2020【KS5U解析】潍坊诸城高一下学期期中考试数学试题含解析

2019—2020学年下学期诊断性检测

高一数学

本试卷共4页.满分150分.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.

3，第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.角的顶点在坐标原点，始边在x轴正半轴上，且终边过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意结合任意角的三角函数值的定义运算即可得解.

【详解】由题意可得.

故选：B.

【点睛】本题考查了任意角三角函数值的定义，考查了运算求解能力，属于基础题.

2.向量、满足，，且向量与的夹角为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平面向量数量积的定义可计算出的值.

【详解】，且向量与的夹角为，所以，.

故选：A.

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查计算能力，属于基础题.

3.一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（    ）

A. 4 B. 1 C.  D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用扇形的面积公式：，即可求解.

【详解】圆心角为，设扇形的半径为，

，

解得.

故选：D

【点睛】本题考查了扇形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.

4.已知A，B为锐角，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意结合同角三角函数的平方关系可得、，再由两角和的余弦公式即可得解.

【详解】A，B为锐角，，

，，

.

故选：C.

【点睛】本题考查了同角三角函数平方关系及两角和的余弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

5.如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意结合平面向量的线性运算法则、向量的数乘即可得解.

【详解】由题意，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则及平面向量数乘的应用，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.

6.若，则（    ）

A. 2 B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】

由题意结合三角恒等变换可得，再由余弦的二倍角公式即可得解.

【详解】，

，

且即，

又，

即.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，牢记公式、合理变形是解题关键，属于基础题.

7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺，将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深是多少尺？（    ）

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

【答案】B

【解析】

【分析】

如图，设，则，在中，利用勾股定理即可求解.

【详解】设，则，，

在中，，

解得.

故选：B

【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

8.已知是函数的最大值点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

化简，根据最值得到，代入计算得到答案.

【详解】，其中，，

当，，即，时，函数有最大值，

此时.

故选：A.

【点睛】本题考查了三角函数最值，辅助角公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分.

9.下列结论中正确的是（    ）

A.

B. 若是第三象限角，则

C. 若角的终边过点，

D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用角度值与弧度制的互化可判断A；利用三角函数的象限符号可判断B；利用三角函数的定义可判断C；利用同角三角函数的基本关系以及二倍角公式可判断D.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，由三角函数的象限符号可知，若是第三象限角，则，故B正确；

对于C，角的终边过点，

则，故C错误；

对于D，

，故D正确.

故选：ABD

【点睛】本题考查了角度值与弧度制的互化、三角函数的象限符号、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，考查了三角函数的基本知识，属于基础题.

10.已知，，则以下结论正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 的最小值为

【答案】BD

【解析】

【分析】

由，得出，进而可判断出A选项的正误；验证与之间的等量关系，可判断B选项的正误；由得出，可判断出C选项的正误；由向量模的三角不等式可判断D选项的正误.

【详解】，则.

对于A选项，若，则，所以，或，A选项错误；

对于B选项，若，则，，，则，，

B选项正确；

对于C选项，若，且，则，或，C选项错误；

对于D选项，由向量模的三角不等式可得，D选项正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查与平面向量相关命题真假的判断，考查了向量模的三角不等式、单位向量的坐标运算以及利用向量垂直的表示的应用，考查计算能力，属于基础题.

11.若在上有解，则m的取值可能为（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】AC

【解析】

【分析】

由题意结合三角函数图象与性质可得当时，，即可得解

【详解】，，，

又在上有解，

，

对比选项，可得选项A、C符合要求.

故选：A、C.

【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

12.将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ）

A. 是函数图象的一条对称轴

B. 是函数图象的一个对称中心

C. 在上单调递增

D. 若，则的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据三角函数平移伸缩变换法则得到解析式，再根据三角函数的对称性，单调性和最值依次判断每个选项得到答案.

【详解】，

当时，，故是函数图象的一条对称轴，A正确；

当时，，故不是函数图象的对称中心，B错误；

时，，故在上单调递增，C正确；

，故的最小值为，D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题考查了三角函数平移伸缩变换，对称性，单调性和最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.____________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】.

故答案为：

【点睛】本题考查了诱导公式、特殊角的三角函数值，需熟记公式，属于基础题.

14.已知是平面向量的一组基底，实数x，y满足，则_________.

【答案】2

【解析】

【分析】

由题意结合基底的概念、平面向量基本定理可得，即可得解.

【详解】是平面向量的一组基底，且，

，解得，

.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了基底的概念与性质，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.

15.如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知，则G的大小为________，的大小为________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

由向量分解的平行四边形法则，可得，即得解.

