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(新高考)高考数学一轮复习学案2.1《不等关系与不等式》(含详解)
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这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案2.1《不等关系与不等式》(含详解)，共11页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。
第1讲 不等关系与不等式
一、知识梳理
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a>c．
(3)可加性：a＞b⇒a＋c>b＋c；
a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，
a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．
常用结论
记住不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0⇒<；
②a<0
(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①<；>(b－m>0)；
②>；<(b－m>0)．
二、教材衍化
1.________＋1(填“>”“<”或“＝”)．
答案：<
2．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”和“充要”)
答案：充分不必要
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )
(5)a>b>0，c>d>0⇒>.( )
(6)若ab>0，则a>b⇔<.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√
二、易错纠偏
(1)乱用不等式的相乘性致错；
(2)求范围乱用不等式的加法原理致错．
1．若a>b>0，c
B．－<0
C．>
D．<
解析：选D．因为cac，
又因为cd>0，所以>，即>.
2．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
解析：由－<α<，－<－β<，α<β，
得－π<α－β<0.
答案：(－π，0)
考点一 比较两个数(式)的大小(基础型)
比较两个数(式)的大小的方法是作差法、作商法．
核心素养：数学抽象
1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB
解析：选B．由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B．
2．已知a>b>0，m>0，则( )
A．＝
B．>
C．<
D．与的大小关系不确定
解析：选C．－＝＝.
因为a>b>0，m>0.
所以b－a<0，a＋m>0，所以<0.
即－<0.所以<.
3．若a＝，b＝，比较a与b的大小．
解：因为a＝＞0，b＝＞0，
所以＝·＝＝＝log89＞1，
所以a＞b.
比较两数(式)大小的方法
作差法
作商法
原理
设a，b∈R，则a－b>0⇒a>b；a－b＝0⇒a＝b；a－b<0⇒a
作差并变形⇒判断差与0的大小⇒得结论
作商并变形⇒判断商与1的大小⇒得结论
注意
利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形
作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方法有分母(或分子)有理化，指数、对数恒等变形等
考点二 不等式的性质(基础型)
利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意不等式成立的条件．
(1)(特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(2)若a＞0＞b＞－a，c
C．3 D．4
【解析】 (1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b>0时，由a>b有|a|>|b|，
所以a>b⇔a|a|>b|b|.
综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C．
(2)因为a＞0＞b，c
所以ad
因为c
所以ac＋bd<0，所以＋＝<0，故②正确．
因为c
即a－c＞b－d，故③正确．
因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，
故④正确，故选C．
【答案】 (1)C (2)C
解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．
1．(一题多解)(2020·石家庄质量检测)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a2<－ab B．|a|<|b|
C．> D．()a>()b
解析：选C．通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，所以A，B，D不一定成立，因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一定成立，故选C．
优解：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立．故选C．
2．已知a0，b的符号不定，对于b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变．
考点三 不等式性质的应用(应用型)
利用不等式的性质求代数式的取值范围常用待定系数法．
核心素养：数学抽象
已知－1
所以－4
所以1<3x＋2y<18.
【答案】 (－4，2) (1，18)
【迁移探究1】 (变条件)若将本例条件改为“－1
【迁移探究2】 (变条件)若将本例条件改为“－1
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，
又因为－1
所以－<(x＋y)＋(x－y)<，
即－<3x＋2y<，
所以3x＋2y的取值范围为.
利用待定系数法求代数式的取值范围
已知M1
(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．
1．设α∈，β∈[0，π]，那么2α－的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选D．由题设得－<2α<π，0≤≤，所以－≤－≤0，所以－<2α－＜π.
2．(2020·长春市质量检测一)已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．
解析：设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则解得因为－<α－β<，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.
答案：(－π，2π)
[基础题组练]
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( )
A．f(x)＝g(x) B．f(x)>g(x)
C．f(x)
2．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则( )
A．ab>0 B．ab<0
C．a＋b>0 D．a＋b<0
解析：选A．因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.
3．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是( )
A．－n
法二：m＋n<0⇒m<－n⇒n<－m，又由于m<0a2b
C．< D．<
解析：选C．若ab2，故A错；若0，故D错；若ab<0，即a<0，b>0，则a2b>ab2，故B错；故C正确．所以选C．
5．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选A．若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．故选A．
6．已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C．由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出<.由a>0>b得>，故能推出<成立的条件有3个．
7．(多选)下列命题中，不正确的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若<<0，则|a|＋b<0
D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
解析：选ABD．取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc⇒a－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．
8．(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A．a－c
C．> D．ac2－c.因为－＝>0，所以>.当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立．故选ABC．
9．若a1
因为a1
即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
10．已知a，b∈R，则a
所以a
解析：对于①，>0，故①成立；
对于②，a>0，b<0时不成立；
对于③，取a＝1，b＝－2时不成立；
对于④，|c|≥0，故④成立．
答案：①④
12．已知12
因为<<，
所以<<，
所以<<4，
即的取值范围是.
答案：(－21，45)
[综合题组练]
1．若6
C．[9，30] D．(9，30)
解析：选D．因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，因为6
①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，则>.
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选C．易知①正确；②错误，如3>2，－1>－3，而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③错误，如3>1，－2>－3，而3×(－2)<1×(－3)；④若a>b>0，则<，当c>0时，<，故④错误．所以正确的命题只有1个．
3．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤>这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．
解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2.
符合题设条件x>y，a>b.
因为a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5.
