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    高考数学(理数)一轮复习学案7.1《不等关系与不等式》(含详解)
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    高考数学(理数)一轮复习学案7.1《不等关系与不等式》(含详解)

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    这是一份高考数学(理数)一轮复习学案7.1《不等关系与不等式》(含详解),共8页。

    7.1 不等关系与不等式



    1.两个实数大小的比较
    (1)a>b⇔a-b________.
    (2)a=b⇔a-b________.
    (3)a<b⇔a-b________.
    2.不等式的性质
    (1)对称性:a>b⇔__________.
    (2)传递性:a>b,b>c⇒__________.
    (3)不等式加等量:a>b⇔a+c______b+c.
    (4)不等式乘正量:a>b,c>0⇒__________,
    不等式乘负量:a>b,c<0⇒__________.
    (5)同向不等式相加:a>b,c>d⇒__________.
    ※(6)异向不等式相减:a>b,c (7)同向不等式相乘:a>b>0,c>d>0⇒__________.
    ※(8)异向不等式相除:a>b>0,0 ※(9)不等式取倒数:a>b,ab>0⇒<.
    (10)不等式的乘方:a>b>0⇒______________.
    (11)不等式的开方:a>b>0⇒______________.
    注:(5)(6)说明,同向不等式可相加,但不可相减,而异向不等式可相减;(7)(8)说明,都是正数的同向不等式可相乘,但不可相除,而都是正数的异向不等式可相除.

    自查自纠:
    1.>0 =0 <0
    2.(1)bc (3)> (4)ac>bc ac (5)a+c>b+d (7)ac>bd
    (10)an>bn(n∈N且n≥2)
    (11)>(n∈N且n≥2)


                          
    下列说法正确的是 (  )
    A.若>1,则a>b
    B.一个不等式的两边加上或乘以同一个实数,不等号方向不变
    C.一个非零实数越大,则其倒数就越大
    D.a>b>0,c>d>0⇒>
    解:举反例易知A,B,C均错误,c>d>0⇒>>0,故选项D正确.故选D.
    ()若a<b<0,则下列不等式中一定成立的是 (  )
    A.< B.<
    C.a+<b+ D.<
    解:因为a<b<0,所以b-a>0,ab>0,-=>0,因此A错误;由函数f(x)=是减函数知>,B错误;由-= (a-b)<0知C正确.或用特值法,取a=-2,b=-1,排除A,B,D.故选C.
    ()若a,b都是实数,则 “->0”是“a2-b2>0”的 (  )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    解:由->0得a>b≥0,由a2-b2>0得a2>b2,即|a|>|b|,所以“->0”是“a2-b2>0”的充分不必要条件.故选A.
    已知a=2,b=+2,则a,b的大小关系是a__________b.
    解:由于a=2,b=+2,平方作差得a2-b2=28-14-8=14-8=8>0,从而a>b.故填>.
    ()若a,b∈R,且a+|b|<0,则下列不等式中正确的是________.(填序号)
    ①a-b>0;②a3+b3>0;③a2-b2<0;④a+b<0.
    解:a+|b|<0⇒a<0且-a>|b|,由|b|≥-b得 -a>-b⇒a-b<0,①错;由|b|≥b得-a>b⇒-a3>b3⇒a3+b3<0,②错;由|a|=-a>|b|⇒a2>b2⇒a2-b2>0,③错;由-a>b⇒a+b<0,④对.故填④.


    类型一 建立不等关系
     ()用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于108 m2,靠墙的一边长为x m,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________.
    解:设矩形靠墙的一边长为x m,
    则另一边长为 m,即 m,
    根据题意知 故填

    点 拨:
    解决有关不等关系的实际问题,应抓住关键字词,例如“要”“必须”“不少于”“大于”等,从而建立相应的方程或不等式模型.

     ()某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价%.若p>q>0,则提价多的方案是________.
    解:设原价为a,方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),
    方案乙提价后为a,
    因为=
    ≥()2=(1+p%)(1+q%),
    又因为p>q>0,所以等号不成立,则提价多的为方案乙.
    另解:用作差法来比较.故填乙.

    类型二 不等式的性质
     (1)对于任意实数a,b,c,d,下列命题中正确的是 (  )
    A.若a>b,c≠0,则ac>bc
    B.若a>b,则ac2>bc2
    C.若ac2>bc2,则a>b
    D.若a>b,则<
    解:对于选项A,当c<0时,不正确;
    对于选项B,当c=0时,不正确;
    对于选项C,因为ac2>bc2,所以c≠0,所以c2>0,所以一定有a>b,故选项C正确;
    对于选项D,当a>0,b<0时,不正确.故选C.
    (2)已知四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0,能推出<成立的条件的序号是________.
    解:运用倒数法则,a>b,ab>0⇒<,②④正确.又正数大于负数,所以①正确.故填①②④.

