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(新高考)高考数学一轮复习题型归纳学案专题04《不等式》（解析版）
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这是一份(新高考)高考数学一轮复习题型归纳学案专题04《不等式》（解析版），共17页。学案主要包含了均值不等式的常见变形等内容，欢迎下载使用。
专题四 《不等式》学案
知识梳理.不等式
1．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：①a>b，c>0⇒ac>bc; ②a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异
实根x1，
x2(x1
根x1＝x2
＝－
没有
实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
{x|x∈R }
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1
3.均值定理
如果，那么，当且仅当时，等号成立
【均值不等式的常见变形】
（1）
（2）
（3）
（4）
题型一. 不等式的性质
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．若ac＜bc，则a＜b B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若a＞b＞0，则a2＞b2 D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d
【解答】解：对于A，由ac＜bc，c＞0时，a＜b；c＜0时，a＞b，所以A错误；
对于B，当a＞b＞0，c＞d＞0时，有ac＞bd，所以B错误；
对于C，当a＞b＞0时，有a2＞b2，所以C正确；
对于D，由a＜b，c＜d，得出﹣d＜﹣c，所以a﹣d＜b﹣c，D错误．
故选：C．
2．设a，b∈R，则“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，
若“（a﹣b）a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立，
故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的必要不充分条件，
故选：B．
3．若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由 ，可得 0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；
∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确，
故选：C．
4．3与的大小关系是（ ）
A．3 B．3 C．3 D．不确定
【解答】解：，，
∴，
∴．
故选：B．
5．已知a＞b＞1，0＜c＜1，下列不等式成立的是（ ）
A．ca＞cb B．ac＜bc
C．logca＞logbc D．bac＜abc
【解答】解：对于A，因为0＜c＜1，所以指数函数f（x）＝cx是减函数，
又a＞b，所以f（a）＜f（b），即ca＜cb，故A错误；
对于B，因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，故B错误；
对于C，取a＝4，b＝2，c，
则logca2，logbc1，logca＜logbc，故C错误；
对于D，由a＞b＞1，可得01，
又0＜c＜1，所以，即bac＜abc，故D正确．
故选：D．
6．若实数x，y满足x＞y＞0，则（ ）
A． B．ln（x﹣y）＞lny
C． D．x﹣y＜ex﹣ey
【解答】解：因为x＞y＞0，所以，A正确；
由于x﹣y与y的大小不确定，B不正确；
因为2（x2+y2）﹣（x+y）2＝x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＞0，
所以2（x2+y2）＞（x+y）2，C正确；
令f（x）＝ex﹣x，则f′（x）＝ex﹣1＞0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由x＞y＞0，得f（x）＞f（y），
所以ex﹣x＞ey﹣y，
所以x﹣y＜ex﹣ey，D正确．
故选：ACD．
题型二. 一元二次不等式
1．集合，则A∩B为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由A中的不等式变形得：2x2﹣5x+2≤0，即（2x﹣1）（x﹣2）≤0，
解得：x≤2，即A＝{x≤2}；
∵B＝{x|﹣1＜x}，
∴A∩B＝{x|x}．
故选：D．
2．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有一个整数．则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|﹣1＜a≤0或2≤a＜3} B．{a|﹣2＜a≤﹣1或3＜a≤4}
C．{a|﹣1≤a＜0或2＜a≤3} D．{a|﹣2＜a＜﹣1或3＜a＜4}
【解答】解：不等式x2﹣（a+1）x+a＜0可化为（x﹣1）（x﹣a）＜0；
当a＝1时，不等式的解集为空集，不符合题意；
当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，由解集中恰有一个整数，则实数a满足2＜a≤3；
当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}，由解集中恰有一个整数，则实数a满足﹣1≤a＜0；
