2022-2023学年人教版九年级数学上学期期中达标测试卷（B卷）

2022-2023学年人教版九年级数学上学期期中达标测试卷

（B卷）

【满分：120分】

一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.关于x的一元二次方程不含一次项，则m的值为(   )

A.0 B.  C.3 D.-3

2.二次函数的图象如图,则一次函数的图象经过(   )

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限

3.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加1人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是(   )

A.56 B.55 C.54 D.53

4.已知，如图，在中，，cm，cm.将绕顶点O按顺时针方向旋转到处，此时线段与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段的长是(   )

A.1.5 cm B.3 cm C.5 cm D.2.5 cm

5.现要在一个长为40 m,宽为26 m的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草如图所示,要使种植花草的面积为,那么小道的宽度应是(   )

A.1 m  B.2 m  C.2.5 m  D.3 m

6.定义表示不超过实数x的最大整数,如.函数的图象如图所示,已知,则方程的解为(   )

A.0或 B.0或1 C.1或 D.或

7.已知抛物线经过点和，且与y轴交于点C，若，则这条抛物线的解析式是(   )

A.  B.或

C.  D.或

8.欧几里得的《几何原本》记载，方程的图解法如下:画，使，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是(   )

A. 的长 B. 的长 C.的长 D. 的长

9.对于题目：当时，二次函数有最大值4，求实数m的值.甲的结果是2或，乙的结果是或，则(   )

A.甲的结果正确  B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确

10.若，是方程的两个实数根，则的值为(   )

A.3或-9 B.-3或9 C.3或-6 D.-3或6

11.如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线.直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于3.给出下列结论：①；②；③对于任意，恒成立；④其中正确的有(   )

A.4个  B.3个  C.2个  D.1个

12.二次函数的图象与一次函数的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是(   )

A.  B.

C.或 D.或

二、填空题：（每小题3分，共18分）

13.如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，且点A，，在同一条直线上，则的长为____________.

14.将函数的图象先向左平移2个单位,再向下平移5个单位,则最终所得图象对应的函数解析式为_________.

15.如图,已知.一动点N从C点出发沿方向以1 cm/s的速度向B点运动,同时另一动点M由点A沿方向以2 cm/s的速度也向B点运动,其中一点到达B点时另一点也随之停止,当的面积为时,运动的时间t为_______s.

16.已知，抛物线经过两点，则关于x的不等式的解集为_________.

17.已知,则的值为______.

18.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D，E，F分别是BC，BP，PC的中点，连接DE，DF，则的最小值为___________.

三、解答题（本大题共8小题，共计66分，解答题应写出演算步骤或证明过程）

19.（6分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）.

20.（6分）先阅读，再解题

解方程，可以将看成一个整体，设，则原方程可化，解得；，当时，即，解得，当时，即，解得，所 原方程的解为，，

请利用上述这种方法解方程：.

21.（8分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.

（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数.

（2）已知关于x的二次函数和，其中的图象经过点.若与为“同簇二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值.

22.（8分）如今我国的大棚（如图（1））种植技术已十分成熟.小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线形，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图（2）所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米.

（1）直接写出b，c的值；

（2）求大棚的最高处到地面的距离；

（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

23.（8分）已知关于x的一元二次方程.

（1）求证：无论m为何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）若抛物线与x轴交于，两点，且，求m的值；

（3）若，点与在（2）中的抛物线上（点P，Q不重合），求代数式的值.

24.（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线.

（1）求此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；

（2）如果当时，，并且当时，，求该抛物线的解析式；

（3）如果（2）中的抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围.

25.（10分）在和中，，，.

（1）如图1，点D在BC上，求证：，.

（2）将图1中的绕点C按逆时针方向旋转到图2所示的位置，旋转角为α(α为锐角)，线段DE，AE，BD的中点分别为P，M，N，连接PM，PN.

①请直接写出线段PM，PN之间的关系，不需证明；

②若，求α.

26.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点，对称轴为直线，且与x轴交于点H.

(1)求抛物线的表达式.

(2)直线与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q(点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧)，连接CP，CQ，若的面积为，求点P，Q的坐标.

(3)在(2)的条件下，连接AC交PQ于点G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

答案以及解析

1.答案：D

解析：，化为一般式为.由题

意，得，解得，故选D.

2.答案：C

解析：∵抛物线的顶点在第四象限,一次函数的图象经过第二、三、四象限,故选C.

3.答案：B

解析：设这个旅游团有x人，营业额为y元.根据题意可得，故当旅游团的人数是55时，这个旅行社可以获得最大营业额.故选B.

4.答案：A

解析：在中，，cm，cm，cm，点D为AB的中点，cm.将绕顶点O按顺时针方向旋转到处，cm，cm.故选A.

5.答案：B

解析：设小道的宽度应为,则剩余部分可合成长为,宽为的矩形.依题意得,整理,得.解得,.,不合题意,.故小道的宽度应为2 m.故选B.

6.答案：A

解析：当时,,解(舍去)；当时,,解得;当时，,方程没有实数解;当时,,方程没有实数解.所以方程的解为0或.故选A.

7.答案：D

解析：由题意，设抛物线的解析式为.，C点坐标为或.①把代入得，解得，此时抛物线的解析式为，即；②把代入得，解得，此时抛物线的解析式为，即.综上，抛物线的解析式为或.故选D.

