重庆市第八中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（10月份）(含答案)

这是一份重庆市第八中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（10月份）(含答案)，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市第八中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考
数学试卷
一、选择题：在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．﹣的倒数是（　　）
A．﹣5 B． C．﹣ D．5
2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算结果正确的是（　　）
A．a9÷a6＝a3 B．9a÷3a＝3a C．7a﹣5a＝2 D．（3a2）3＝9a6
4．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x＞0且x≠1 B．x≥0 C．x≠1 D．x≥0且x≠1
5．如图所示的是一台自动测温记录仪的图象，它反映了重庆秋季某天一段时间的气温T（℃）随时间t变化而变化的关系，观察图象得到的下列信息，其中错误的是（　　）

A．该段时间内最低气温为19℃
B．该段时间内15时达到最高气温
C．从0时至15时，气温随着时间的推移而上升
D．从15时至20时，气温随着时间的推移而下降
6．如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠BAC等于（　　）

A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA＝2OD，若△AOB的面积为4，则△DOF的面积为（　　）

A．2 B． C．1 D．
8．估计的值应在（　　）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．6和7之间 D．9和10之间
9．已知二次函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A． B．k＜2 C．k＞2 D．k≤且k≠0
10．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是AB的中点，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交BC于点N，则MN的长为（　　）

A．5 B． C． D．
11．若整数a使关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
12．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项a1加上（x﹣1）得到b1，将b1乘以x得到第2项a2，再将第2项a2加上（x﹣1）得到b2，将b2乘以x得到第3项a3，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（　　）
①方程a4＝0的实数解为±1；②；③第2023项；④当x＝﹣3时，则的值为．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
13．计算：2﹣2+（2﹣π）0＝　 　．
14．在四个完全相同的球上分别标上数字﹣1、2、﹣3、4，从这四个球中随机取出一个球记所标数字为a，然后再从剩下的球中随机取出一个球记所标数字为b，则一次函数y＝ax+b的图象不经过第三象限的概率是 　 　．
15．如图所示，点A与点B是两个四分之一圆的圆心，且两个圆的半径分别为3和6，则图中阴影部分的面积是 　 　．

16．某小区为了优化环境，计划在小区内甲、乙两块面积相同的空地上种植矮牵牛、金盏菊和三色堇三种花卉．现有10名工人参与种植，且每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积之比为5：4：2．已知每名工人固定种植一种花卉，所有工人花费9天的时间完成了甲地的花卉种植．在乙地进行花卉种植时，为了加快乙地的种植进度，基于甲地的工人分配方案进行了调整，从种植金盏菊和三色堇的工人中分别抽调1人种植矮牵牛，这样乙地花卉种植的天数比甲地少且恰好为整数，则乙地种植金盏菊和三色堇的工人人数之比为 　 　．
三、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．计算：
（1）（x﹣1）2+x（x+2）；
（2）．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，连接BD．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠CDE，使∠CDE＝∠C，DE与BC交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）若∠BDC＝90°，求证：四边形ABFD为菱形．
证明：∵∠C＝∠CDE，
∴　 　．
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDF+∠CDF＝90°，∠C+∠DBF＝90°．
又∠C＝∠CDE，
∴　 　．
∴BF＝DF．
∴BF＝CF＝BC．
∵AD＝BC，
∴　 　．
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形．
∵　 　，
∴四边形ABFD是菱形．

四、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．某校为了解学生对重庆历史文化的了解程度，举办了历史文化知识问答竞赛．现从八、九年级中各随机抽取20名学生的知识竞赛分数（满分100分，分数用x表示，共分成四组：A．95≤x≤100，B．90≤x＜95，C．80≤x＜90，D．0≤x＜80）进行整理、描述、分析，其中分数不低于90分为优秀，下面给出部分信息：
八年级随机抽取20名学生的知识竞赛成绩分数是：65，80，81，84，87，88，90，90，91，91，92，92，92，97，97，98，98，99，100，100．
九年级随机抽取20名学生的知识竞赛分数中，A、D两组数据个数相等，B、C两组的数据是：
88，90，91，92，92，92，92，92，93，93，94，94．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
八年级
九年级
平均数
90.6
90.6
中位数
91.5
a
众数
92
92
优秀率
70%
b%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a＝　 　，b＝　 　，n＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对重庆历史文化知识掌握得更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校八年级有1200人，九年级有1500人参加了此次知识问答竞赛，估计两个年级知识问答竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？

