2021安徽省泗县一中高二上学期第二次月考数学（理）试题含答案

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泗县一中2020-2021学年高二上学期第二次月考数学 理一、单项选择题（共计60分，共12题每题5分）：1．下列说法中，正确的是( )A．经过不同的三点有且只有一个平面B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D．垂直于同一个平面的两个平面平行2．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq \f(\r(3),2)，那么原△ABC的面积是( )A.eq \r(3) B．2eq \r(2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),4)3.已知直线、和平面，下列说法中不正确的有 个(1)．若，，则(2)．若，，则 (3)．若，，则 (4)．直线平行于平面内的无数条直线，则A 1 B 2 C 3 D 44．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A.eq \f(3,16) B.eq \f(9,16) C.eq \f(3,8) D.eq \f(9,32)5．如图，ABCD­A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60°6.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别是棱B1B、B1C中点，点G是棱CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为（ ）A．矩形 B．三角形 C．等腰梯形 D．正方形7．在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是( )A．AB⊥BC且AB⊥BD B．AD⊥BC且AC⊥BDC．AC＝AD且BC＝BD D．AC⊥BC且AD⊥BD8．经过平面外两点作与此平面垂直的平面，则这样的平面( )．A．只能作一个 B．只能作两个C．可以作无数个 D．可作一个或无数个9．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为( )．A．6a2 B．12a2 C．18a2 D．24a210．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.eq \f(2π,3) B．π C.eq \f(4π,3) D．2π11．如图，四棱锥中，底面 QUOTE 是矩形，，， QUOTE ， QUOTE ，是等腰三角形，点 QUOTE 是棱 QUOTE 的中点，则异面直线 QUOTE 与 QUOTE 所成角的余弦值是（ ）A． QUOTE  B． QUOTE  C． QUOTE  D． QUOTE 12、张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为（ ）A．30 B． C．33 D．二．填空题（共计20分，共4题每题5分）13.如图是正方体平面展开图,在这个正方体中：①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直．以上四种说法中,正确说法的序号是______ ．14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A­BD­C，则异面直线AB与CD所成的角等于________．15.将表面积为的圆锥沿母线将其侧面展开,得到一个圆心角为的扇形,则该圆锥的轴截面的面积________,16．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若 QUOTE ,则此球的表面积等于____________________三．解答题（共计70分，17,18每题10分，19,20每题12分，21,22每题13分）17（10分）．将棱长为 QUOTE 的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体， QUOTE 为 QUOTE 的中点．求证： QUOTE 平面 QUOTE ；18（10分）.已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝a，M，N分别是AB，PC的中点，求证：平面MND⊥平面PCD.19（12分）．如图，四边形ABCD为梯形，，求图中阴影部分绕AB旋转一周形成的几何体的表面积和体积. 20（12分）、如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥平面β；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．21（13分）．如图，在直三棱柱中， QUOTE ， QUOTE 为 QUOTE 上的一点 QUOTE ， QUOTE ．（1）若 QUOTE ，求证：平面 QUOTE （2）平面 QUOTE 将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为 QUOTE ，下面一个几何体的体积为 QUOTE ，求 QUOTE 的值．22（13分）．如图，扇形 QUOTE 的圆心角为 QUOTE ，半径为2，四边形 QUOTE 为正方形，平面平面；过直线 QUOTE 作平面 QUOTE 交 QUOTE 于点 QUOTE ，交 QUOTE 于点 QUOTE ．（1）求证： QUOTE ；（2）求三棱锥体积的最大值．参考答案1.C [A中，可能有无数个平面；B中，两条直线还可能平行、相交；D中，两个平面可能相交．]2.A　[由题图可知，原△ABC的高为AO＝eq \r(3)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×BC×OA＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3)，故选A.]3.D．由直线、和平面，得：在中，若，，则与相交、平行或异面，故错误；在中，若，，则或，故错误；在中，若，，则与平行或异面，故错误；在中，直线平行于平面内的无数条直线，则或，故错误．4.A [如图所示，设球的半径为R，由题意知OO′＝eq \f(R,2)，OF＝R，∴r＝eq \f(\r(3),2)R.∴S截面＝πr2＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2＝eq \f(3π,4)R2.又S球＝4πR2，∴eq \f(S截面,S球)＝eq \f(\f(3π,4)R2,4πR2)＝eq \f(3,16).]5.D [由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；连接AC(图略)，易证BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD；同理可证AC1⊥B1C，因为BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，所以AC1⊥平面CB1D1；对于选项D，∵BC∥AD，∴∠B1CB即为AD与CB1所成的角，此角为45°，故D错．]6.C 取的中点，如图连接、、、，由题意得：，，不在平面内，平面内，∴平面.不在平面内，平面内，∴平面.