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重庆市第一中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)
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这是一份重庆市第一中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市第一中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．（3分）方程5x2﹣1＝4x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，﹣1，4 B．5，﹣1，﹣4 C．5，﹣4，﹣1 D．5，4，﹣1
2．（3分）下列关于x的方程中，为一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x（x+3）＝x2﹣1
C．mx﹣x2＝0 D．
3．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，﹣4） C．（0，﹣4） D．（0，14）
4．（3分）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
5．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
6．（3分）某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．800（1+2x）＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+x）2＝100 D．80（1+x2）＝100
7．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+n＝0无实数根，则一次函数y＝（n﹣1）x﹣n的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c的图象相交于两点A（﹣1.5，6），B（7，2），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1.5≤x≤7 B．﹣1.5≤x＜7
C．﹣1.5＜x≤7 D．x≤﹣1.5或x≥7
9．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，1） D．（，3）
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
11．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是 ．
12．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是 ．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
14．（3分）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是 ．
15．（3分）竖直向上抛出小球的高度h（米）与抛出的时间t（秒）满足关系式h＝﹣4.9t2+24.5t，从地面相隔1秒竖直向上分别抛出的两个小球，当两个小球在空中处于同一个高度时，这个高度离地面 米．
16．（3分）如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 ．
三、解答题（共8小题，17～21每题8分，22～23每题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）解方程
（1）x2﹣2x＝4
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）
18．（8分）已知方程x2+kx﹣12＝0的一个根为2，求k的值及方程的另外一个根？
19．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣6经过（4，6）．
（1）求抛物线对应的函数关系式．
（2）若将此抛物线沿x轴向右平移，平移后的抛物线经过时，求平移的距离．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2＝22，求a的值．
21．（8分）已知k是常数，抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
（1）求k的值；
（2）若点P在抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
22．（10分）某校准备在图书馆后面的场地边建一个矩形自行车棚，一边充分利用图书馆的后墙（墙长m＝15米），并利用已有总长27米的铁围栏，且留有1米宽的门．设矩形自行车棚的边AB长x米，面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示长方形的面积S；
（2）若要求车棚的面积为80平方米，求AB长；
（3）若要求车棚的面积为100平方米，能否搭建？（回答能或不能即可）
23．（10分）某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC及抛物线的解析式，并求出D点的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）若点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
重庆市第一中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．（3分）方程5x2﹣1＝4x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，﹣1，4 B．5，﹣1，﹣4 C．5，﹣4，﹣1 D．5，4，﹣1
【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），即可解答．
【解答】解：∵5x2﹣1＝4x，
∴5x2﹣4x﹣1＝0，
∴方程5x2﹣1＝4x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5，﹣4，﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．（3分）下列关于x的方程中，为一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x（x+3）＝x2﹣1
C．mx﹣x2＝0 D．
【分析】根据判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”进行分析即可．
【解答】解：A、当a≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、是一元二次方程，故此选项正确；
D、不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，﹣4） C．（0，﹣4） D．（0，14）
【分析】根据题目中的函数解析式，令x＝0，求出相应的y的值，即可解答本题．
【解答】解：∵y＝2（x﹣3）2﹣4，
∴当x＝0时，y＝14，
