(新高考)高考数学一轮复习考点练习08《函数的概念与运算》（解析版）

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考点08 函数的概念与运算

【命题解读】
通过函数概念和函数解析式的学习，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题，逐步养成学习者的数学抽象能力。
【基础知识回顾】
1．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的三种表示法
解析法
图象法
列表法
就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.
就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.
就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

1、下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝，g(x)＝x－2
C．f(x)＝，g(x)＝sin x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝
【答案】D
【解析】A，B，C的定义域不同，所以答案为D.
2、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考）函数的定义域是____
【答案】
【解析】依题意，即，解得.
3、设函数f(x)＝则f的值为(　　)
A． B．－ C． D．18
【答案】　A
【解析】当x>1时，f(x)＝x2＋x－2，则f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝，当x≤1时，f(x)＝1－x2，
∴f＝f＝1－＝．
4、(2019南京三模）若函数f(x)＝，则f(log23)＝ ▲ ．
【答案】．
【解析】因为1＜＜2，所以f(log23)＝f(log23－2)＝.
5、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(1)＝____．
【答案】9
【解析】　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．

∴，解得∴f(x)＝2x＋7，从而得f(1)＝9.
6、函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．

【答案】[－3，0]∪[2，3]　[1，5]　[1，2)∪(4，5]
【解析】观察图像结合函数的概念。


考向一　函数的概念
例1　(1)已知A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值；
(2)下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有　　
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】．
【解析】(1)(定义法)由对应法则1→4，2→7，3→10，又k→3k＋1，故a2＋3a＝10(a4＝10舍去)，解得a＝2或a＝－5(舍去)，故3k＋1＝a4＝16，解得k＝5.∴a＝2，k＝5.【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．
（2）对于，函数与的解析式不同，表示相同函数；
对于，函数的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
对于，函数的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
对于，函数的定义域为，，，的定义域为，定义域不同，不是相同函数．
故选：．

变式1、下列各对函数中是同一函数的是(　　) ．
A．f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0 B．f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|；
C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)； D．f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.
【答案　BD
【解析】　①函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；②f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一函数；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系相同，是同一函数．
变式2、已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
【答案】：③
【解析】：对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数．
变式3、若一系列函数的解析：式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析：式为y＝2x2＋1，值域为{3,19}的“孪生函数”共有________个．
【答案】：　9
【解析】：若y＝3，则由2x2＋1＝3，得x＝±1；
若y＝19，则由2x2＋1＝19，得x＝±3．
所以函数f(x)定义域可以是{1，－3}，{1,3}，{－1,3}，{－1，－3}，{－1,1,3}，{－1,1，－3}，{－3,1,3}，{－3，－1,3}，{－1，－3,1,3}，共有9个孪生函数．
方法总结：(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质．要判定一个对应是不是从定义域A到值域B的一个函数，就要看其是否满足函数的定义，反之亦然；
(2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数，而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数．
考向二 函数的解析式
例3、(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解答】　(1)(换元法)令＋1＝t，得x＝，
代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg，
x∈(1，＋∞)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，
得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R.
变式1、已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
【答案】f(x)＝x2＋x，
【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
变式2、若函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，则f（x）等于（　　）
A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．3x+3
【答案】A．
【解析】函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，
令x＝﹣x，则：f（﹣x）﹣2f（x）＝3（﹣x）﹣1．
则：，
解方程组得：f（x）＝x+1．
故选：A．
变式3、如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动，设点P移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．

(1)求△ABP的面积与点P移动的路程间的函数关系式；
(2)作出函数的图像，并根据图像求y的最大值．
【解析】　(1)考虑到点P在正方形ABCD四边上移动时△ABP的面积y与路程x的解析式不同，应分段进行考虑，首先，这个函数的定义域为(0，12]．

当0＜x≤4时，S＝f(x)＝·4·x＝2x；
当4＜x≤8时，S＝f(x)＝8；
当8＜x＜12时，S＝f(x)＝·4·(12－x)＝2(12－x)＝24－2x.
∴这个函数的解析式为f(x)＝
(2)作出其图像如图所示，由图像可知，f(x)max＝8.∴y的最大值为8.
方法总结：函数解析式的常见求法
　函数解析式的求法主要有以下几种：
(1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．
(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
考向三 分段函数
例3、（1）已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.
（2）、已知则f(7） =______.
（3）(2019苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝若f(a－1)＝，则实数a＝________．
（4）、(2018南京、盐城、连云港、徐州二模）已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________．

【答案】（1）0　2－3；（2）6（3） log23（4） [－4,2]　
【解析】（1）∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
∴f(f(－3))＝f(1)＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x)min＝2－31时，f(a－1)＝2a－1－1＝，
解得a＝log23.
（4）当x≤0时，不等式f(x)≥－1可以化为x＋1≥－1，
解之得x≥－4，此时－4≤x≤0；当x>0时，不等式f(x)≥－1可以化为－(x－1)2≥－1，
解之得00时，2－m2，所以3(2－m)－m＝－(2＋m)－2m，所以m＝8；当m2,2＋m