    点  拨:
    利用不等式性质进行命题的判断时:①判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.②在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,判断的同时常常还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质等.
      
     (1)若a>b>0,c<d<0,则一定有
    (  )
    A.> B.<
    C.> D.<
    解:由c<d<0⇒->->0,又a>b>0,故由不等式性质,得->->0,所以<.故选D.
    (2)若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是 (  )
    A.a+c>b-c B.(a-b)c2>0
    C.a3>b3 D.a2>b2
    解:对于A,由于不知道c的正负及大小,故无法判断a+c与b-c的大小关系,所以错误;对于B,当c=0时,(a-b)c2>0不成立,所以错误;对于D,需要保证|a|>|b|,才能得到a2>b2,所以错误.故选C.
    类型三 不等式性质的应用
     (1)已知-1 解法一:设2x-3y=λ(x+y)+μ(x-y)
    =(λ+μ)x+(λ-μ)y,
    则⇒
    所以2x-3y=-(x+y)+(x-y),
    而-2<-(x+y)<,5<(x-y)<,
    所以3<2x-y<8,即2x-y∈(3,8).
    解法二:令则
    且-1 所以2x-3y=2·-3·=-+b,
    因为-1 所以-2<-<,5 所以3<-+b<8,即2x+y∈(3,8).
    解法三:由线性规划知识求解.故填(3,8).
    (2)若实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值是________.
    解法一:由3≤xy2≤8,4≤≤9,可知x>0,y>0,且≤≤,16≤≤81,得2≤≤27,故的最大值是27.
    解法二:设=·(xy2)n,
    则x3y-4=x2m+ny2n-m,
    所以即
    又因为16≤≤81,≤(xy2)-1≤,
    所以2≤≤27,故的最大值为27.故填27.
    点  拨:
    由a  (1)若角α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是________.
    解:因为-<α<β<,所以-<α<,-<β<,-<-β<,而α<β,所以-π<α-β<0,所以2α-β=(α-β)+α∈.故填.

    (2)()若-1≤lg≤2,1≤lg(xy)≤4,则lg的取值范围是________.
    解:由1≤lg(xy)≤4,-1≤lg≤2,
    得1≤lgx+lgy≤4,-1≤lgx-lgy≤2,
    则lg=2lgx-lgy=(lgx+lgy)+(lgx-lgy),
    所以-1≤lg≤5.故填[-1,5].
    类型四 比较大小
     (1)()若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为 (  )
    A.pq D.p≥q
    解:p-q=+-a-b
    =+=(b2-a2)
    ==,
    因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.
    若a=b,则p-q=0,即p=q;
    若a≠b,则p-q<0,即p 综上,p≤q.故选B.
    (2)已知a>0,b>0,且a≠b,试比较aabb与 (ab) 的大小.
    解:因为a>0,b>0,
    所以==ab=,
    若a>b>0,则>1,a-b>0,
    由指数函数的性质知>1;
    若b>a>0,则0<<1,a-b<0,
    由指数函数的性质知>1.
    综上知,>1,又(ab)>0,所以aabb>(ab).

    点  拨:
    作差(商)比较法的步骤是:①作差(商);②变形:配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等;③判断符号(判断商和“1”的大小关系);④给出结论.

     (1)()已知a1≤a2,b1≥b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是________.
    解:a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)(b1-b2),因为a1≤a2,b1≥b2,所以a1-a2≤0,b1-b2≥0,于是(a1-a2)(b1-b2)≤0,故a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1.故填a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1.
    (2)若0 解:因为01且2a<1,所以a<2b·a=2a(1-a)=-2a2+2a= -2+<,即a<2ab<.又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,即a2+b2>.a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=(2b-1)(b-1),又2b-1>0,b-1<0,所以a2+b2-b<0,所以a2+b2 另解:用特值法比较,如取a=,b=.
    故填a<2ab<   
     ()已知a=3,b= log,c=log2,则 (  )
    A.a>b>c B.b>c>a
    C.c>b>a D.b>a>c
    解:因为a=3>1,0b>c.故选A.

    点  拨:
    比较大小的常用方法:①作差法;②作商法;③放缩法.在代数式的比较大小问题中,一般是通过放缩变形,得到一个中间的参照式(或数),放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等.有时,等号成立的条件是比较大小的关键所在.
      