即二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的图象与y轴的交点坐标为（0，14），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道抛物线与y轴的交点，横坐标为0．
4．（3分）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
6．（3分）某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．800（1+2x）＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+x）2＝100 D．80（1+x2）＝100
【分析】利用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2017年蔬菜产量为80吨，则2018年蔬菜产量为80（1+x）吨，2019年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，
即：80（1+x）（1+x）＝100或80（1+x）2＝100．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
7．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+n＝0无实数根，则一次函数y＝（n﹣1）x﹣n的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先根据关于x的方程x2﹣2x+n＝0无实数根求出n的取值范围，再判断出一次函数y＝（n﹣1）x﹣n的图象经过的象限即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+n＝0无实数根，
∴Δ＝4﹣4n＜0，解得n＞1，
∴n﹣1＞0，﹣n＜0，
∴一次函数y＝（n﹣1）x﹣n的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象当k＞0，b＜0时在一、三、四象限是解答此题的关键．
8．（3分）如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c的图象相交于两点A（﹣1.5，6），B（7，2），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1.5≤x≤7 B．﹣1.5≤x＜7
C．﹣1.5＜x≤7 D．x≤﹣1.5或x≥7
【分析】通过图象及点A，B坐标求解．
【解答】解：∵抛物线与直线交点为A（﹣1.5，6），B（7，2），抛物线开口向上，
∴﹣1.5≤x≤7时，y1≥y2，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，结合图象求解．
9．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，1） D．（，3）
【分析】将A（﹣3，0），B（1，0）两点坐标代入y＝ax2+bx+2，得出关于a，b的二元一次方程组．要使△ACP的面积最大，则△ACP的AC边上的高最大．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
令x＝0，则y＝2，
∴点C（0，2）．
设直线AC的解析式为y＝kx+m（k≠0），
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
由三角形的面积可知，平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时，△ACP的面积最大，
此时设过点P的直线为y＝x+n，
联立，
消掉y得，﹣x2﹣x+2＝x+n，
整理得，2x2+6x﹣6+3n＝0，
Δ＝62﹣4×2×（﹣6+3n）＝0，
解得n＝，
此时x1＝x2＝﹣＝﹣，
y＝×（﹣）+＝，
∴点P（﹣，）时，△ACP的面积最大．
故选：A．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组，把问题转化为二次方程，利用判别式解决问题．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，故①正确；
②抛物线开口向上，得：a＞0；
抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，b＝﹣2a，故b＜0；
抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；
所以abc＞0；
故②正确；
③根据②可将抛物线的解析式化为：y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当x＝﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c＝8a+c＞0，故③正确；
④根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x＝﹣1时，y＜0，所以当x＝3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确；
所以这四个结论都正确．
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
11．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是 1± ．
【分析】先将方程两边加2，再根据完全平方公式，将方程左边转化为完全平方的形式，再利用数的开方直接求解．
【解答】解：两边同时加1，得，x2﹣2x+1＝2，
整理得，（x﹣1）2＝2，
开方得x﹣1＝±，
即x1＝1﹣，x2＝1+．
【点评】本题先将方程转化为完全平方的形式，再开方．要注意
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
12．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是 y1＜y2＜y3 ．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，根据x＞1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝3（x﹣1）2+k，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，
A（﹣4，y3）关于直线x＝1的对称点是（6，y3），
∵2＜3＜6，
∴y1＜y2＜y3，
故答案为y1＜y2＜y3．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞且m≠2 ．
【分析】本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝b2﹣4ac＞0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即（2m+1）2﹣4×（m﹣2）2×1＞0，
解这个不等式得，m＞，
又∵二次项系数是（m﹣2）2≠0，
∴m≠2
故M得取值范围是m＞且m≠2．
故答案为：m＞且m≠2．
【点评】1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．
