2020渭南大荔县高二上学期期末数学（理）试题含答案

2019-2020学年度高二第一学期期末考试

数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1.命题“若 ，则”的逆命题是（    ）           

A. 若 ，则.     B. 若 ，则 .
C. 若，则       D. 若，则.

2.在等比数列中，若成等差数列，则数列的公比为（   ）           

A. 0或1或-2    B. 1或2    C. 1或-2   D. -2

3.已知，则下列不等式成立的是  （   ）           

A.   B.     C.     D. 

4.命题“存在实数,，使”的否定是（ ）           

A. 对任意实数, 都有    B. 不存在实数，使
C. 对任意实数, 都有     D. 存在实数，使

5.不等式的解集是(      )           

A.         B.   

C.           D. 

6.设且，则“”是“”的（   ）           

A. 充分不必要条件       B. 必要不充分条件   

C. 充要条件        D. 既不充分也不必要条件

7.在中，，则此三角形解的情况是(    )           

A. 两解    B. 一解      C. 一解或两解     D. 无解

8.设实数，则（       ）

A.      B.     C.     D. 

9.若实数满足约束条件，则的最大值等于（    ）           

A. 2     B. 1    C. -2    D. -4

10.已知等差数列的前项为,且，则使取最小值时的为（  ）           

A. 1     B. 6     C. 7    D. 6或7

11.如图，在三棱锥中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，．若 是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） 

A.     B.     C.     D. 

12.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知  是一对相关曲线的焦点,是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是(   )           

A.      B.       C.       D. 2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量，则在方向上的投影为________．   

14.已知不等式的解集是，则________．   

15.若，则的最小值是________. 

16.设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为，若，记的最小值为，则________   

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知，若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围．   

18.（12分）等比数列中，已知．   

（1）求数列的通项公式；   

（2）若分别是等差数列的第4项和第16项，求数列的通项公式及前项和．    

19.（12分）在锐角中，内角所对的边分别是，且．   

（1）求角的大小；   

（2）若，求的面积．      

20.（12分）如图，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点,. 

（1）求椭圆的离心率；   

（2）已知的面积为，求的值.

 21.（12分）如图：在四棱锥中，.,，.点是与的交点，点在线段上且.  

（1）证明：；   

（2）求直线与平面所成角的正弦值；   

（3）求二面角的正切值.   

22.（12分）已知抛物线经过点. 

（1）求抛物线的方程及其准线方程；

（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，直线分别交直线于点和点.求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 A  

2.【答案】 C  

3.【答案】 D  

4.【答案】 C  

5.【答案】 B  

6.【答案】 D  

7.【答案】 A 

8.【答案】 C

9.【答案】 A  

10.【答案】 B  

11.【答案】 A  

12.【答案】 A  

二、填空题

13.【答案】   

14.【答案】 -1  

15.【答案】 9   

16.【答案】

三、解答题

17.【答案】解：解不等式  ，得  ∶  ．
解不等式  ，得  ∶
依题意，  能推出  ，但  不能推出  ，说明  ，
则有  ，解得  ，
∴实数  的取值范围是(0,3].

18.【答案】（1）解：∵等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16，

∴2q3=16，解得q=2，  

∴  ．
（2）解：∵a3  ， a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，

∴  ，  ，

∴  ，

解得b1=2，d=2，

∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．

Sn=  =n2+n．

19.【答案】 （1）解：由2asinB=  b，利用正弦定理得：2sinAsinB=  sinB，  

∵sinB≠0，∴  ，

又A为锐角，

则A= 
（2）解：由余弦定理得：  ，即  ，  

∴bc=12，

又  ，

则 

20.【答案】 （1）解：由题意可知，   为等边三角形，   ，所以  .
（2）解：（ 方法一）  ，   . 

直线  的方程可为  ．

将其代入椭圆方程  ，得 

所以 

由  ，

解得  ，   .

（方法二）设  . 因为  ，所以  ．

由椭圆定义  可知，   ．

再由余弦定理  可得，   ．

由  知，   ，   .

21.【答案】 （1）证明：∵在四棱锥  中，  平面  .  ，   

 ，  .点  是  与  的交点，

 ，

∴在正三角形  中，  ，

在  中，∵  是  中点，  ，

 ，又  ，

 ，

 ，

∵点  在线段  上且  ，

 ，

平面  ， PD平面  ，

∴  平面 
（2）解：  ，  

分别以  为  轴，  轴，  轴建立如图的空间直角坐标系，

 ，

 ，

 ，

设平面  的法向量  ，

则  ，取  ，得  ，

 ，

设直线  与平面  所成角为  ，

则  ，

故直线  与平面  所成角的正弦值为 
（3）解：由（2）可知，  为平面  的法向量，  

 ，

设平面  的法向量为  ，

则  ，即  ，

令  ，解得  ，

设二面角  的平面角为  ，则  ，

故二面角  的正切值为  .

22.【答案】 解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，

得  ，解得p=2，故抛物线方程为  ，其准线方程为y=1；

（II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在，

设l：y=kx-1，  ，

将直线方程与抛物线方程联立，得  ，

由韦达定理  ，

则  ，

令y=-1，则  ，

设以AB为直径的圆上点P（a，b），则  ，

 ，

整理得  ，

令a=0，则  ，所以b=1或b=-3，

即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.