20．如图，已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数的图象都经过点A（2，m），B（﹣4，2）．
（1）求一次函数的表达式，并在网格中画出一次函数图象；
（2）若点C与点A关于原点成中心对称，连接AC、BC，求△ABC的面积；
（3）根据函数图象，请直接写出的解集．

21．如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求货船到A的距离（结果精确到1米）；
（2）若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？请说明理由．

22．某工厂共有300台机器出租，去年每台机器的租金为100元，由于物价上涨，今年这些机器的租金上涨到了121元/台．
（1）求每台机器租金的年增长率；
（2）据预测，当机器的租金定为121元/台时，该工厂可将机器全部租出；若每台机器的租金每增加1元，就要少租出2台．租出的机器该工厂每天每台需支出41元的维护费用，未租出的机器该工厂每天每台需支出20元的保管费用．当每台机器的租金上涨多少元时，该工厂每天的收益为25250元？
23．如果一个自然数N的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A的十位数字比B的十位数字大2，A、B的个位数字之和为10，则称数N为“美好数”，并把数N分解成N＝A×B的过程，称为“美好分解”．例如：∵2989＝61×49，61的十位数字比49的十位数字大2，且61、49的个位数字之和为10，∴2989是“美好数”；又如：∵605＝35×19，35的十位数字比19的十位数字大2，但个位数字之和不等于10，∴605不是“美好数”．
（1）判断525，1148是否是“美好数”？并说明理由；
（2）把一个大于4000的四位“美好数”N进行“美好分解”，即分解成N＝A×B，A的各个数位数字之和的2倍与B的各个数位数字之和的和能被7整除，求出所有满足条件的N．
24．如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣1），且tan∠OAC＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P作PR⊥x轴交AC于点R，若，求点P的坐标；
（3）将抛物线y＝x2+bx+c向右平移一个单位，向下平移一个单位得到新抛物线，在新抛物线上有点M，在原抛物线对称轴上有点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．


25．如图1，△ABC是等腰三角形，BC＝BA，点D是AC边上一点，连接BD，将BD绕着点D顺时针旋转得DE，且使得点E在AB边所在的直线上．
（1）若∠ABC＝90°，点E是AB的中点，CD＝，求△ADE的周长；
（2）如图2，若∠ABC＝60°，点M为BD的中点，连接CM、ME，求证：CM⊥ME；
（3）如图3，若∠ABC＝60°，BC＝4，在同一平面内将△ABD沿着BD翻折得△PBD，且使得点P落在BC下方，连接PC，过点P作PH⊥BC交于点H，点C关于PH的对称点为C'，连接PC'、AC'，当PH﹣HC'最大时，求△ABC'的面积．

重庆市第八中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题：在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．﹣的倒数是（　　）
A．﹣5 B． C．﹣ D．5
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此可得出答案．
【解答】解：﹣的倒数为﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了倒数的定义，属于基础题，注意掌握乘积是1的两数互为倒数．
2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．下列计算结果正确的是（　　）
A．a9÷a6＝a3 B．9a÷3a＝3a C．7a﹣5a＝2 D．（3a2）3＝9a6
【分析】根据积的乘方，同底数幂的除法，单项式除以单项式，合并同类项的法则，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a9÷a6＝a3，故A符合题意；
B、9a÷3a＝3，故B不符合题意；
C、7a﹣5a＝2a，故C不符合题意；
D、（3a2）3＝27a6，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x＞0且x≠1 B．x≥0 C．x≠1 D．x≥0且x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件即可得出答案．
【解答】解：∵x≥0，x﹣1≠0，
∴x≥0且x≠1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．
5．如图所示的是一台自动测温记录仪的图象，它反映了重庆秋季某天一段时间的气温T（℃）随时间t变化而变化的关系，观察图象得到的下列信息，其中错误的是（　　）

