(新高考)高考数学三轮冲刺小题必练10《计数原理与概率》(解析版)

1．掌握古典概率的基本特征，解决简单的概率实际问题，借助古典概型初步认识有限样本空间、随机事件，以及随机事件的概率．

2．能够根据实际问题的需求，选择恰当的抽样方法获取样本数据，重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养．

3．了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义，利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

1．【2020全国新高考Ⅰ卷】名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】C

【解析】．

【点睛】本题主要考查计数原理的相关知识，考查数学运算．

2．【2020全国II卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压份订单未配货，预计第二天的新订单超过份的概率为．志愿者每人每天完成份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者（    ）

A．名 B．名 C．名 D．名

【答案】B

【解析】由题意知超市第二天能完成份订单的配货，

如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过份订单的概率为，

因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，

至少需要志愿者（名），故选B．

【点睛】本题主要考查概率知识在生活中的应用，考查数学运算和数据分析．

一、单选题．

1．某电视台一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【解析】最前排甲，共有种，

最前只排乙，最后不能排甲，有种，

根据加法原理可得，共有种，故选B．

2．某班班会准备从甲、乙等名学生中选派名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的和数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，分种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有种情况；

若甲乙两人都参加，有种情况，其中甲乙相邻的有种情况，

则不同的发言顺序种数为种，故选C．

3．某校毕业典礼由个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，

且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】A

【解析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分种情况讨论：

①甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丁、丙相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，

将剩下的个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，

则此时有种编排方法；

②甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丁、丙相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，

将剩下的个节目全排列，安排在其他三个位置，有安排方法，

则此时有种编排方法；

③甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则丁、丙相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，

将剩下的个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，

则此时有种编排方法，

则符合题意要求的编排方法有种，故选A．

4．若二项式的展开式中的系数是，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】二项式的展开式，即的展开式中项的系数为，

所以，令，解得，

代入得，解得，故选C．

5．展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】展开式中，各项系数之和为，

时，，，

，

∵展开式中的一项为，的此项为，

展开式中的常数项为，故选D．

6．“暑假”期间，三个家庭（每家均为一对夫妇和一个孩子）去“沈阳世博园”游玩，在某一景区前合影留念，要求前排站三个小孩，后排为三对夫妇，则每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】前排站三个小孩，后排为三对夫妇的排列为种，

前排站三个小孩，后排为三对夫妇，则每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致，

故有种，

故每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率，故选B．

7．已知集合，若从集合中任取个不同的数，则这三个数可以作为三角形三边长的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】不妨设取出的三个数为，且，若，能够成三角形，

则有以下几种情况；

当时，；

当时，；

当时，一共有组，

∴所求的概率为．

8．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分析题意可知，阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形，

设圆的半径为，该正方形的边长为，则对于正方形的对角线而言，可以分为三个部分，第一个部分为正方形的对角线上的顶点到圆心的距离，两圆的圆心距，对角线上顶点到圆心的距离，

故，解得，

故概率，故选A．

二、多选题．

9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则（    ）

A．某学生从中选门，共有种选法

B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法

C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法

D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法

【答案】CD

【解析】门中选门共有种，故A错误；

课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；

课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；

课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确．

10．已知二项式的展开式中第项与第项的二项式系数之比是，则下列说法正确的是（    ）

A．所有项的系数之和为 B．所有项的系数之和为

C．含的项的系数为 D．含的项的系数为

【答案】AC

【解析】二项式展开式通项为：，

因为展开式中第项与第项的二项式系数之比是，所以，解得；

则该二项式为，令，则所有项的系数之和为，故A正确，B错误；

则展开式的通项公式为，

令，则，因此含的项的系数为，故C正确，D错误．

11．一袋中有大小相同的个红球和个白球，给出下列结论：①从中任取球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球次，每次任取球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为．则其中正确命题的序号是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】ABD

【解析】一袋中有大小相同的个红球和个白球，

①从中任取球，恰有一个白球的概率是，故正确；

②从中有放回的取球次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，

则恰好有两次白球的概率为，故正确；

③现从中不放回的取球次，每次任取球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误；

④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为，

则至少有一次取到红球的概率为，故正确．

12．如图所示的电路中，只箱子表示保险匣分别为、、、、．箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（    ）

A．所在线路畅通的概率为 B．所在线路畅通的概率为

C．所在线路畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为

【答案】BD

【解析】由题意知，、、、、保险闸被切断的概率分别为，，，，，

所以、两个盒子畅通的概率为，因此A错误；

、两个盒子并联后畅通的概率为，因此C错误；

、、三个盘子混联后畅通的概率为，B正确；

根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为，D正确．

三、填空题．

13．（北京市海淀区2018年高三一模）社区主任要为小红等名志愿者和他们帮助的位老人拍照，要求排成一排，小红必须与位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是_______．（用数字作答）

【答案】24

【解析】首先小红必须与位老人都相邻有种排法，将三人看成一个整体，从剩下的名志愿者中选出两人排在两端有种，剩下的一名志愿者与小红等三人可乱排有种，

根据分步计数原理可得不同的排法种数种．

14．(广东省东莞市2018届高三上学期期末数学试卷)，

则的值为________．

【答案】

【解析】由题意得，取，代入二式项得，

∴，

∵，

∴．

15．（山西省忻州一中、临汾一中2020届联考）是半径为的圆周上一个定点，在圆周上等可能任取一点，连接，则弦的长度超过的概率是_______．

【答案】

【解析】根据题意可得，满足条件：“弦的长度超过”对应的弧，其构成的区域是圆的，

故弦的长度超过的概率．

16．已知，满足约束条件，且的最小值为．

（1）常数________；

（2）向上述不等式组所表示的平面区域内随机投石子，则石子落在该区域内的最大圆内的概率为_____．

【答案】（1）；（2）

【解析】由的几何意义可知，

当经过与的交点时，取得最小值，

故，解得．

（2）由（1）可知，在直角坐标系内画出可行域如图，易求得，，．

而为等腰直角三角形，且斜边，其内切圆半径，

所以平面区域内圆的最大面积是，

又平面区域的面积，

所以所求概率．