浙江省杭州市下城区采荷中学2022-2023学年九年级上学期10月份检测数学试题(含答案)

这是一份浙江省杭州市下城区采荷中学2022-2023学年九年级上学期10月份检测数学试题(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省杭州市下城区采荷中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1的顶点坐标为（　　）
A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
2．（3分）已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
3．（3分）若将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2+2
C．y＝3（x+1）2﹣2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，那么旋转角等于（　　）

A．145° B．130° C．135° D．125°
5．（3分）下列有关圆的一些结论：①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③平分弧的直径垂直于弧所对的弦；④同弧或等弧所对的弦相等，其中正确的有（　　）
A．①③ B．②③④ C．③④ D．①③④
6．（3分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝25°，则∠D的度数是（　　）

A．65° B．115° C．130° D．135°
7．（3分）在同一坐标系下，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+1的图象大致可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
…
y
…
﹣6
0
6
4
﹣6
…
有下列结论：①a＜0；②3a+b＝0；③当x＝﹣2时，函数的最大值为6；④方程ax2+bx+c＝5有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
9．（3分）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（　　）

A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
10．（3分）已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a，m，n是实数，a≠0）与直线y＝kx+b交于（1，y1），（6，y2），则下面判断正确的是（　　）
A．若m+n＞7，a＞0，则k＞0 B．若m+n＞7，a＜0，则k＜0
C．若m+n＜7，a＞0，则k＜0 D．若m+n＜7，a＜0，则k＜0
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝　 　°．

12．（4分）抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则它与x轴的另一个交点坐标为 　 　．

13．（4分）抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3），该抛物线解析式为 　 　．
14．（4分）如图，⊙O的两条弦AB、CD所在的直线交于点P，AC、BD交于点E，∠AED＝105°，∠P＝55°，则∠ACD等于 　 　．

15．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝kx相交于O，A（3，2）两点，则不等式ax2+bx﹣kx＜0的解集是 　 　．

16．（4分）如图，已知等边△ABC内接于⊙O，点M为上任意一点（点M不与点A、点B重合），连结MB、MO，取BC的中点D，取OM的中点E，连结DE，若∠OED＝α，则∠OMB的度数为 　 　．（用含α的代数式表示）

三、解答题（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）如图，△ABC中，∠C＝45°，AB＝2．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△ABC的外接圆⊙O；
（2）求△ABC的外接圆⊙O的直径．

18．（8分）一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时达到最大高度4m，若铅球运行的路线是抛物线，如图建立平面直角坐标系，求铅球出手时距地面的高度．

19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．

20．（10分）某农场拟建一个梯形饲养场ABCD，其中AD，CD分别靠现有墙DM，DN，其余用新墙砌成，墙DM长为9米，墙DN足够长，两面墙形成的角度为135°，新墙DE将饲养场隔成△CDE和矩形ABED两部分，已知新建墙体总长为30米．设AB＝x米，梯形饲养场ABCD的面积为S米2．
（1）求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，饲养场ABCD的面积最大，并求出最大面积．

21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）若∠AOD＝50°，求的度数；
（2）若DF＝8，AC＝24，求⊙O的直径；
（3）若⊙O的半径为6，∠AOD＝80°，P是线段AB上任意一点，请直接写出PC+PD的最小值．

22．（12分）已知二次函数y＝（x+1）（x+3k）．
（1）若当x＝2时，该函数有最小值，求k的值．
（2）若二次函数图象向上平移4个单位后与x轴只有一个交点，求k的值．
（3）已知k≥1，当x≥m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．
23．（12分）如图，点P是y轴的正半轴上一定点，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连接AC、FC．
（1）求证：∠ACF＝∠ADB；
（2）若⊙P的半径为2，∠ACB＝60°，求BD的长度；
（3）当⊙P的大小发生变化时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．


2022-2023学年浙江省杭州市下城区采荷中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1的顶点坐标为（　　）
A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1的顶点坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：D．
2．（3分）已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【解答】解：∵r＝4，d＝5，
∴d＞r，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
3．（3分）若将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2+2
C．y＝3（x+1）2﹣2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得到抛物线为：y＝3（x+1）2﹣2．
故选：C．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，那么旋转角等于（　　）