，平面，平面平面，过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形．故选C．答案：C7.D　[A项，∵AB⊥BD，AB⊥BC，BD∩BC＝B，∴AB⊥平面BCD，∵CD平面BCD，∴AB⊥CD.8.B项，设A在平面BCD内的射影为O，则AO⊥平面BCD，∵AD⊥BC，AC⊥BD，∴O为△BCD的垂心，连接BO，则BO⊥CD.又AO⊥CD，AO∩BO＝O，∴CD⊥平面ABO，∵AB平面ABO，∴AB⊥CD.C项，取CD中点G，连接BG，AG.∵AC＝AD且BC＝BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG，∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面ABG，∵AB平面ABG，∴AB⊥CD，故选D.]当两点所在直线垂直于平面时，可作无数个；否则，有且仅有1个．答案：D9.C 解析：每个小正方体的棱长为eq \f(a,3)，表面积为6·eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(\f(a,3)))2＝eq \f(6,9)a2＝eq \f(2,3)a2，∴27个小正方体的表面积为27×eq \f(2,3)a2＝18a2.10.A [由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积V＝V柱－2V半球＝π×12×2－2×eq \f(1,2)×eq \f(4π,3)×13＝eq \f(2π,3)，选A.]11.B12.B 因为，所以，又底面，所以球的球心为侧棱的中点，从而球的直径为.利用张衡的结论可得，则，所以球的表面积为.故选：B13.答案：④ 由正方体的平面展开图可得原正方体如图：由图可知，与异面，故①错误；与平行，故②错误；为与所成角,为，故③错误；∵，且，∴与垂直，故④正确。故答案为：④.14.60°　[如图所示，分别取BC，AC的中点G、F，连接EG，GF，EF，则EG∥CD，GF∥AB，∴∠EGF就是AB与CD所成的角．由题意EG＝GF＝EF＝eq \f(a,2)，∴△EFG是等边三角形，∴∠EGF＝60°.]15.答案：；解析：设圆锥的母线长为,底面半径为,则有得,所以圆锥的高,所以该圆锥的轴截面面积16.设三角形BAC外接圆半径为r，则 QUOTE  球的半径等于 QUOTE  表面积等于 QUOTE 17. 取 QUOTE 中点为 QUOTE ，连接 QUOTE 、 QUOTE 、 QUOTE ．在正方形中，为 QUOTE 的中点，为 QUOTE 的中点．在正方体中，且 QUOTE ，四边形 QUOTE 为平行四边形，且 QUOTE ，、 QUOTE 分别为 QUOTE 、 QUOTE 的中点，且 QUOTE ，所以，四边形 QUOTE 为平行四边形，且 QUOTE ，且 QUOTE ，且 QUOTE ，所以，四边形 QUOTE 为平行四边形，且 QUOTE ，为 QUOTE 的中点，且 QUOTE ，则四边形 QUOTE 为平行四边形，，又平面 QUOTE ， QUOTE 平面 QUOTE ，因此， QUOTE 平面 QUOTE ；18. 证明：取PD的中点E，连接AE，NE，如图．∵M，N分别是AB，PC的中点，∴EN＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,2)AB＝AM，且EN∥CD∥AB.∴四边形AMNE是平行四边形．∴MN∥AE.∵在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边上的中线，∴AE⊥PD.又CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AE.又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.又MN∥AE，∴MN⊥平面PCD.又MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD.19. 解：圆中阴影部分是一个圆台，从上面挖出一个半球S半球=×4π×22=8π S圆台侧=π×(2+5)×5=35π S圆台底=25π故所求几何体的表面积S表＝8π+35π+25π＝68π V圆台= V半球=. 故所求几何体的体积V＝V圆台－V半球=.20. (1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β.②当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD∩平面β＝HD，且HD＝AC，∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥HD，∴四边形ACDH是平行四边形．在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连接EG，FG，BH.∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，∴GF∥HD，EG∥BH.又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，∴平面EFG∥平面β.又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β.综合①②可知，EF∥平面β.(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴ME∥BD，MF∥AC，且ME＝eq \f(1,2)BD＝3，MF＝eq \f(1,2)AC＝2.∴∠EMF为AC与BD所成的角或其补角，∴∠EMF＝60°或120°.∴在△EFM中，由余弦定理得EF＝eq \r(ME2＋MF2－2ME·MF·cos ∠EMF)＝ eq \r(32＋22±2×3×2×\f(1,2))＝eq \r(13±6)，即EF＝eq \r(7)或EF＝eq \r(19).21. （1）证明见解析；（2） QUOTE .（1）如图，取 QUOTE 中点 QUOTE ，连接 QUOTE ， QUOTE ．在直三棱柱中∵ QUOTE ∴， QUOTE ，∵ QUOTE ∴ QUOTE 且，∴四边形 QUOTE 是平行四边形∴ QUOTE ．由题意为正三角形，侧棱 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE 两两平行且都垂直于平面 QUOTE ．∴，，∵ QUOTE ， QUOTE 平面 QUOTE ，，∴平面 QUOTE ，又∵ QUOTE ．∴平面 QUOTE ．（2）正三棱柱的底面积 QUOTE ，则体积 QUOTE ．下面一个几何体为四棱锥，底面积，因为平面平面 QUOTE ，过点 QUOTE 作边 QUOTE 上的高线 QUOTE ，如图，在平面与平面垂直的性质可得 QUOTE 垂直于平面 QUOTE ，故四棱锥的高等于 QUOTE ．则 QUOTE ，从而．∴ QUOTE 22.（1）证明见解析；（2） QUOTE .（1）因为 QUOTE ， QUOTE ，，所以 QUOTE 又 QUOTE 平面 QUOTE ，平面 QUOTE ，所以 QUOTE ．（2）因为平面所以平面，平面平面 QUOTE ，，所以平面 QUOTE ，即线段 QUOTE 的长就是三棱锥的高：因为， QUOTE ，所以．设 QUOTE ，则 QUOTE ，所以三棱锥的体积为 QUOTE ．法一： QUOTE ．所以，当 QUOTE 时， QUOTE ．法二：．所以，当且仅当 QUOTE 时， QUOTE ．