2020高三第三次调研测试（4月）数学（文）含答案

吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第三次调研测试

文科数学参考答案与评分标准

一、选择题

二、填空题

13.  ;     14. 100；       15.  -1；          16. 

三、解答题

17.解：

(1)由已知得=        ------------------------------------------2分

,    ---------------------------------------------4分

     -----------------------------------------------------------6分

(2)由正弦定理得即   --------------------------------------------8分

     --------------------------------------------10分

.   -----------12分

18.解：

（1）

       --------------------------------------------------------3分

  ------------------------------------------5分

有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”   ---------------- --6分

（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生人，设为,,，线上学习时间不足

 5小时的学生2人，设为,   -----------------------------------------------------8分

所有基本事件有：

,,,,,,,,,

共10种        --------------------------------------------------------------------10分

至少1人每周线上学习时间不足5小时包括：,,,,,,共7种

故至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率为（或0.7）   ------------------------12分

19.

（1）证明：连接交于，连接.

≌          ----------------------3分

面面

面                     ---------------5分

（2）取中点，连，,.由，.

又面面，

面，即为与底面所成角   ---------------------------------7分

设，则，.又由，  ------------8分

在中，由余弦定理得  -------------10分

        ------------------------------------------------11分

即与底面所成角的正弦值为   ----------------------------------------12分

20. 解：

（1）由题意设直线的方程为，令、，

联立得   -----------------------------------------------2分

   -------------------------------------------------------------------3分

根据抛物线的定义得     --------------------------------------4分

又，

故所求抛物线方程为                    -------------------------------------5分

（2）由（1）知，

的中点为，的垂直平分线方程为即  ----------7分

设过点的圆的圆心为，

该圆与的准线相切，

半径   -----------------------------------------------------------------9分

圆心到直线的距离为

，解得或     --------------------------------11分

圆心的坐标为，半径为，或圆心的坐标为，半径为

圆的方程为或     ---------------------12分

21. 解：

（1）依题意，当时，       ----------------------------------1分

 ①当时，恒成立，此时在定义域上单调递增； ---------------------3分

②当时，若，；若，

故此时的单调增、减区间分别为、   ----------------------5分

(2)由，又，

故在处取得极大值，从而，即  ------------7分

进而得   -------------------------------------8分

当时，若，则；若，则。所以

故符合题意   -------------------------------------------------------------10分

当时，依题意，有即，故此时

综上所求实数的范围为    ----------------------------------------------12分

22. 解：

（1）由曲线的参数方程为（为参数）消去参数得 -----------------------2分

曲线的极坐标方程为即

            ---------------------------------------------------------------------------------------4分

（2）依题意得的极坐标方程为   ------------------------------------------------- 5分

设,,,

则，，故  -------------------------7分

，当且仅当（即）时取“=”  -------------------------------------8分

故，即面积的最小值为      -----------------------------------------------9分

此时

故所求四边形的面积为     ------------------------------------------------------------------------10分

23. 证明

（1），

        -------------------------------------------------------------------------------------3分

由柯西不等式得

当且仅当时取“=”。   ----------------------------------------------5分

（2）

（以上三式当且仅当时同时取“=”）  ------------------------------------------------------7分

将以上三式相加得

 即     --------------------------------------------------------------------------------------10分