A．145° B．130° C．135° D．125°
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝50°，
由旋转的性质可知，∠B1AC1＝∠BAC＝50°，
∴∠BAC1＝80°，
∴∠CAC1＝130°，
故选：B．
5．（3分）下列有关圆的一些结论：①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③平分弧的直径垂直于弧所对的弦；④同弧或等弧所对的弦相等，其中正确的有（　　）
A．①③ B．②③④ C．③④ D．①③④
【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
②不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
③平分弧的直径垂直于弧所对的弦，正确，符合题意；
④同弧或等弧所对的弦相等，正确，符合题意．
正确的有③④，
故选：C．
6．（3分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝25°，则∠D的度数是（　　）

A．65° B．115° C．130° D．135°
【解答】解：连接BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠CBA＝65°，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠D＝180°﹣65°＝115°．
故选：B．

7．（3分）在同一坐标系下，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+1的图象大致可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误．
故选：A．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
…
y
…
﹣6
0
6
4
﹣6
…
有下列结论：①a＜0；②3a+b＝0；③当x＝﹣2时，函数的最大值为6；④方程ax2+bx+c＝5有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
【解答】解：∵图象经过（﹣5，﹣6），（2，﹣6），
∴图象对称轴为直线x＝﹣，
由表格可得，x＞﹣时，y随x的增大而减小，
∴抛物线图象开口向下，x＝﹣时，y取最大值，
∴a＜0，﹣＝﹣，
∴3a﹣b＝0，
∴①正确，②③不正确，
∵图象开口向下，由表格可得y最大值大于6，
∴抛物线与直线y＝5有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝5有两个不相等的实数根．
∴④正确．
故选：B．
9．（3分）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（　　）

A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
【解答】解：A、如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP＝90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CA，
∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，BP是直径，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，
∴AP＝CP，
∴△APC是等腰三角形，
故本选项正确，不符合题意；
B、当△APC是等腰三角形时，分三种情况：
①如果PA＝PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以PO⊥AC，正确；
②如果AP＝AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
③如果CP＝CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
故本选项正确，不符合题意；
C、当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．
如果点P在图1中的位置，∠ACP＝30°；
如果点P在B点的位置，∠ACP＝60°；
故本选项错误，符合题意；
D、当∠ACP＝30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图3．
如果点P在P1的位置，∠BCP1＝∠BCA+∠ACP1＝60°+30°＝90°，△BP1C是直角三角形；
如果点P在P2的位置，∵∠ACP2＝30°，
∴∠ABP2＝∠ACP2＝30°，
∴∠CBP2＝∠ABC+∠ABP2＝60°+30°＝90°，△BP2C是直角三角形；
故本选项正确，不符合题意．
故选：C．



10．（3分）已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a，m，n是实数，a≠0）与直线y＝kx+b交于（1，y1），（6，y2），则下面判断正确的是（　　）
A．若m+n＞7，a＞0，则k＞0 B．若m+n＞7，a＜0，则k＜0
C．若m+n＜7，a＞0，则k＜0 D．若m+n＜7，a＜0，则k＜0
【解答】解：抛物线与直线交于点（（1，y1），（6，y2），
..a（1﹣m）（1﹣n）＝k+b，①
a（6﹣m）（6﹣n）＝6k+b，②
②﹣①得5k＝a（35﹣5m﹣5n），即k＝a（7﹣m﹣n），
则当a＞0，m+n＜7或a＜0，m+n＞7时，k＞0；
当a＜0，m+n＜7或a＞0，m+n＞7时，k＜0．
故A正确，B、C、D错误故选A．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝　70　°．

【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70．
12．（4分）抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则它与x轴的另一个交点坐标为 　（1，0）　．