14．（3分）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是 ﹣5 ．
【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点（﹣2，5）代入，得到4a﹣2b＝3，最后将8a﹣4b﹣11变形求值即可．
【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，解题的关键是得出平移后的表达式．
15．（3分）竖直向上抛出小球的高度h（米）与抛出的时间t（秒）满足关系式h＝﹣4.9t2+24.5t，从地面相隔1秒竖直向上分别抛出的两个小球，当两个小球在空中处于同一个高度时，这个高度离地面 29.4 米．
【分析】根据题意求得该函数的对称轴是直线t＝﹣＝2.5，把t＝3代入h＝﹣4.9t2+24.5t即可得到结论．
【解答】解：∵h＝﹣4.9t2+24.5t，
∴该函数的对称轴是直线t＝﹣＝2.5，
∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同，
∴第二个小球抛出2.5+0.5＝3秒时，两个小球在空中的高度相同，
把t＝3代入h＝﹣4.9t2+24.5t得，h＝﹣4.9×32+24.5×3＝29.4，
∴这个高度离地面为29.4米，
故答案为：29.4．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．（3分）如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 6 ．
【分析】根据抛物线y＝x2的性质，作出B的对称点B′，连接AB′交y轴于P，P即为所求．
【解答】解：如图，作出B的对称点B′，连接AB′交y轴于P，
则P就是使△PAB的周长最小时．
因为∠BAC的平分线交BC于点D，
∵B、B′关于y轴对称，
∴PB＝PB′，
∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，
∴此时△PAB的周长最小，
∵B（3，9），
∴B′（﹣3，9），
∵A（1，1），
设直线AB′的直线方程为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB′的解析式为y＝﹣2x+3，
∴P点的坐标为（0，3）．
∴S△PAB＝S△B′BA﹣S△B′BP＝×6×（9﹣1）﹣＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，二次函数图象上的点的坐标特征以及待定系数法求解析式，作出B的对称点是本题的关键．
三、解答题（共8小题，17～21每题8分，22～23每题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）解方程
（1）x2﹣2x＝4
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）先移项得到2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
所以x1＝3，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．
18．（8分）已知方程x2+kx﹣12＝0的一个根为2，求k的值及方程的另外一个根？
【分析】由一元二次方程的解的定义，将x＝2代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值；利用根与系数的关系即可求得原方程的另一根．
【解答】解：∵方程x2+kx﹣12＝0的一个根为2，
∴x＝2满足方程x2+kx﹣12＝0，
∴4+2k﹣12＝0，
解得，k＝4．
设方程的另一根为x，则2x＝﹣12，
解得，x＝﹣6；
即k的值是4，方程的另一根是﹣6．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义和根与系数的关系．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
19．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣6经过（4，6）．
（1）求抛物线对应的函数关系式．
（2）若将此抛物线沿x轴向右平移，平移后的抛物线经过时，求平移的距离．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）设平移距离为h，根据“左加右减”平移规律写出平移后的解析式，然后代入求值．
【解答】解：（1）把（4，6）代入y＝ax2﹣ax﹣6，得16a﹣4a﹣6＝6，
解得a＝1．
故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x﹣6；
（2）设平移距离为h（h＞0），
由抛物线y＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣沿x轴向右平移h个单位后得到抛物线y＝（x﹣﹣h）2﹣．
将代入，得（﹣﹣h）2﹣＝4．
解得h＝．
即平移的距离是．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，难度不大．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2＝22，求a的值．
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝4（a﹣1）2﹣4（a2+5）＞0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2+5，再利用x12+x22﹣x1x2＝22得到4（a﹣1）2﹣3（a2+5）＝22，然后解关于a的方程，最后利用a的取值范围确定a的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4（a﹣1）2﹣4（a2+5）＞0，
解得a＜﹣2，
即a的取值范围为a＜﹣2；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2+5，
∵x12+x22﹣x1x2＝22，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝22，
∴4（a﹣1）2﹣3（a2+5）＝22，
整理得a2﹣8a﹣33＝0，
解得a1＝11，a2＝﹣3，
∵a＜﹣2，
∴a的值为﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
21．（8分）已知k是常数，抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
（1）求k的值；
（2）若点P在抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为y轴，则b＝0，可求出k的值，再根据抛物线与x轴有两个交点，进而确定k的值和抛物线的关系式；
（2）由于对称轴为y轴，点P到y轴的距离为2，可以转化为点P的横坐标为2或﹣2，求相应的y的值，确定点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，
∴k2+k﹣6＝0，解得k1＝﹣3，k2＝2；
又∵抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k与x轴有两个交点．