【详解】

如图，由向量分解的平行四边形法则，

计算可得：

故答案为：

【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则在力的分解中的应用，考查了学生数学应用，综合分析，数学运算能力，属于基础题.

16. 的值__________.

【答案】1

【解析】

【分析】

由，结合辅助角公式可知原式为，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.

【详解】解：

.

故答案为:1.

【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知非零向量与不共线，.

（1）若，求t的值；

（2）若A、B、C三点共线，求t的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由题意结合平面向量数乘的概念即可得解；

（2）由题意结合平面向量共线定理、平面向量线性运算法则可得，再由平面向量基本定理即可得解.

【详解】（1）∵，∴，

∴，∵，∴，

∴；

（2）∵A、B、C三点共线，∴存在非零实数使，

∴即，

∴，

∵与不共线，∴，

∴.

【点睛】本题考查了平面向量数乘的应用，考查了平面向量线性运算法则、共线定理及平面向量基本定理的应用，属于中档题.

18.已知，且第________象限角.

从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：

（1）求的值；

（2）化简求值：

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）考虑为第三象限或第四象限角两种情况，根据同角三角函数关系计算得到答案.

（2）化简得到原式，代入数据计算得到答案.

【详解】（1）因为，所以为第三象限或第四象限角；

若选③，；

若选④，；

（2）原式.

【点睛】本题考查了同角三角函数关系，诱导公式化简，意在考查学生的计算能力和转化能力.

19.向量.

（1）若，求；

（2）若，求与所成夹角的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由题意结合平面向量线性运算的坐标表示、平面向量共线的坐标表示即可得解；

（2）由题意结合平面向量线性运算的坐标表示、平面向量垂直的坐标表示可得，再利用即可得解.

【详解】（1）∵，∴，

又，∴，解得，

∴；

（2）∵，，

∴，解得，

∴，

∴.

【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示、平面向量共线与垂直的坐标表示，考查了利用平面向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.

20.函数，且函数的最小正周期为.

（1）求及函数对称中心；

（2）在给出的坐标系中用五点法做出函数在上的图像，并求在上的最大值及取最大值时x的值.

【答案】（1）；对称中心为（2）作图见解析；时，取得最大值为3

【解析】

【分析】

（1）由题意结合三角恒等变换可得，由即可求得；令即可求得对称中心；

（2）由题意列表作图即可得函数的图象；由可得，利用三角函数的图象与性质即可求得函数的最大值及取最大值时x的值.

【详解】（1）由题意，

因为函数的最小正周期，

所以，所以；

令，解得，

所以函数的对称中心为；

（2）列表如下：

作图如下：

因为，所以，

所以当即时，取得最大值为3.

【点睛】本题考查了三角恒等变换与三角函数性质的综合应用，考查了运算求解能力，熟练掌握知识点是解题关键，属于中档题.

21.如图所示，中，，D为AB中点，E为CD上一点，且，AE的延长线与BC的交点为F.

（1）用向量与表示；

（2）用向量与表示，并求出和的值.

【答案】（1），（2），

【解析】

【分析】

（1），再用，表示即可；

（2）设由三点共线，存在，使，可用表示，然后再由C，F，B三点共线有，可求得．有了可得，

把用，表示后可得．

【详解】（1）是线段CD的一个三等分点（靠近C点）.

又D为AB中点，

，

故.

（2）设三点共线，∴存在，使.

由（1）知，.

又C，F，B三点共线，，

即.

.

，即.

，

，

∴，∴．

综上，

【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查平面向量在平面几何中的应用．平面向量解平面几何问题，主要利用平面向量的线性运算，特别是三点共线与向量共线的关系．需要灵活应用．

22.函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为的图象与x轴的交点，且为等边三角形.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，再向右平移个单位，得到函数的图象.

（1）求函数的解析式；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由题意结合平面几何的知识可得，再由即可得，再利用三角函数图象变换的规律即可得解；

（2）由题意结合诱导公式、同角三角函数平方关系转化条件得在上恒成立，令，按照、、分类，结合二次函数的性质即可得解.

【详解】（1）由题意点的纵坐标为，为等边三角形，

所以三角形边长为2，所以，解得，

所以，

将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，得到，

再向右平移个单位，得到；

（2）由题意，

所以恒成立，

原不等式等价于在上恒成立.

令，即在上恒成立，

设，对称轴，

当时，成立；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

综上，实数m的取值范围为.

【点睛】本题考查了三角函数图象的变换与性质的应用，考查了换元法求最值及恒成立问题的解决方法，属于中档题.