【解答】解：根据题意知，抛物线它与x轴的另一个交点坐标与点（﹣3，0）关于对称轴x＝﹣1对称，则它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
13．（4分）抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3），该抛物线解析式为 　y＝﹣（x+2）2+3或y＝（x+2）2+3　．
【解答】解：∵抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3），
∴当开口向下时，这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+3．
当开口向上时，这条抛物线的解析式是：y＝（x+2）2+3．
故答案为：y＝﹣（x+2）2+3或y＝（x+2）2+3．
14．（4分）如图，⊙O的两条弦AB、CD所在的直线交于点P，AC、BD交于点E，∠AED＝105°，∠P＝55°，则∠ACD等于 　80°　．

【解答】解：设∠ABD＝∠ACD＝α，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠D＝∠ACD﹣∠P＝α﹣55°，
∵∠AED＝∠ACD+∠D＝105°，
∴α+α﹣55°＝105°，
∴α＝80°，
∴∠ACD＝80°，
故答案为：80°．
15．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝kx相交于O，A（3，2）两点，则不等式ax2+bx﹣kx＜0的解集是 　0＜x＜3　．

【解答】解：由ax2+bx﹣kx＜0得到：ax2+bx＜kx，
∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝kx相交于O（0，0）和A（3，2）两点，
∴关于x的不等式ax2+bx＜kx的解集是0＜x＜3，
即关于x的不等式ax2+bx﹣kx＜0的解集是0＜x＜3，
故答案为：0＜x＜3．
16．（4分）如图，已知等边△ABC内接于⊙O，点M为上任意一点（点M不与点A、点B重合），连结MB、MO，取BC的中点D，取OM的中点E，连结DE，若∠OED＝α，则∠OMB的度数为 　60°+α　．（用含α的代数式表示）

【解答】解：连接OD，并反向延长，如图，

∵D为BC的中点，
∴OD⊥BC．
∵△ABC是等边三角形，
∴DO的延长线经过点A．
∵等边△ABC内接于⊙O，
∴点O既是三角形的外心也是三角形的内心，
∴OB平分∠ABC．
∴∠OBC＝×60°＝30°．
∵OD⊥BC，
∴OD＝OB，
∵点E是OM的中点，
∴OE＝OM，
∵OM＝OB，
∴OE＝OD，
∴∠ODE＝∠OED＝α．
∴∠AOM＝∠OED+∠ODE＝2α．
∵∠ABM＝∠AOM，
∴∠ABM＝α．
∴∠MBC＝∠ABM+∠ABC＝α+60°．
故答案为：60°+α．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）如图，△ABC中，∠C＝45°，AB＝2．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△ABC的外接圆⊙O；
（2）求△ABC的外接圆⊙O的直径．

【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝×2＝，
∴△ABC的外接圆⊙O的直径为4．
18．（8分）一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时达到最大高度4m，若铅球运行的路线是抛物线，如图建立平面直角坐标系，求铅球出手时距地面的高度．

【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，记顶点为A，与x轴交点为B点，与y轴交点为C点，
由题意知抛物线的顶点A（6，4）、点B（14，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+4，
将点B（14，0）代入，得：64a+4＝0，
解得：a＝﹣，
则抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+4，
当x＝0时，y＝﹣×36+4＝，
即点C（0，），
答：铅球出手时距地面的高度是m．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．

【解答】（1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；

（2）解：连接OE，OD．
∵的度数＝50°，
∴∠DOE＝50°，
∴∠DAC＝∠DOE＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°．

20．（10分）某农场拟建一个梯形饲养场ABCD，其中AD，CD分别靠现有墙DM，DN，其余用新墙砌成，墙DM长为9米，墙DN足够长，两面墙形成的角度为135°，新墙DE将饲养场隔成△CDE和矩形ABED两部分，已知新建墙体总长为30米．设AB＝x米，梯形饲养场ABCD的面积为S米2．
（1）求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，饲养场ABCD的面积最大，并求出最大面积．