即抛物线y＝x2+3k与x轴有两个交点．
∴b2﹣4ac＞0，
即﹣12k＞0，
也就是k＜0，
又k1＝﹣3，k2＝2，
∴k＝﹣3．
此时抛物线的关系式为y＝x2﹣9，
因此k的值为﹣3．
（2）∵点P在抛物线y＝x2﹣9上，且P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2或﹣2，
当x＝2时，y＝﹣5
当x＝﹣2时，y＝﹣5．
∴P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）
因此点P的坐标为：P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）．
【点评】主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，善于将线段的长转化为坐标，或将坐标转化为线段的长．
22．（10分）某校准备在图书馆后面的场地边建一个矩形自行车棚，一边充分利用图书馆的后墙（墙长m＝15米），并利用已有总长27米的铁围栏，且留有1米宽的门．设矩形自行车棚的边AB长x米，面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示长方形的面积S；
（2）若要求车棚的面积为80平方米，求AB长；
（3）若要求车棚的面积为100平方米，能否搭建？（回答能或不能即可）
【分析】（1）根据题意表示出BC的长，再利用矩形面积得出答案；
（2）利用（1）中所求，结合S＝80进而得出答案；
（3）利用（1）中所求，结合S＝100，再由根的判别式得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：AB＝xm，则BC＝（28﹣2x）m，
故S＝x（28﹣2x）＝﹣2x2+28x；
（2）由（1）得：
80＝﹣2x2+28x，
整理得：x2﹣14x+40＝0，
解得：x1＝4，x2＝10，
∵当AB＝4时，BC＝28﹣2x＝20（m），
∴此时不合题意，故AB＝10m；
（3）当100＝﹣2x2+28x，
整理得：x2﹣14x+50＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝196﹣250＝﹣54＜0，
∴此方程无实数根，
∴不能搭建面积为100平方米的车棚．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积求解：长×宽，一元二次方程的求解是本题的关键与重点．
23．（10分）某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）＝﹣（x﹣70）2+2500，进而求解；
（3）由题意得：w＝（x﹣20×2）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，解得x1＝70，x2＝90，而40≤x≤a，进而求解．
【解答】解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，
将（40，80）、（60，60）代入上式得：，解得，
故y与x的关系式为y＝﹣x+120；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）＝﹣（x﹣70）2+2500，
∵x﹣20≥0，﹣x+120≥0，x﹣20≤20×100%，
∴20≤x≤40，
∵﹣1＜0，
故抛物线开口向下，
故当x＜70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40（元）时，w的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，
解得x1＝70，x2＝90，
∵x﹣2×20≥0，
∴x≥40，
又∵x≤a，
∴40≤x≤a．
∴有两种情况，
①a＜80时，即40≤x≤a，
在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，即40≤x≤a，
在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
∴a＝70．
【点评】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC及抛物线的解析式，并求出D点的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）若点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的解析式可以得到点C的坐标，然后根据点A的坐标，即可得到直线AC的解析式，然后将点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可得到抛物线的解析式，然后将抛物线解析式化为顶点式，即可得到点D的坐标；
（2）先求出直线BD的解析式，然后根据P为线段BD上的一个动点，可以设出点P的坐标，然后即可得到四边形AMPC的面积，再根据二次函数的性质，即可得到四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）根据题意，可以画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以求得点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣ax2+bx+3与y轴交于点C，
∴点C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），
∵点A（﹣1，0），点C（0，3），
∴，得，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
∵抛物线y＝﹣ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∵点B（3，0），点D（1，4），
∴，得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6，
∵P为线段BD上的一个动点，
∴设点P的坐标为（p，﹣2p+6），
∵OA＝1，OC＝3，OM＝p，PM＝﹣2p+6，
∴S四边形PMAC
＝S△OAC+S梯形OMPC
＝+
＝﹣p2+p+
＝﹣（p﹣）2+，
∵1＜p＜3，
∴当p＝时，四边形PMAC的面积取得最大值为，此时点P的坐标为（，）；
（3）∵直线l∥AC，以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ∥AC且PQ＝AC，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴设点P的坐标为（x，0），
当点Q在x轴上方时，则点Q的坐标为（x+1，3），
此时，﹣（x+1）2+2（x+1）+3＝3，
解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝1，
∴点Q的坐标为（2，3）；
当点Q在x轴下方时，则点Q的坐标为（x﹣1，﹣3），
此时，﹣（x﹣1）2+2（x﹣1）+3＝﹣3，
整理得，x2﹣4x﹣3＝0，
解得x1＝2+，x2＝2﹣，
∴点Q的坐标为（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3），
综上所述，点Q的坐标为（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．