A．该段时间内最低气温为19℃
B．该段时间内15时达到最高气温
C．从0时至15时，气温随着时间的推移而上升
D．从15时至20时，气温随着时间的推移而下降
【分析】根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、由图象可知，该段时间内最低气温为早上6点时的19℃，故本选项不合题意；
B、由图象可知，该段时间内15时气温最高是28℃，故本选项不合题意；
C、由图象可知，从0时至6时，气温随着时间的推移而下降，从6时至15时，气温随着时间的推移而上升，故本选项符合题意；
D、由图象可知，从15时至20时，气温随着时间的推移而下降，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是函数的图象，能根据函数图象在坐标系中的增减性判断出函数的增减性是解答此题的关键．
6．如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠BAC等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理求出三角形三边长，再利用勾股定理逆定理判定三角形ABC是直角三角形，最后根据三角函数定义即可求解．
【解答】解：∵小正方形的边长均为1，
∴AC2＝22+12＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝32+42＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握两个定理．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA＝2OD，若△AOB的面积为4，则△DOF的面积为（　　）

A．2 B． C．1 D．
【分析】根据△ABC与△DEF是位似图形得到AB∥DF，证明△AOB∽△DOF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴AB∥DF，
∴△AOB∽△DOF，
∴＝＝，
∴＝，
∵△AOB的面积为4，
∴△DOF的面积为1，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出AB∥DF是解题的关键．
8．估计的值应在（　　）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．6和7之间 D．9和10之间
【分析】根据二次根式的乘方法则，由＝．再根据算术平方根的性质，推断出7＜＜8．
【解答】解：＝．
∵49＜63＜64，
∴．
∴7＜＜8．
∴的值应在7和8之间．
故选：A．
【点评】本题主要考查算术平方根的性质、二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则以及算术平方根的性质是解决本题的关键．
9．已知二次函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A． B．k＜2 C．k＞2 D．k≤且k≠0
【分析】根据Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，且k≠0解出k的范围即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0且k≠0，
4k2﹣8k+4﹣4k2≥0，
4﹣8k≥0，
k且k≠0，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，解题的关键是正确列出Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，本题属于基础题型．
10．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是AB的中点，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交BC于点N，则MN的长为（　　）

A．5 B． C． D．
【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BN的长，然后根据BC＝6，即可求得MN的长．
【解答】解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，
∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，
∴四边形BHFK是正方形，
∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，
∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，
∴∠DEA＝∠EFH，
∵∠A＝∠EHF＝90°，
∴△DAE∽△EHF，
∴＝，
∵正方形ABCD的边长为，BE＝AE，
∴AE＝3，BE＝3，
设FH＝a，则BH＝a，
∴＝，
解得a＝3；
∵FK⊥CB，DC⊥CB，
∴△DCN∽△FKN，
∴＝，
∵BC＝CD＝6，BK＝3，
∴CK＝3，
设CN＝b，则NK＝3﹣b，
∴＝，
解得b＝2，
即CN＝2，
∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，
∴△ADE∽△BEM，
∴＝，
∴＝，
解得BM＝，
∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝6﹣﹣2＝，
故选：B．

【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．若整数a使关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】先解一元一次不等式组可得a＜10，再解分式方程可得y＝，结合题意求出满足条件的a的值分别为﹣2或4或7，再求和即可．
【解答】解：，
由①得，x＜10，
∵不等式组有解，
∴a＜10，
，
a﹣5+4＝3（y﹣1），
a﹣1＝3y﹣3，
3y＝a+2，
y＝，
∵方程有非负整数解，
又由a＜10且a是整数，
∴a+2＝0或a+2＝3或a+2＝6或a+2＝9，
解得a＝﹣2或a＝1或a＝4或a＝7，
∵y≠1，
∴a+2≠3，
∴a＝﹣2或a＝4或a＝7，
∴满足条件的所有整数a之和是9，
故选：A．
【点评】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，方程整数根的特点，分式方程增根是解题的关键．
12．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项a1加上（x﹣1）得到b1，将b1乘以x得到第2项a2，再将第2项a2加上（x﹣1）得到b2，将b2乘以x得到第3项a3，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（　　）
①方程a4＝0的实数解为±1；②；③第2023项；④当x＝﹣3时，则的值为．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意可以得出规律，an＝xn+1﹣x，bn＝xn+1﹣1，根据规律逐项求解判断即可．
【解答】解：由题意可知，，用第1项a1加上（x﹣1）得到b1，将b1乘以x得到第2项a2，
∴b1＝x2﹣x+x﹣1＝x2﹣1，
∴a2＝（x2﹣1）x＝x3﹣x，
∵将第2项a2加上（x﹣1）得到b2，将b2乘以x得到第3项a3，
∴b2＝x3﹣x+x﹣1＝x3﹣1，
∴a3＝（x3﹣1）x＝x4﹣x，
…，以此类推，
∴an＝xn+1﹣x，bn＝xn+1﹣1，
∴a4＝x5﹣x，
解方程x5﹣x＝0，得x＝0，±1，
∴方程a4＝0的实数解为0，±1，故结论①错误；
b9＝x10﹣1＝（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1），故结论②正确；
∵an＝xn+1﹣x，
∴第2023项，故结论③正确；
∵bn＝xn+1﹣1，
∴bk＝xk+1﹣1＝（x﹣1）（xk+xk﹣1+•••+x+1），
∴＝xk+xk﹣1+•••+x+1，
当x＝﹣3时，＝（﹣3）k+（﹣3）k﹣1+•••+（﹣3）+1＝＝，故结论④正确．
故正确的结论为：②③④，一共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律是解答此题的关键，难度较大．
二、填空题：请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
13．计算：2﹣2+（2﹣π）0＝　　．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝+1
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
14．在四个完全相同的球上分别标上数字﹣1、2、﹣3、4，从这四个球中随机取出一个球记所标数字为a，然后再从剩下的球中随机取出一个球记所标数字为b，则一次函数y＝ax+b的图象不经过第三象限的概率是 　　．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和满足a＜0且b≥0的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：若一次函数y＝ax+b的图象不经过第三象限，则a＜0且b≥0，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中满足a＜0且b≥0的结果有4种，
∴一次函数y＝ax+b的图象不经过第三象限的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、一次函数的图象与性质，熟练掌握列表法与树状图法以及一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
15．如图所示，点A与点B是两个四分之一圆的圆心，且两个圆的半径分别为3和6，则图中阴影部分的面积是 　π　．