【解答】解：（1）∵四边形ABED是矩形，
∴AB＝DE＝x米，∠ADE＝∠DEC＝90°，
∵∠ADC＝135°，
∴∠EDC＝∠DCE＝45°，
∴CE＝DE＝x米，
∴BE＝（30﹣3x）米，
∴S＝x（30﹣3x）+x2＝﹣x2+30x；
∵30﹣3x≤9，
∴x≥7，
∴S＝﹣x2+30x（x≥7）；
（2）∵S＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣6）2+90，
∴当x＞6时，S随x的增大而减小，
∴当x＝7时，Smax＝87.5，
答：当x＝7时，饲养场ABCD的面积最大，最大面积为87.5平方米．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）若∠AOD＝50°，求的度数；
（2）若DF＝8，AC＝24，求⊙O的直径；
（3）若⊙O的半径为6，∠AOD＝80°，P是线段AB上任意一点，请直接写出PC+PD的最小值．

【解答】解：（1）连接OC，

∵OD∥BC，
∴∠ABC＝∠AOD＝50°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝100°，
∴的度数为100°；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴，
即点D为的中点；
∵OF⊥AC，
∴AF＝AC＝12，
∵DF＝8，
∴OF＝OD﹣DF＝OA﹣8，
∵OA2＝AF2+OF2，
∴OA2＝122+（OA﹣8）2，
∴OA＝13，
∴⊙O的直径为26；

（3）作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，

∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵，
∴∠COD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，
∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则∠ODH＝30°，
则C′H＝DH，
在Rt△OHD中，OH＝OD＝3，
∴DH＝OH＝3，
∴DC′＝2DH＝6，
∴PC+PD的最小值为6．
22．（12分）已知二次函数y＝（x+1）（x+3k）．
（1）若当x＝2时，该函数有最小值，求k的值．
（2）若二次函数图象向上平移4个单位后与x轴只有一个交点，求k的值．
（3）已知k≥1，当x≥m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．
【解答】解：（1）y＝x2+（3k+1）x+3k，
∵a＝1＞0，
∴当x＝﹣时，y有最小值，
即﹣＝2，
解得k＝﹣；
（2）二次函数图象向上平移4个单位所得抛物线解析式为y＝x2+（3k+1）x+3k+4，
根据题意得△＝（3k+1）2﹣4（3k+4）＝0，解得k1＝﹣1，k2＝，
∴k的值为﹣1或；
（3）抛物线y＝x2+（3k+1）x+3k的对称轴为直线x＝﹣，
∵k≥1，
∴抛物线的对称轴在直线x＝﹣2的左侧（或对称轴为直线x＝﹣2），
∵抛物线开口向上，
∴当x≥﹣2时，y随着x的增大而增大，
∴m可以取0．
23．（12分）如图，点P是y轴的正半轴上一定点，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连接AC、FC．
（1）求证：∠ACF＝∠ADB；
（2）若⊙P的半径为2，∠ACB＝60°，求BD的长度；
（3）当⊙P的大小发生变化时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．

【解答】（1）证明：连接AB，

∵OP⊥BC，
∴BO＝CO，
∴AB＝AC，
又∵AC＝AD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
又∵∠ABD＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠ADB．
（2）解：连接AF，BP，AB，

∵AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BPO＝60°，
又∵BP＝AP＝2，
∴OB＝，
∴BC＝AC＝AB＝2，
∴CD＝AC＝2，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACF＝∠ADF，
∵∠ACD﹣∠ACF＝∠ADC﹣∠ADF，
即∠FCD＝∠FDC，
∴CF＝DF，
∴点F在CD的垂直平分线上，
∵AC＝AD，
∴点A在CD的垂直平分线上，
∴AF是CD的垂直平分线，
∴AF平分∠CAD，
∴∠CAF＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
过点C作CH⊥BD于H，
∴BH＝＝，CH＝CD＝，
∴DH＝CH＝3，
∴BD＝BH+DH＝+3；
（3）解：的值不发生变化，
过点D作DH⊥AO于H，过点D作DQ⊥BC于Q，
∵∠DAH+∠OAC＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠OAC＝∠ADH，
在△DHA和△AOC中，
，
∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS），
∴DH＝AO，AH＝OC，
又∵BO＝OC，
∴HO＝AH+AO＝OB+DH，
而DH＝OQ，HO＝DQ，
∴DQ＝OB+OQ＝BQ，
∴∠DBQ＝45°，
又∵DH∥BC，
∴∠HDE＝45°，
∴△DHE为等腰直角三角形，
∴＝，
∴．