【点评】本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
重庆市第一中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．（3分）方程5x2﹣1＝4x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，﹣1，4 B．5，﹣1，﹣4 C．5，﹣4，﹣1 D．5，4，﹣1
2．（3分）下列关于x的方程中，为一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x（x+3）＝x2﹣1
C．mx﹣x2＝0 D．
3．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，﹣4） C．（0，﹣4） D．（0，14）
4．（3分）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
5．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
6．（3分）某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．800（1+2x）＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+x）2＝100 D．80（1+x2）＝100
7．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+n＝0无实数根，则一次函数y＝（n﹣1）x﹣n的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c的图象相交于两点A（﹣1.5，6），B（7，2），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1.5≤x≤7 B．﹣1.5≤x＜7
C．﹣1.5＜x≤7 D．x≤﹣1.5或x≥7
9．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，1） D．（，3）
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
11．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是 ．
12．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是 ．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
14．（3分）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是 ．
15．（3分）竖直向上抛出小球的高度h（米）与抛出的时间t（秒）满足关系式h＝﹣4.9t2+24.5t，从地面相隔1秒竖直向上分别抛出的两个小球，当两个小球在空中处于同一个高度时，这个高度离地面 米．
16．（3分）如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 ．
三、解答题（共8小题，17～21每题8分，22～23每题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）解方程
（1）x2﹣2x＝4
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）
18．（8分）已知方程x2+kx﹣12＝0的一个根为2，求k的值及方程的另外一个根？
19．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣6经过（4，6）．
（1）求抛物线对应的函数关系式．
（2）若将此抛物线沿x轴向右平移，平移后的抛物线经过时，求平移的距离．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2＝22，求a的值．
21．（8分）已知k是常数，抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
（1）求k的值；
（2）若点P在抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
22．（10分）某校准备在图书馆后面的场地边建一个矩形自行车棚，一边充分利用图书馆的后墙（墙长m＝15米），并利用已有总长27米的铁围栏，且留有1米宽的门．设矩形自行车棚的边AB长x米，面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示长方形的面积S；
（2）若要求车棚的面积为80平方米，求AB长；
（3）若要求车棚的面积为100平方米，能否搭建？（回答能或不能即可）
23．（10分）某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC及抛物线的解析式，并求出D点的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）若点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
重庆市第一中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．（3分）方程5x2﹣1＝4x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，﹣1，4 B．5，﹣1，﹣4 C．5，﹣4，﹣1 D．5，4，﹣1
【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），即可解答．
【解答】解：∵5x2﹣1＝4x，
∴5x2﹣4x﹣1＝0，
∴方程5x2﹣1＝4x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5，﹣4，﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．（3分）下列关于x的方程中，为一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x（x+3）＝x2﹣1
C．mx﹣x2＝0 D．
【分析】根据判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”进行分析即可．
【解答】解：A、当a≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、是一元二次方程，故此选项正确；
D、不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，﹣4） C．（0，﹣4） D．（0，14）
【分析】根据题目中的函数解析式，令x＝0，求出相应的y的值，即可解答本题．
【解答】解：∵y＝2（x﹣3）2﹣4，
∴当x＝0时，y＝14，
即二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的图象与y轴的交点坐标为（0，14），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道抛物线与y轴的交点，横坐标为0．