【分析】如图，连接BC，
【解答】解：连接BC，
∵AC⊥BD，AB＝3，BC＝6，
∴cos∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝60°，
∴AC＝sin60°•BC＝＝3，
∴S阴影＝S扇形DBC﹣S△ABC﹣S扇形ADE
＝
＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了扇形的面积、解直角三角形，解此题的关键是能正确运用扇形面积公式进行计算．
16．某小区为了优化环境，计划在小区内甲、乙两块面积相同的空地上种植矮牵牛、金盏菊和三色堇三种花卉．现有10名工人参与种植，且每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积之比为5：4：2．已知每名工人固定种植一种花卉，所有工人花费9天的时间完成了甲地的花卉种植．在乙地进行花卉种植时，为了加快乙地的种植进度，基于甲地的工人分配方案进行了调整，从种植金盏菊和三色堇的工人中分别抽调1人种植矮牵牛，这样乙地花卉种植的天数比甲地少且恰好为整数，则乙地种植金盏菊和三色堇的工人人数之比为 　1：2　．
【分析】设每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积为5x、4x、2x，在甲地种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的人数分别为a人，b人，（10﹣a﹣b）人，在乙地种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的人数分别为（a+2）人、（b﹣1）人、（9﹣a﹣b）人，在乙地种植的天数比甲地少y天，根据甲乙两地的种植面积相等列出不定义方程，并求出其整数解，便可解决问题．
【解答】解：设每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积为5x、4x、2x，在甲地种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的人数分别为a人，b人，（10﹣a﹣b）人，在乙地种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的人数分别为（a+2）人、（b﹣1）人、（9﹣a﹣b）人，在乙地种植的天数比甲地少y天，
根据题意得9[5ax+4bx+2x（10﹣a﹣b）]＝（9﹣y）[5x（a+2）+4x（b﹣1）+2x（9﹣a﹣b）]，
整理得（3a+2b+24）y＝36，
∴3a+2b+24＝，
∵a、b、y都是正整数，且a＜10，b＜10，y＜9，
∴y＝1，a＝2，b＝3，
∴乙地种植金盏菊和三色堇的工人人数之比为：，
故答案为：1：2．
【点评】本题考查了方程的应用，关键是读懂题意，找出等量关系列出方程，正确求出不定解方程的整数解．
三、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．计算：
（1）（x﹣1）2+x（x+2）；
（2）．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）（x﹣1）2+x（x+2）
＝x2﹣2x+1+x2+2x
＝2x2+1；
（2）
＝÷
＝•
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，连接BD．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠CDE，使∠CDE＝∠C，DE与BC交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）若∠BDC＝90°，求证：四边形ABFD为菱形．
证明：∵∠C＝∠CDE，
∴　CF＝DF　．
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDF+∠CDF＝90°，∠C+∠DBF＝90°．
又∠C＝∠CDE，
∴　∠BDF＝∠DBF　．
∴BF＝DF．
∴BF＝CF＝BC．
∵AD＝BC，
∴　AD＝BF　．
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形．
∵　BF＝DF　，
∴四边形ABFD是菱形．