8.答案：C

解析：在中,由勾股定理可得,,，与方程相同,且的长度为正数,∴的长是方程的一个正根.故选C.

9.答案：D

解析：二次函数的图像的对称轴为直线，①当时，，二次函数有最大值，此时，解得，与矛盾，此时m值不存在；②当时，，二次函数有最大值，此时，，解得，(舍去)；③当时，，二次函数有最大值，此时，，解得.综上所述，m的值为2或.所以甲、乙的结果合在一起也不正确.

10.答案：A

解析：解：，，，则两根为：3或-1，当时，，当时，.故选：A.

11.答案：A

解析：抛物线与轴交于正半轴，抛物线的对称轴为直线，，故①正确.当时，，且抛物线的对称轴为直线，当时，，，故②正确.当时，二次函数有最大值，，即对于任意，恒成立，故③正确.直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于3，当时，二次函数值小于一次函数值，即，而，解得，故④正确.故选A.

12.答案：D

解析：由题意可知，方程在上只有一个解，即在上只有一个解.当时，即，解得.

当时，此时，不满足题意；当时，此时，满足题意.当时，对于，令，则；令，则，此时，有，解得，当时，此时或3，满足题意；当时，此时或，不满足题意.综上，或.故选D.

13.答案：3

解析：，，，，.由旋转的性质，得，，，，，，，，.

14.答案：

解析：函数的图象先向左平移2个单位,再向下平移5个单位,则最终所得图象对应的函数解析式为,即.故答案为.

15.答案：2

解析：根据题意可知,.

的面积为,,整理得,解得(不合题意,舍去).故答案为2.

16.答案：

解析：抛物线经过两点，抛物线如答图，经过两点，则关于x的不等式的解集为.

17.答案：

解析：,两边同时除以x得，，.故答案为.

18.答案：

解析：连接AC，交对称轴于点P，则此时最小，点D，E，F分别是BC，BP，PC的中点，，，抛物线与x轴交于A，B两点，由，解得，，，.则.当时，，，故，，故的最小值为.

19.答案：这个最小数为5

解析：设这个最小数为x.

根据题意，得.

解得，（不符合题意，舍去）.

答：这个最小数为5.

20.答案：，

解析：设，

则原方程转化为，

解得：；，

当时，即，解得，

当时，即，解得，

所以原方程的解为，.

21.答案：解：（1），.

（2）函数的图象经过点，

，解得.

.

与为“同簇二次函数”，

可设，

则.

由题意知，函数的图象经过点，

，.

.

当时，的最大值为.

22.答案：（1），

（2）大棚最高处到地面的距离为米

（3）共需要准备352根竹竿

解析：（2）由（1）知，
当时，y有最大值，
故大棚最高处到地面的距离为米.

（3）令，则有，
解得，.
又，大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）.
又大棚的长为16米，
需要搭建支架部分的土地面积为（平方米），
故共需要竹竿（根）.
答：共需要准备352根竹竿.

23.答案：（1）证明：由题意可得，

，

故无论m为何非零实数，此方程总有两个实数根.

（2）解：，解得，，

由，得，解得或.

（3）解：由（2）得，当时，，

此时抛物线解析式为，其对称轴为直线，

由题可知P，Q关于直线对称，

，即，

.

24.答案：（1）

（2）

（3）或

解析：（1）由题意得，，，
，，
顶点坐标为.
（2）当时，，并且当时，，如图，

当时，，即，解得，
抛物线的解析式为.
（3）当时，，解得，，
点，.
，沿x轴向上翻折后的图象的解析式为.
 

①当直线l经过点时，直线与M只有一个交点，如图中直线l.
把点代入，得，解得.
②当直线l经过点时，直线与M有三个交点，如图中直线t.
把点代入，得，解得.
③当直线l与图象翻折后的部分只有一个交点时，如图中直线n，
由得，，
解得.
综上，当直线l与M有两个公共点时，k的取值范围为或.

25.答案：（1）证明：如图1，延长AD交BE于F.

在和中，

，

.

，.

，

，

，

.

（2）解：

①，.

理由是：如图2，连接BE，AD，交于点Q，

，

，

即，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

是AE的中点，P是ED的中点，

，，

同理得：，，

，.

②由①知，

又，

.

在和中

.

，

，

.

26.答案：(1)

(2)，

(3)点K的坐标为或

解析：(1)抛物线的对称轴为直线，，.设抛物线的表达式为.将点C的坐标代入表达式，得，解得.故抛物线的表达式为.

(2)如图(1)，直线PQ交y轴于点，设点P，Q的横坐标分别为m，n.的面积为，即.

联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得

，①

，，，

解得(舍去)或1.

将代入①式，解得.故点P，Q的坐标分別为，.

(3)存在.

点K的坐标为或.

设点.易知直线AC的表达式为.联立直线PQ和直线AC的表达式，

解得故.

设线段GK旋转后点K落在抛物线上对应的点为点R，如图(2)，过点G作x轴的平行线交拋物线对称轴于点M，交过点R与y轴的平行线于点N.则，，，故点R的纵坐标为，

则.将点R的坐标代入抛物线表达式得，故.

点K的坐标为或.