4．（3分）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
6．（3分）某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．800（1+2x）＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+x）2＝100 D．80（1+x2）＝100
【分析】利用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2017年蔬菜产量为80吨，则2018年蔬菜产量为80（1+x）吨，2019年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，
即：80（1+x）（1+x）＝100或80（1+x）2＝100．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
7．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+n＝0无实数根，则一次函数y＝（n﹣1）x﹣n的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先根据关于x的方程x2﹣2x+n＝0无实数根求出n的取值范围，再判断出一次函数y＝（n﹣1）x﹣n的图象经过的象限即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+n＝0无实数根，
∴Δ＝4﹣4n＜0，解得n＞1，
∴n﹣1＞0，﹣n＜0，
∴一次函数y＝（n﹣1）x﹣n的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象当k＞0，b＜0时在一、三、四象限是解答此题的关键．
8．（3分）如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c的图象相交于两点A（﹣1.5，6），B（7，2），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1.5≤x≤7 B．﹣1.5≤x＜7
C．﹣1.5＜x≤7 D．x≤﹣1.5或x≥7
【分析】通过图象及点A，B坐标求解．
【解答】解：∵抛物线与直线交点为A（﹣1.5，6），B（7，2），抛物线开口向上，
∴﹣1.5≤x≤7时，y1≥y2，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，结合图象求解．
9．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，1） D．（，3）
【分析】将A（﹣3，0），B（1，0）两点坐标代入y＝ax2+bx+2，得出关于a，b的二元一次方程组．要使△ACP的面积最大，则△ACP的AC边上的高最大．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
令x＝0，则y＝2，
∴点C（0，2）．
设直线AC的解析式为y＝kx+m（k≠0），
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
由三角形的面积可知，平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时，△ACP的面积最大，
此时设过点P的直线为y＝x+n，
联立，
消掉y得，﹣x2﹣x+2＝x+n，
整理得，2x2+6x﹣6+3n＝0，
Δ＝62﹣4×2×（﹣6+3n）＝0，
解得n＝，
此时x1＝x2＝﹣＝﹣，
y＝×（﹣）+＝，
∴点P（﹣，）时，△ACP的面积最大．
故选：A．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组，把问题转化为二次方程，利用判别式解决问题．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，故①正确；
②抛物线开口向上，得：a＞0；
抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，b＝﹣2a，故b＜0；
抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；
所以abc＞0；
故②正确；
③根据②可将抛物线的解析式化为：y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当x＝﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c＝8a+c＞0，故③正确；
④根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x＝﹣1时，y＜0，所以当x＝3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确；
所以这四个结论都正确．
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
11．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是 1± ．
【分析】先将方程两边加2，再根据完全平方公式，将方程左边转化为完全平方的形式，再利用数的开方直接求解．
【解答】解：两边同时加1，得，x2﹣2x+1＝2，
整理得，（x﹣1）2＝2，
开方得x﹣1＝±，
即x1＝1﹣，x2＝1+．
【点评】本题先将方程转化为完全平方的形式，再开方．要注意
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
12．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是 y1＜y2＜y3 ．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，根据x＞1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝3（x﹣1）2+k，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，
A（﹣4，y3）关于直线x＝1的对称点是（6，y3），
∵2＜3＜6，
∴y1＜y2＜y3，
故答案为y1＜y2＜y3．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞且m≠2 ．
【分析】本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝b2﹣4ac＞0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即（2m+1）2﹣4×（m﹣2）2×1＞0，
解这个不等式得，m＞，
又∵二次项系数是（m﹣2）2≠0，
∴m≠2
故M得取值范围是m＞且m≠2．
故答案为：m＞且m≠2．
【点评】1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．
14．（3分）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是 ﹣5 ．
【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点（﹣2，5）代入，得到4a﹣2b＝3，最后将8a﹣4b﹣11变形求值即可．