所以a－x＝b－y，因此①不成立．
因为ax＝－6，by＝－6，所以ax＝by，因此③不成立．
因为＝＝－1，＝＝－1，
所以＝，因此⑤不成立．
由不等式的性质可推出②④成立．
答案：②④
4．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
解析：因为ab2>a>ab，所以a≠0，
当a>0时，b2>1>b，
即解得b<－1；
当a<0时，b2<1
答案：(－∞，－1)
第1讲 不等关系与不等式
一、知识梳理
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a>c．
(3)可加性：a＞b⇒a＋c>b＋c；
a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，
a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．
常用结论
记住不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0⇒<；
②a<0
(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①<；>(b－m>0)；
②>；<(b－m>0)．
二、教材衍化
1.________＋1(填“>”“<”或“＝”)．
答案：<
2．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”和“充要”)
答案：充分不必要
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )
(5)a>b>0，c>d>0⇒>.( )
(6)若ab>0，则a>b⇔<.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√
二、易错纠偏
(1)乱用不等式的相乘性致错；
(2)求范围乱用不等式的加法原理致错．
1．若a>b>0，c
B．－<0
C．>
D．<
解析：选D．因为c
又因为cd>0，所以>，即>.
2．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
解析：由－<α<，－<－β<，α<β，
得－π<α－β<0.
答案：(－π，0)
考点一 比较两个数(式)的大小(基础型)
比较两个数(式)的大小的方法是作差法、作商法．
核心素养：数学抽象
1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB
解析：选B．由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B．
2．已知a>b>0，m>0，则( )
A．＝
B．>
C．<
D．与的大小关系不确定
解析：选C．－＝＝.
因为a>b>0，m>0.
所以b－a<0，a＋m>0，所以<0.
即－<0.所以<.
3．若a＝，b＝，比较a与b的大小．
解：因为a＝＞0，b＝＞0，
所以＝·＝＝＝log89＞1，
所以a＞b.
比较两数(式)大小的方法
作差法
作商法
原理
设a，b∈R，则a－b>0⇒a>b；a－b＝0⇒a＝b；a－b<0⇒a
作差并变形⇒判断差与0的大小⇒得结论
作商并变形⇒判断商与1的大小⇒得结论
注意
利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形
作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方法有分母(或分子)有理化，指数、对数恒等变形等
考点二 不等式的性质(基础型)
利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意不等式成立的条件．
(1)(特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(2)若a＞0＞b＞－a，c
C．3 D．4
【解析】 (1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b>0时，由a>b有|a|>|b|，
所以a>b⇔a|a|>b|b|.
综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C．
(2)因为a＞0＞b，c
所以ad
因为c
所以ac＋bd<0，所以＋＝<0，故②正确．
因为c
即a－c＞b－d，故③正确．
因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，
故④正确，故选C．
【答案】 (1)C (2)C
解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．
1．(一题多解)(2020·石家庄质量检测)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a2<－ab B．|a|<|b|
C．> D．()a>()b
解析：选C．通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，所以A，B，D不一定成立，因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一定成立，故选C．
优解：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立．故选C．
2．已知a
考点三 不等式性质的应用(应用型)
利用不等式的性质求代数式的取值范围常用待定系数法．
核心素养：数学抽象
已知－1
所以－4
所以1<3x＋2y<18.
【答案】 (－4，2) (1，18)
【迁移探究1】 (变条件)若将本例条件改为“－1
【迁移探究2】 (变条件)若将本例条件改为“－1
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，
又因为－1
所以－<(x＋y)＋(x－y)<，
即－<3x＋2y<，
所以3x＋2y的取值范围为.
利用待定系数法求代数式的取值范围
已知M1
(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．
1．设α∈，β∈[0，π]，那么2α－的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选D．由题设得－<2α<π，0≤≤，所以－≤－≤0，所以－<2α－＜π.
2．(2020·长春市质量检测一)已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．
解析：设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则解得因为－<α－β<，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.
答案：(－π，2π)
[基础题组练]
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( )
A．f(x)＝g(x) B．f(x)>g(x)
C．f(x)
2．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则( )
A．ab>0 B．ab<0
C．a＋b>0 D．a＋b<0
解析：选A．因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.
3．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是( )
A．－n
法二：m＋n<0⇒m<－n⇒n<－m，又由于m<0
C．< D．<
解析：选C．若a
5．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选A．若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．故选A．
6．已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C．由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出<.由a>0>b得>，故能推出<成立的条件有3个．
7．(多选)下列命题中，不正确的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若<<0，则|a|＋b<0
D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
解析：选ABD．取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc⇒a
8．(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A．a－c
C．> D．ac2
9．若a1
因为a1
即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
10．已知a，b∈R，则a
所以a
解析：对于①，>0，故①成立；
对于②，a>0，b<0时不成立；
对于③，取a＝1，b＝－2时不成立；
对于④，|c|≥0，故④成立．
答案：①④
12．已知12
因为<<，
所以<<，
所以<<4，
即的取值范围是.
答案：(－21，45)
[综合题组练]
1．若6
C．[9，30] D．(9，30)
解析：选D．因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，因为6
①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，则>.
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选C．易知①正确；②错误，如3>2，－1>－3，而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③错误，如3>1，－2>－3，而3×(－2)<1×(－3)；④若a>b>0，则<，当c>0时，<，故④错误．所以正确的命题只有1个．
3．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤>这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．
解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2.
符合题设条件x>y，a>b.
因为a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5.
所以a－x＝b－y，因此①不成立．
因为ax＝－6，by＝－6，所以ax＝by，因此③不成立．
因为＝＝－1，＝＝－1，
所以＝，因此⑤不成立．
由不等式的性质可推出②④成立．
答案：②④
4．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
解析：因为ab2>a>ab，所以a≠0，
当a>0时，b2>1>b，
即解得b<－1；
当a<0时，b2<1
答案：(－∞，－1)
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