(新高考)高考数学一轮复习考点练习01《集合》（解析版）

考点01  集 合

【命题解读】

集合的运算.高考对集合基本运算的考查，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．常见选择题.

【基础知识回顾】 

1、元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉。

2、集合间的基本关系

(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A。

(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA。

(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。   

(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3、集合的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

4、集合的运算性质

(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。

(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB

(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A。

（4）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)。

5、相关结论：

(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。

(2)不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.

1、（2021年徐州摸底）已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以.

故选：B.

2、（2021高三期末）已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由集合，

所以

故选：D

3、（2021·贵溪市实验中学高一期末）已知全集，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

故选:D.

4、（2021·山东德州市·高三期末）设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

又

所以

故选：A

5、（多选题）已知全集，集合，满足，则下列选项正确的有　　

A． B． C． D．

【答案】B、D

【解析】，，，，，

考向一　集合的基本概念

例1、下列命题正确的有（　　）

（1）很小的实数可以构成集合；

（2）集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合；

（3）这些数组成的集合有5个元素；

（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A．

【解析】（1）中很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性；

（2）中集合{y|y＝x2﹣1}的元素为实数，而集合{（x，y）|y＝x2﹣1}的元素是点；

（3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素；

（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}中还包括实数轴上的点．

故选：A．

变式1、已知集合A＝，则集合A的子集的个数为(　　)

A．  7   B． 8    C． 15     D．16

【答案】B

【解析】由≤0，可得(x＋1)(x－2)≤0，且x≠2，解得－1≤x<2.又x∈Z，可得x＝－1,0,1，∴A＝{－1,0,1}．∴集合A的子集的个数为23＝8.

变式2、若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)

A.   B.   C.0   D.0或

【答案】D

【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.

当a＝0时，x＝，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，

所以a的取值为0或.

方法总结：

1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性

考向二  集合间的基本关系

例2、（2021·苏州·一模）如图，阴影部分表示的集合为

 A．A (B)     B．B (A)   C．A (B)      D．B (A)                   

【答案】B

【解析】从图中可以看出阴影部分在A内，同时也在集合B内，故选B．

例3、（2021·连云港·一模）若非空且互不相等的集合M，N，P满足：MN＝M，NP＝P，则MP＝

   A．             B．M             C．N             D．P

【答案】D

【解析】M ≠ N，N ≠ P，则 M∪P＝P，故选 D.

变式1、已知集合M＝，集合N＝，则(　　)

A．M∩N＝∅   B．M⊆N

C．N⊆M   D．M∪N＝M

【答案】B

【解析】由题意可知，M＝

＝，

N＝，

所以M⊆N，故选B。

变式2、已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________.

【答案】(－∞，4]

【解析】当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图.

则

解得2<m≤4.

综上，m的取值范围为(－∞，4].

方法总结(1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.

考向三  集合的运算

例4、（2020·浙江高三月考）已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题意可得，.

故选：B.

例5、设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．

【答案】 (－∞，－1]∪{1}

【解析】因为A＝{0，－4}，A∩B＝B，所以B⊆A，分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，

解得a＜－1。

综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}。

变式1、（2021·常州·一模）已知集合A＝，B＝，若AB，则实数a的取值范围为  

   A．{0}                              B．{﹣1，3}

C．(，0)(3，)                D．(，﹣1)(3，)

【答案】D

【解析】由已知得，， ，由 AB

1.若a＞0，则，所以

2.若a＜0，则

3.当时，可得集合，此时不满足；

故 a的范围(，﹣1)(3，)

变式2、（2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）设集合A＝，B＝，则AB＝

A．        B．

C．{3，4}            D．{3，4，5}

【答案】C

【解析】由题意，，所以，故答案选C.

变式3、已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(　　)

A．{x|－1<x<2}    B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x<－1}∪{x|x>2}   D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

【答案】B

【解析】方法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B。

方法二：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B。

方法总结：

集合运算的常用方法

①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；

②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；

②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．

考向四  集合的新定义问题

例6、.若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)

A.1    B.3

C.7    D.31

【答案】B

【解析】：具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.

【变式】给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：

①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；

②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；

③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．

其中正确结论的序号是________．

【答案】②

【解析】：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋k∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．

方法总结：正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口。

1、【2020年高考天津】设全集，集合，则

A． B．

C．  D．

【答案】C

【解析】由题意结合补集的定义可知，则.

故选C．

2、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则

A．{−2，3}  B．{−2，2，3}

C．{−2，−1，0，3}  D．{−2，−1，0，2，3}

【答案】A

【解析】由题意可得，则.

故选A

3、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合，，则中元素的个数为

A．2  B．3

C．4  D．6

【答案】C

【解析】由题意，中的元素满足，且，

由，得，

所以满足的有，

故中元素的个数为4.

故选C．

4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=

A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}

C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}

【答案】C

【解析】.故选C

5、（2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B=

A．(–∞，1) B．(–2，1)    

C．(–3，–1) D．(3，+∞)

【答案】A

【解析】由题意得，或，，则．故选A．

6、（2021·无锡·一模）1设集合M=，，则M∩N＝（  ）

A．[0，1)  B．(0，1)  C．(－1，+∞)  D．(1，+∞)

【答案】B

【解析】

7、（2021·扬州·一模）设集合A=，，则A∩B＝（ ）

A．(－2，3)   B．(－2，2)  C．(0，3)  D．(0，2)

【答案】D

【解析】由已知得，，,故，选D．

8、（2021·浙江绍兴市·高三期末）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】由，可得

因为等价于或，

且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．

（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；

（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．

综上所求或，即，故，

故选：D．