【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，解题的关键是得出平移后的表达式．
15．（3分）竖直向上抛出小球的高度h（米）与抛出的时间t（秒）满足关系式h＝﹣4.9t2+24.5t，从地面相隔1秒竖直向上分别抛出的两个小球，当两个小球在空中处于同一个高度时，这个高度离地面 29.4 米．
【分析】根据题意求得该函数的对称轴是直线t＝﹣＝2.5，把t＝3代入h＝﹣4.9t2+24.5t即可得到结论．
【解答】解：∵h＝﹣4.9t2+24.5t，
∴该函数的对称轴是直线t＝﹣＝2.5，
∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同，
∴第二个小球抛出2.5+0.5＝3秒时，两个小球在空中的高度相同，
把t＝3代入h＝﹣4.9t2+24.5t得，h＝﹣4.9×32+24.5×3＝29.4，
∴这个高度离地面为29.4米，
故答案为：29.4．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．（3分）如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 6 ．
【分析】根据抛物线y＝x2的性质，作出B的对称点B′，连接AB′交y轴于P，P即为所求．
【解答】解：如图，作出B的对称点B′，连接AB′交y轴于P，
则P就是使△PAB的周长最小时．
因为∠BAC的平分线交BC于点D，
∵B、B′关于y轴对称，
∴PB＝PB′，
∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，
∴此时△PAB的周长最小，
∵B（3，9），
∴B′（﹣3，9），
∵A（1，1），
设直线AB′的直线方程为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB′的解析式为y＝﹣2x+3，
∴P点的坐标为（0，3）．
∴S△PAB＝S△B′BA﹣S△B′BP＝×6×（9﹣1）﹣＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，二次函数图象上的点的坐标特征以及待定系数法求解析式，作出B的对称点是本题的关键．
三、解答题（共8小题，17～21每题8分，22～23每题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）解方程
（1）x2﹣2x＝4
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）先移项得到2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
所以x1＝3，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．
18．（8分）已知方程x2+kx﹣12＝0的一个根为2，求k的值及方程的另外一个根？
【分析】由一元二次方程的解的定义，将x＝2代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值；利用根与系数的关系即可求得原方程的另一根．
【解答】解：∵方程x2+kx﹣12＝0的一个根为2，
∴x＝2满足方程x2+kx﹣12＝0，
∴4+2k﹣12＝0，
解得，k＝4．
设方程的另一根为x，则2x＝﹣12，
解得，x＝﹣6；
即k的值是4，方程的另一根是﹣6．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义和根与系数的关系．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
19．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣6经过（4，6）．
（1）求抛物线对应的函数关系式．
（2）若将此抛物线沿x轴向右平移，平移后的抛物线经过时，求平移的距离．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）设平移距离为h，根据“左加右减”平移规律写出平移后的解析式，然后代入求值．
【解答】解：（1）把（4，6）代入y＝ax2﹣ax﹣6，得16a﹣4a﹣6＝6，
解得a＝1．
故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x﹣6；
（2）设平移距离为h（h＞0），
由抛物线y＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣沿x轴向右平移h个单位后得到抛物线y＝（x﹣﹣h）2﹣．
将代入，得（﹣﹣h）2﹣＝4．
解得h＝．
即平移的距离是．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，难度不大．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2＝22，求a的值．
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝4（a﹣1）2﹣4（a2+5）＞0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2+5，再利用x12+x22﹣x1x2＝22得到4（a﹣1）2﹣3（a2+5）＝22，然后解关于a的方程，最后利用a的取值范围确定a的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4（a﹣1）2﹣4（a2+5）＞0，
解得a＜﹣2，
即a的取值范围为a＜﹣2；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2+5，
∵x12+x22﹣x1x2＝22，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝22，
∴4（a﹣1）2﹣3（a2+5）＝22，
整理得a2﹣8a﹣33＝0，
解得a1＝11，a2＝﹣3，
∵a＜﹣2，
∴a的值为﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
21．（8分）已知k是常数，抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
（1）求k的值；
（2）若点P在抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为y轴，则b＝0，可求出k的值，再根据抛物线与x轴有两个交点，进而确定k的值和抛物线的关系式；
（2）由于对称轴为y轴，点P到y轴的距离为2，可以转化为点P的横坐标为2或﹣2，求相应的y的值，确定点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，
∴k2+k﹣6＝0，解得k1＝﹣3，k2＝2；
又∵抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k与x轴有两个交点．
即抛物线y＝x2+3k与x轴有两个交点．
∴b2﹣4ac＞0，
即﹣12k＞0，
也就是k＜0，
又k1＝﹣3，k2＝2，
∴k＝﹣3．
此时抛物线的关系式为y＝x2﹣9，
因此k的值为﹣3．
