(新高考)高考数学三轮冲刺小题必练11《函数的图像与性质》(解析版)

1．描点法作图

方法步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数的解析式；（3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；（4）描点连线，画出函数的图象．

2．图象变换

（1）平移变换

（2）对称变换

①；

②；

③；

④(且)(且)．

（3）伸缩变换

．

②．

（4）翻折变换

①．

②．

1．【2016北京卷理14】设函数．

①若，则的最大值为__________；

②若无最大值，则实数的取值范围是__________．

【答案】2，

【解析】两个函数的图像如图所示，当时，有图像可知的最大值为2；

当时，没有最大值；当时，在处取得最大值2．

【点睛】画出图形，可以通过图形的变化而得．

2．【2019天津卷8】已知函数．给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是的最大值；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．

其中正确结论的选项是（    ）

A．① B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】AB

【解析】①，正确；

②，取最大值，错误；

③根据图像左加右减原则，正确．

【点睛】对于函数的相关性质，要会把当做整体，由的相关性质可得．

一、单选题．

1．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题可得，解得或，

由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为，

故选A．

2．设函数则满足的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由或，

∴满足的的取值范围是，故选D．

3．已知函数为偶函数，当时，，且为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵函数为偶函数，∴．

又为奇函数，图象关于点对称，∴函数的图象关于点对称，

∴，∴，∴，∴函数的周期4，

∴，故选C．

4．已知函数，则的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】∵，∴函数为奇函数，排除B选项，

求导：，∴函数单调递增，故排除C选项，

令，则，故排除D，故选A．

5．函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于A、B两图，，而的两根为0和，且两根之和为，

由图知，得，矛盾；

对于C、D两图，，在C图中两根之和，即矛盾，C错，D正确，

故选D．

6．函数在上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】函数是偶函数，则其图象关于轴对称，

∴函数的图像关于对称，则，，

函数在上单调递增，则有，∴．

故选C．

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题将原式化简得，，

∴函数是奇函数，故排除选项A；

又在区间时，，故排除选项B；

当时，，故排除选项C，

故选D．

8．已知函数满足和，且当时，，则（    ）

A．0 B．2 C．4 D．5

【答案】C

【解析】函数满足和，

可函数是以4为周期的周期函数，且关于对称，

又由当时，，∴，

故选C．

9．若定义在上的偶函数，满足且时，，则方程的实根个数是（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．6个

【答案】C

【解析】由可得函数的周期为2，

又函数为偶函数且当时，，故可作出函数得图象，

∴方程的解个数等价于与图象的交点，

由图象可得它们有4个交点，故方程的解个数为4．故选C．

二、多选题．

10．【2017全国1卷文9】已知函数，则（    ）

A．在单调递增 B．在单调递减

C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称

【答案】ABC

【解析】利用对数的运算法则，则，根据同增异减法则，知A、B正确；

注意到函数的定义域为，利用二次函数的对称性，知C正确．

11．在实数集中定义一种运算“”，，，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，，．关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为3；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中正确说法的选项为（    ）

A．① B．② C．③ D．②③

【答案】AB

【解析】由于对任意，，，

则由对任意，，可得，则有，

对于①，由于定义域为，则，，

当且仅当，即有，取最小值3，故①对；

对于②，由于定义域为，关于原点对称，且，

则为偶函数，故②对；

对于③，，令，则，

即的单调递增区间为，故③错．

三、填空题．

12．函数在区间上的值域是，则的最小值是________．

【答案】

【解析】函数的图象如图所示：

∵，∴根据图可知，，

∴当，，取得最小值为．

故答案为．

13．【2016浙江卷文11】已知，则      ，     ．

【答案】，

【解析】

，

，，

故答案为，．

14．函数，定义函数，给出下列命题：

①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有4个零点．其中正确命题的序号为__________．

【答案】②③④

【解析】对于①，∵函数，函数，

∴，∴，故①不正确；

对于②，∵，∴函数是偶函数，故②正确；

对于③，由，得，

又，∴，即，∴成立．故③正确；

对于④，由于，定义函数，

∴当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

∴当时，的最小值为，

∴当时，函数的图象与有2个交点，

又函数是偶函数，∴当时，函数的图象与也有2个交点，

画出图象如下图：

故当时，函数有4个零点，∴④正确，

综上可得②③④正确．