且满足，则的面积为

A．1 B．2 C． D．

7．将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得曲线上的点保持其纵坐标不变，横坐标变为倍，得到的曲线对应的函数为

A． B． C． D．

8．关于直线m、n与平面α与β，有下列四个命题：

①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；

③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是

A．①② B．③④ C．①④ D．②③

9．若，则

A． B． C． D．

10．已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=

A．32 B．31 C．30 D．29

11．已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

12．在中，已知，，，点满足，其中，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，则的值是______．

14．在中，,则的面积等于              ．

15．在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.

16．已知在直角梯形中，,,将直角梯形沿折叠成三棱锥，当三棱锥的体积取最大值时，其外接球的体积为__________．

三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知等差数列中，，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）当为何值时，数列的前项和取得最大值？

18．（12分）已知点，向量 

（Ⅰ）若点在第二象限，求实数的取值范围

（Ⅱ）若，判断四边形的形状，并加以证明.

19．（12分）在中，是的中点，是的中点，，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的面积.

20．（12分）设数列的前项和为，已知.

（Ⅰ）求通项公式；

（Ⅱ）求的前项和.

21．（12分）如图，平面，，，，为的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求多面体的体积；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

22．（12分）已知是定义域为上的函数，若对任意的实数，都有：成立，当且仅当时取等号，则称函数是上的凸函数，凸函数具有以下性质：对任意的实数，都有：成立，当且仅当时取等号，设

（Ⅰ）求证：是上的凸函数

（Ⅱ）设，，利用凸函数的定义求的最大值

（Ⅲ）设是三个内角，利用凸函数性质证明

2020年春四川省泸县第五中学高一期末模拟考试

数学试题参考答案

1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．D 7．C 8．D 9．D 10．B 11．D 12．A

13．  14．  15．  16．

17.（1）由题意，等差数列中，，，

则，解得，

所以数列的通项公式为.

（2）法一：，，

，

∴当时，取得最大值．

法二：由（1）知，，∴是递减数列．

令，则，解得.

∵，∴时，，时，.

∴当时，取得最大值．

18．解法一：（Ⅰ）设，由已知得

由得  解得即，

又点在第二象限， 解得 

（Ⅱ）当时，

所以，，

且所以四边形为平行四边形分

又即 所以四边形为矩形

又，

即，所以四边形不是正方形

综上所述，四边形为矩形

解法二：（Ⅰ）同解法一；

（Ⅱ）因为

所以，得

又，，得

，，得

所以四边形为矩形又，

即，所以四边形不是正方形综上所述，四边形为矩形

   (说明：未验相邻两边不相等不扣分)

19．由题

又由余弦定理得，两式相加得 ；

（2）记，，∵，∴，

，，，∴，

∴或.

若，则，故 ，∴；

若，则，∴，∴，∴；

综上所述，面积为或.

21．（Ⅰ）证明：∵平面，

∴平面

∴  ①

又∵，点为边中点

∴  ②

故由①②得平面

（Ⅱ）过点作交延长线于点

∵∴平面∴

，∴

（Ⅲ）延长交延长线于，过点作于，连结

由（Ⅱ）可得：为的平面角

∵∴∴

∵∽∴∴即

∴

20．解：（1）∵，∴，∴，

由得，∴，

从而知，又当时，也符合，

故；

（2）∵，

∴

．

22．（1）设，，则 ，

  又 

，又，

当且仅当时，，上式取得等号，

即成立，其中，，

是上的凸函数.

（2）设，，

是上的凸函数；，，

由凸函数的定义得到，

的最大值为.

（3）在中，，

由凸函数的性质得到．

所以原不等式得证．