【分析】（1）作线段CD的垂直平分线，交BC于点F，再作射线DF即可．
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，即可得出答案．
【解答】（1）解：如图，∠CDE即为所求．

（2）证明：∵∠C＝∠CDE，
∴CF＝DF．
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDF+∠CDF＝90°，∠C+∠DBF＝90°．
又∠C＝∠CDE，
∴∠BDF＝∠DBF．
∴BF＝DF．
∴BF＝CF＝BC．
∵AD＝BC，
∴AD＝BF．
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形．
∵BF＝DF，
∴四边形ABFD是菱形．
故答案为：CF＝DF；∠BDF＝∠DBF；AD＝BF；BF＝DF．
【点评】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法、平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解答本题的关键．
四、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．某校为了解学生对重庆历史文化的了解程度，举办了历史文化知识问答竞赛．现从八、九年级中各随机抽取20名学生的知识竞赛分数（满分100分，分数用x表示，共分成四组：A．95≤x≤100，B．90≤x＜95，C．80≤x＜90，D．0≤x＜80）进行整理、描述、分析，其中分数不低于90分为优秀，下面给出部分信息：
八年级随机抽取20名学生的知识竞赛成绩分数是：65，80，81，84，87，88，90，90，91，91，92，92，92，97，97，98，98，99，100，100．
九年级随机抽取20名学生的知识竞赛分数中，A、D两组数据个数相等，B、C两组的数据是：
88，90，91，92，92，92，92，92，93，93，94，94．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
八年级
九年级
平均数
90.6
90.6
中位数
91.5
a
众数
92
92
优秀率
70%
b%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a＝　92　，b＝　75　，n＝　198　；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对重庆历史文化知识掌握得更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校八年级有1200人，九年级有1500人参加了此次知识问答竞赛，估计两个年级知识问答竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？

【分析】（1）依据九年级随机抽取20名学生的知识竞赛分数中，A、D两组数据个数相等，即可得到B、C两组的数据的中位数即为九年级20名学生的知识竞赛成绩分数的中位数，求得B、C两组的12个数据的中位数即可得到a的值．依据分数不低于90分为优秀，即可得到b的值．依据B组数据有11个，即可得到n的值．
（2）比较中位数或优秀率，即可得出九年级学生对重庆历史文化知识掌握得更好．
（3）依据八、九年级的人数以及抽取的样本中的优秀率，即可得到两个年级知识问答竞赛活动成绩优秀的学生人数是1965人．
【解答】解：（1）∵九年级随机抽取20名学生的知识竞赛分数中，A、D两组数据个数相等，
∴B、C两组的数据的中位数即为九年级20名学生的知识竞赛成绩分数的中位数，
∵B、C两组的12个数据是：88，90，91，92，92，92，92，92，93，93，94，94，
∴a＝＝92；
∵九年级随机抽取20名学生的知识竞赛分数中，A、D两组数据个数相等，
∴A组数据有＝4（个），
又∵B组数据为90，91，92，92，92，92，92，93，93，94，94，有11个，
∴b%＝×100%＝75%，即b＝75．
∵B组数据有11个，
∴n＝×360＝198．
故答案为：92；75；198；
（2）九年级学生对重庆历史文化知识掌握得更好，理由：
九年级学生知识竞赛分数的中位数大于八年级学生知识竞赛分数的中位数（或九年级学生知识竞赛分数的优秀率大于八年级学生知识竞赛分数的优秀率）．
（3）1200×70%+1500×75%＝1965（人）．
答：估计两个年级知识问答竞赛活动成绩优秀的学生人数是1965人．
【点评】本题主要考查了众数、中位数的计算方法，掌握众数、中位数以及平均数的定义和优秀率的意义是解题的关键．
20．如图，已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数的图象都经过点A（2，m），B（﹣4，2）．
（1）求一次函数的表达式，并在网格中画出一次函数图象；
（2）若点C与点A关于原点成中心对称，连接AC、BC，求△ABC的面积；
（3）根据函数图象，请直接写出的解集．