（2）∵点P在抛物线y＝x2﹣9上，且P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2或﹣2，
当x＝2时，y＝﹣5
当x＝﹣2时，y＝﹣5．
∴P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）
因此点P的坐标为：P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）．
【点评】主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，善于将线段的长转化为坐标，或将坐标转化为线段的长．
22．（10分）某校准备在图书馆后面的场地边建一个矩形自行车棚，一边充分利用图书馆的后墙（墙长m＝15米），并利用已有总长27米的铁围栏，且留有1米宽的门．设矩形自行车棚的边AB长x米，面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示长方形的面积S；
（2）若要求车棚的面积为80平方米，求AB长；
（3）若要求车棚的面积为100平方米，能否搭建？（回答能或不能即可）
【分析】（1）根据题意表示出BC的长，再利用矩形面积得出答案；
（2）利用（1）中所求，结合S＝80进而得出答案；
（3）利用（1）中所求，结合S＝100，再由根的判别式得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：AB＝xm，则BC＝（28﹣2x）m，
故S＝x（28﹣2x）＝﹣2x2+28x；
（2）由（1）得：
80＝﹣2x2+28x，
整理得：x2﹣14x+40＝0，
解得：x1＝4，x2＝10，
∵当AB＝4时，BC＝28﹣2x＝20（m），
∴此时不合题意，故AB＝10m；
（3）当100＝﹣2x2+28x，
整理得：x2﹣14x+50＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝196﹣250＝﹣54＜0，
∴此方程无实数根，
∴不能搭建面积为100平方米的车棚．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积求解：长×宽，一元二次方程的求解是本题的关键与重点．
23．（10分）某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）＝﹣（x﹣70）2+2500，进而求解；
（3）由题意得：w＝（x﹣20×2）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，解得x1＝70，x2＝90，而40≤x≤a，进而求解．
【解答】解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，
将（40，80）、（60，60）代入上式得：，解得，
故y与x的关系式为y＝﹣x+120；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）＝﹣（x﹣70）2+2500，
∵x﹣20≥0，﹣x+120≥0，x﹣20≤20×100%，
∴20≤x≤40，
∵﹣1＜0，
故抛物线开口向下，
故当x＜70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40（元）时，w的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，
解得x1＝70，x2＝90，
∵x﹣2×20≥0，
∴x≥40，
又∵x≤a，
∴40≤x≤a．
∴有两种情况，
①a＜80时，即40≤x≤a，
在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，即40≤x≤a，
在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
∴a＝70．
【点评】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC及抛物线的解析式，并求出D点的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）若点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的解析式可以得到点C的坐标，然后根据点A的坐标，即可得到直线AC的解析式，然后将点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可得到抛物线的解析式，然后将抛物线解析式化为顶点式，即可得到点D的坐标；
（2）先求出直线BD的解析式，然后根据P为线段BD上的一个动点，可以设出点P的坐标，然后即可得到四边形AMPC的面积，再根据二次函数的性质，即可得到四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）根据题意，可以画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以求得点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣ax2+bx+3与y轴交于点C，
∴点C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），
∵点A（﹣1，0），点C（0，3），
∴，得，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
∵抛物线y＝﹣ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∵点B（3，0），点D（1，4），
∴，得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6，
∵P为线段BD上的一个动点，
∴设点P的坐标为（p，﹣2p+6），
∵OA＝1，OC＝3，OM＝p，PM＝﹣2p+6，
∴S四边形PMAC
＝S△OAC+S梯形OMPC
＝+
＝﹣p2+p+
＝﹣（p﹣）2+，
∵1＜p＜3，
∴当p＝时，四边形PMAC的面积取得最大值为，此时点P的坐标为（，）；
（3）∵直线l∥AC，以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ∥AC且PQ＝AC，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴设点P的坐标为（x，0），
当点Q在x轴上方时，则点Q的坐标为（x+1，3），
此时，﹣（x+1）2+2（x+1）+3＝3，
解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝1，
∴点Q的坐标为（2，3）；
当点Q在x轴下方时，则点Q的坐标为（x﹣1，﹣3），
此时，﹣（x﹣1）2+2（x﹣1）+3＝﹣3，
整理得，x2﹣4x﹣3＝0，
解得x1＝2+，x2＝2﹣，
∴点Q的坐标为（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3），
综上所述，点Q的坐标为（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．
【点评】本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
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