     设x>0,P=2x+2-x,Q=(sinx+cosx)2,则 (  )
    A.P>Q B.P C.P≤Q D.P≥Q
    解:因为2x+2-x≥2=2(当且仅当x=0时等号成立),而x>0,所以P>2;又(sinx+cosx)2=1+sin2x,而sin2x≤1,所以Q≤2,则有P>Q.故选A.



    1.理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质,是解不等式和证明不等式的依据和基础.
    2.一般数学结论都有前提,不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前,一定要准确把握前提条件,一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件.
    3.不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种,前者一般是证明不等式的理论基础,后者一般是解不等式的理论基础.
    4.利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意:“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形,若多次使用,则有可能使取值范围扩大,解决这一问题的方法是:先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再一次性的运用这种变形,即可求得正确的待求整体的范围.
    5.比较两个实数的大小,有作差法和作商法两种方法.一般多用作差法,注意当这两个数都是正数时,才可以用作商法.作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系;作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系.
    6.对于实际问题中的不等量关系,还要注意实际问题对各个参变数的限制.


                        
    1.()下列命题中,正确的是
    (  )
    A.若a>b,c>d,则ac>bd
    B.若ac>bc,则a>b
    C.若<,则a D.若a>b,c>d,则a-c>b-d
    解:选项A:取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;选项B:当c<0时,ac>bc⇒a0,所以a 2.()已知a>b>0,则下列不等式一定成立的是 (  )
    A.|a|<|b| B.>
    C.> D.lna>lnb
    解:取a=2,b=1,则2=|a|>|b|=1,=<=1,a=2=<=1,lna=ln2>0=ln1=lnb.故选D.
    3.若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是 (  )
    A.a+c≥b-c B.(a-b)c2≥0
    C.ac>bc D.>0
    解:A项:当c<0时,不等式a+cb⇒a-b>0,c2≥0,故(a-b)c2≥0;C项:当c=0时,ac=bc;D项:当c=0时, =0.故选B.
    4.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的
    (  )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    解:若a+b>0,取a=3,b=-2,则ab>0不成立;反之,若a=-2,b=-3,则a+b>0也不成立,因此“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.故选D.
    5.()若<<0,则下列结论正确的是 (  )
    A.a2>b2 B.1>>
    C.+<2 D.aeb>bea
    解:由题意,b>1,+>2,因为beb>0,-b>-a>0,所以-bea>-aeb,所以aeb>bea.故选D.
    6.()已知a,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,则 (  )
    A.(a-1)(b-1)<0 B.(a-1)(a-b)>0
    C.(b-1)(b-a)<0 D.(b-1)(b-a)>0
    解:因为a,b>0且a≠1,b≠1,所以当a>1,即a-1>0时,不等式logab>1可化为logab>logaa,则b>a>1,所以(a-1)(a-b)<0,(a-1)(b-1)>0, (b-1)(b-a)>0.当01可化为logab>logaa,即00,(b-1)(b-a)>0.故选D.
    7.若1<α<3,-4<β<2,则-β的取值范围是________.
    解:由1<α<3得<<,由-4<β<2得 -2<-β<4,所以-β的取值范围是.故填.
    8.设a>b>0,m≠-a,则>时,实数m满足的条件是________.
    解:由>得>0,因为a>b>0,所以>0,即或所以m>0或m<-a,即m满足的条件是m>0或m<-a.故填m<-a或m>0.
    9.已知a+b>0,且a≠b,比较+与+的大小.
    解:+-
    =+
    =(a-b)
    =(a-b)·
    =-.
    而a+b>0,a≠b,故上式小于0.
    从而+<+.
    10.()设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
    解法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
    即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
    则解得
    所以f(-2)=3f(-1)+f(1).
    又因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
    所以5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10,
    即f(-2)的取值范围是[5,10].
    解法二:由

    所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
    又因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
    所以5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10,
    即f(-2)的取值范围是[5,10].
    11.(1)设x (2)已知a,b,x,y∈(0,+∞)且>,x>y,求证:>.
    解:(1)方法一: (x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
    =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y),
    因为x0,x-y<0,
    所以-2xy(x-y)>0,
    所以(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
    方法二:因为xy2,x+y<0.
    所以(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0,
    所以0<=<1,
    所以(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
    (2)证明:-=.
    因为>且a,b∈(0,+∞),所以b>a>0,
    又因为x>y>0,所以bx>ay>0,
    所以>0,所以>.
    甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,试判断谁先到教室?
    解:设从寝室到教室的路程为s,甲、乙两人的步行速度为v1,跑步速度为v2,且v1 甲所用的时间t甲=+=,
    乙所用的时间t乙满足:·v1+·v2=s,则t乙=,
    所以=·=
    =>=1.
    因为t甲>0,t乙>0,
    所以t甲>t乙,即乙先到教室.




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