【分析】（1）由点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数的表达式，由点B的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）先求得D的坐标，然后根据S△ABC＝S△ABD+S△BCD求得即可；
（3）观察两函数图象的上下位置关系，即可找出不等式的解集．
【解答】解：（1）∵点B（﹣4，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
当x＝2时，m＝﹣＝﹣4，
∴点A的坐标为（2，﹣4）．
将A（2，﹣4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b，得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2．

（2）∵点A的坐标为（2，﹣4），点C与点A关于原点成中心对称，
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
∴直线AC为y＝﹣2x，
把y＝2代入得，2＝﹣2x，解得x＝﹣1，
∴D（﹣1，2），
∴BD＝﹣1+4＝3，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝×（4+4）＝12．

（3）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的下方，
∴的解集是x＜﹣4或0＜x＜2．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征及待定系数法，求出函数的表达式；（2）利用分割法求解；（3）由两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．
21．如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求货船到A的距离（结果精确到1米）；
（2）若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？请说明理由．

【分析】（1）过点C作CM⊥AP于点M，在Rt△ACM中，sin45°＝，解得CM＝，则AM＝CM＝米，在Rt△CMP中，∠CPM＝∠PCB﹣∠A＝30°，tan30°＝，求出PM的值，根据AP＝AM+PM可得答案．
（2）设货船从点P出发沿着南偏西60°的方向行驶到Q点，过点P作PN⊥AB于点N，利用三角函数求出AN和NQ，再根据AQ＝AN+NQ求出AQ的长，与AB作比较即可．
【解答】解：（1）过点C作CM⊥AP于点M，

由题意得，∠A＝45°，∠PCB＝75°，AC＝30米，
在Rt△ACM中，sin45°＝，
解得CM＝，
∴AM＝CM＝米，
在Rt△CMP中，∠CPM＝∠PCB﹣∠A＝30°，
tan30°＝，
解得PM＝，
经检验，PM＝是原方程的解且符合题意，
∴AP＝AM+PM＝+≈58（米）．
∴货船到A的距离约为58米．
（2）设货船从点P出发沿着南偏西60°的方向行驶到Q点，过点P作PN⊥AB于点N，

则∠NPQ＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△ANP中，sin45°＝＝，
解得PN＝15+，
∴AN＝PN＝（15+）米，
在Rt△PNQ中，tan30°＝＝，
解得NQ＝+15，
∴AQ＝AN+NQ＝30+≈64.6（米），
∵64.6＜68，
∴货船能行驶到码头所在的线段AB上．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22．某工厂共有300台机器出租，去年每台机器的租金为100元，由于物价上涨，今年这些机器的租金上涨到了121元/台．
（1）求每台机器租金的年增长率；
（2）据预测，当机器的租金定为121元/台时，该工厂可将机器全部租出；若每台机器的租金每增加1元，就要少租出2台．租出的机器该工厂每天每台需支出41元的维护费用，未租出的机器该工厂每天每台需支出20元的保管费用．当每台机器的租金上涨多少元时，该工厂每天的收益为25250元？
【分析】（1）设每台机器租金的年增长率为x，根据“去年每台机器的租金为100元，由于物价上涨，今年这些机器的租金上涨到了121元/台”列出方程并解答；
（2）设每台机器的租金上涨y元，该工厂每天的收益为25250元，则每天可租出（300﹣2x）台，利用日收益＝每台设备的日租金×每天可租出数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出每台机器的租金．
【解答】解：（1）设每台机器租金的年增长率为x，
由题意，得100（1+x）＝121．
解得x＝0.21＝21%．
答：每台机器租金的年增长率为21%．
（2）设每台机器的租金上涨y元，
由题意，得（121+y﹣41）（300﹣2y）﹣20×2y＝25250．
整理，得（y﹣25）2＝0．
解得y1＝y2＝25．
答：当每台机器的租金上涨25元时，该工厂每天的收益为25250元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．如果一个自然数N的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A的十位数字比B的十位数字大2，A、B的个位数字之和为10，则称数N为“美好数”，并把数N分解成N＝A×B的过程，称为“美好分解”．例如：∵2989＝61×49，61的十位数字比49的十位数字大2，且61、49的个位数字之和为10，∴2989是“美好数”；又如：∵605＝35×19，35的十位数字比19的十位数字大2，但个位数字之和不等于10，∴605不是“美好数”．
（1）判断525，1148是否是“美好数”？并说明理由；
（2）把一个大于4000的四位“美好数”N进行“美好分解”，即分解成N＝A×B，A的各个数位数字之和的2倍与B的各个数位数字之和的和能被7整除，求出所有满足条件的N．
【分析】（1）由525＝35×15，1148＝41×28，再结合定义进行判断即可；
（2）设A＝10（x+2）+（10﹣y），B＝10x+y，其中5≤x≤7，1≤y≤9，且x、y是整数，由题意可得，2（x+2）+（10﹣y）+（x+y）＝3x﹣y+24被7整除，则是整数，再由x、y的取值范围可确定即3x﹣y＝11或18，再分两种情况求解即可．
【解答】解：（1）∵525＝35×15，35的十位数字比15的十位数字大2，且35、15的个位数字之和为10，
∴525是“美好数”，
∵1148＝41×28，41的十位数字比28的十位数字大2，且41、28的个位数字之和为不等于10，
∴1148不是“美好数”；
（2）∵N是大于4000的四位“美好数”，
∴设A＝10（x+2）+（10﹣y），B＝10x+y，其中5≤x≤7，1≤y≤9，且x、y是整数，
由题意可得，2（x+2）+（10﹣y）+（x+y）＝3x﹣y+24被7整除，
∴是整数，
∴是整数，
∵5≤x≤7，1≤y≤9，
∴9≤3x﹣y+3≤23，
∴3x﹣y+3＝14或21，即3x﹣y＝11或18，
①当3x﹣y＝11时，或，
∴A＝76，B＝54或A＝83，B＝67，
∴N＝4104或5561；
②当3x﹣y＝18时，，
∴A＝97，B＝73，
∴N＝7081；
综上所述：N的值为4104或5561或7081．
【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，根据数的整除性分类讨论，弄清定义是解题的关键．
24．如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣1），且tan∠OAC＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P作PR⊥x轴交AC于点R，若，求点P的坐标；
（3）将抛物线y＝x2+bx+c向右平移一个单位，向下平移一个单位得到新抛物线，在新抛物线上有点M，在原抛物线对称轴上有点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．


【分析】（1）由C（0，﹣1），tan∠OAC＝＝，可得A（﹣2，0），用待定系数法即得抛物线的解析式为y＝x2+x﹣1；
（2）设P（t，t2+t﹣1），其中﹣2＜t＜﹣，由PQ∥x轴，得PQ＝2（﹣﹣t）＝﹣﹣2t，由A（﹣2，0），C（0，﹣1）可得直线AC解析式为y＝﹣x﹣1，故R（t，﹣t﹣1），PR＝﹣t2﹣2t，根据PQ+PR＝，有﹣﹣2t﹣t2﹣2t＝，可解得P（﹣1，﹣）；
（3）原抛物线解析式为y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，可得新抛物线解析式是y＝x2﹣x﹣，设M（m，m2﹣m﹣），N（﹣，n），而A（﹣2，0），C（0，﹣1），分三种情况：①若MN，AC是对角线，有，M（﹣，﹣）；②若MA，NC是对角线，，M（，﹣）；③若MC，NA是对角线，，M（﹣，）．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣1），
∴OC＝1，
在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，
∴OA＝2，即A（﹣2，0），
把A（﹣2，0），C（0，﹣1）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣1；
（2）由y＝x2+x﹣1可得，抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
设P（t，t2+t﹣1），其中﹣2＜t＜﹣，
∵PQ∥x轴，
∴P，Q关于直线x＝﹣对称，
∴PQ＝2（﹣﹣t）＝﹣﹣2t，
由A（﹣2，0），C（0，﹣1）可得直线AC解析式为y＝﹣x﹣1，
∵PR⊥x轴，
∴R（t，﹣t﹣1），
∴PR＝（﹣t﹣1）﹣（t2+t﹣1）＝﹣t2﹣2t，
∵PQ+PR＝，
∴﹣﹣2t﹣t2﹣2t＝，
整理得t2+4t+3＝0，
解得t＝﹣1或t＝﹣3，
∵﹣2＜t＜﹣，
∴t＝﹣1，
∴P（﹣1，﹣）；
（3）原抛物线解析式为y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，
根据题意可得新抛物线解析式是y＝（x﹣1+）2﹣﹣1＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x﹣，
设M（m，m2﹣m﹣），N（﹣，n），而A（﹣2，0），C（0，﹣1），
①若MN，AC是对角线，则MN的中点即为AC的中点，
∴，
可解得m＝﹣，
∴M（﹣，﹣）；
②若MA，NC是对角线，
，
解得m＝，
∴M（，﹣）；
③若MC，NA是对角线，
，
解得m＝﹣，
∴M（﹣，），
综上所述，M的坐标为（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
25．如图1，△ABC是等腰三角形，BC＝BA，点D是AC边上一点，连接BD，将BD绕着点D顺时针旋转得DE，且使得点E在AB边所在的直线上．
（1）若∠ABC＝90°，点E是AB的中点，CD＝，求△ADE的周长；
（2）如图2，若∠ABC＝60°，点M为BD的中点，连接CM、ME，求证：CM⊥ME；
（3）如图3，若∠ABC＝60°，BC＝4，在同一平面内将△ABD沿着BD翻折得△PBD，且使得点P落在BC下方，连接PC，过点P作PH⊥BC交于点H，点C关于PH的对称点为C'，连接PC'、AC'，当PH﹣HC'最大时，求△ABC'的面积．

【分析】（1）如图1中，过点D作DT⊥AB于点T，DK⊥BC于点K．证明四边形BTDK是矩形，求出DK＝2，推出AE＝4，ET＝2，再利用勾股定理求出DE，AD，即可解决问题；
（2）如图2中，连接EC，延长EM到J，使得MJ＝EM，连接BJ，CJ，DJ．设DJ交BC于点P．利用全等三角形的性质证明CE＝CJ，可得结论；
（3）如图3中，以B为圆心BA为半径作⊙B，过点B作BK⊥CB交⊙B于点K，连接CK交PH于点R．证明PH﹣HC′＝PH﹣HR＝PR，推出PR的值最大时，PH﹣HC′的值最小，过点P作PQ⊥CK于点Q，因为△PQR是等腰直角三角形，所以PQ的值最大时，PR的值最大，求出PQ的最大值，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，过点D作DT⊥AB于点T，DK⊥BC于点K．

∵∠DTB＝∠DKB＝∠TBK＝90°，
∴四边形BTDK是矩形，
∴DK＝TB，
∵DE＝DB，DT⊥BE，
∴ET＝BT，
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵CD＝2，
∴DK＝KC＝2，
∴ET＝BT＝2，
∵AE＝EB，
∴AE＝4，AT＝DT＝6，
∴DE＝＝＝2，AD＝AT＝6，
∴△ADE的周长为4+2+6；

（2）证明：如图2中，连接EC，延长EM到J，使得MJ＝EM，连接BJ，CJ，DJ．设DJ交BC于点P．

∵EM＝MJ，BM＝MD，
∴四边形EBJD是平行四边形，
∴EB＝DJ，EB∥DJ，
∵BC＝BA，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠CAB＝60°，
∵BE∥DJ，
∴DPC＝∠ABC＝60°，∠EBD＝∠BDP，
∴△PDC是等边三角形，
∴CD＝DP＝CP，
∵DB＝DE，
∴∠EBD＝∠DEA，
∴∠BDP＝∠DEA，
∵BP＝AD，∠EAD＝∠BPD＝120°，
∴△EAD≌△DPB（AAS），
∴AE＝DP＝CP＝DP，
∵BE＝DJ，AE＝DP，
∴PJ＝AB＝AC，
∵AE＝CP，∠CAE＝∠CPJ＝120°，
∴△EAC≌△CPJ（SAS），
∴CE＝CJ，
∵EM＝MJ，
∴CM⊥EM；

（3）如图3中，以B为圆心BA为半径作⊙B，过点B作BK⊥CB交⊙B于点K，连接CK交PH于点R．

∵BC＝BK，∠CBK＝90°，
∴∠BKR＝45°，
∵PH⊥CB，
∴∠CHR＝90°，
∴∠HCR＝∠HRC＝45°，
∴CH＝HR，
∵C，C′关于PH对称，
∴CH＝HC′，
∴HR＝HC′，
∴PH﹣HC′＝PH﹣HR＝PR，
∴PR的值最大时，PH﹣HC′的值最小，
过点P作PQ⊥CK于点Q，
∵△PQR是等腰直角三角形，
∴PQ的值最大时，PR的值最大，
∴当PB⊥CK时，PQ的值中点，此时PQ＝4﹣2，
∴PR＝PQ＝4﹣4，
∴PH﹣HC′的最大值为4﹣4．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．