综上知，实数a的取值范围是{a|﹣1≤a＜0或2＜a≤3}．
故选：C．
3．如果不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，那么对于函数f（x）＝ax2+bx+c应有（ ）
A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1） B．f（﹣1）＜f（5）＜f（2）
C．f（2）＜f（﹣1）＜f（5） D．f（5）＜f（﹣1）＜f（2）
【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，
∴a＜0，﹣2，4是ax2+bx+c＝0的两个实数根，
∴﹣2+4，﹣2×4．
那么对于函数f（x）＝ax2+bx+c＝a（x2﹣2x﹣8）＝a（x﹣1）2﹣9a，（a＜0）．
此抛物线开口向下，其图象关系直线x＝1对称，
∴f（﹣1）＝f（3），f（2）＞f（3）＞f（5），
∴f（2）＞f（﹣1）＞f（5），
故选：D．
4．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，
等价于a，x∈[1，4]；
设f（x）x，x∈[1，4]，
则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，
且当x＝1时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1；
所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：A．
5．如果关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，2] D．（﹣2，2）
【解答】解：关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，
当a＝2时，对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立；
当a≠2时，要使对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，
则，解得：﹣2＜a＜2．
综上，实数a的取值范围是（﹣2，2]．
故选：C．
6．已知不等式（x2﹣ax+1）（lnx﹣a）≤0在x∈[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为 [ln2，2] ．
【解答】解：若（x2﹣ax+1）（lnx﹣a）≤0，
则①x2﹣ax+1≥0且lnx﹣a≤0，
由x2﹣ax+1≥0，得：a≤x，
由y＝x在[1，2]递增，得：a≤2，
由a≥lnx得：a≥ln2，
故ln2≤a≤2；
②x2﹣ax+1≤0且lnx﹣a≥0，
由x2﹣ax+1≤0，得：a≥x，
由y＝x在[1，2]递增，得：a，
由a≤lnx得：a≤ln1＝0，无解
故a的取值范围是[ln2，2]，
故答案为：[ln2，2]．
题型三. 基本不等式
考点1.和定积最大、积定和最小
1．已知a＞0，b＞0，且满足1，则ab的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且满足1，
∴1，化为：ab≤3，当且仅当a，b＝2时取等号．
则ab的最大值是3．
故选：B．
2．已知x＞0，则y＝x1的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：∵x＞0，
∴y＝x11＝3，当且仅当x＝1时取等号．
∴y＝x1的最小值是3．
故选：B．
3．已知0＜x＜2，则y＝x的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【解答】解：0＜x＜2，可得4﹣x2＞0，
则y＝x2，
当且仅当x2＝4﹣x2，即x时，上式取得等号，
即有函数y的最大值为2．
故选：A．
考点2.凑定值
1．已知，则函数y＝x（1﹣2x）的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵0＜x，
∴x（1﹣2x）•2x（1﹣2x）•[]2，
当且仅当2x＝1﹣2x时，即x时等号成立，
因此，函数y＝x（1﹣2x）的最大值为f（），
故选：C．
2．已知x，求函数y＝4x﹣1的最大值．
【解答】解：根据题意，函数y＝4x﹣54＝﹣[（5﹣4x）]+4，
又由x，则5﹣4x＞0，
则（5﹣4x）22，
则y＝﹣[（5﹣4x）]+4≤﹣2+4＝2，
故函数y＝4x﹣1的最大值为2．
考点3. 1的代换
1．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【解答】解：∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2．
化简可得 2，
∴ab≥8，当且仅当a＝2b时等号成立，
故ab的最小值是8，
故选：B．
2．若正数a，b满足2a+b＝1，则的最小值是 ．
【解答】解：设u＝2﹣2a，v＝2﹣b，则a，b＝2﹣v，
u+v＝3，（u，v＞0），
即有
（u+v）（）
（3）（3+2）
＝1．
当且仅当vu＝6﹣3时，取得最小值．
故答案为：．
3．已知实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝1，则的最小值为 2+2 ．
【解答】解：∵实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝1，
则22+22+2，当且仅当xy＝2时取等号．
故答案为：2+2．
考点4. x、y、xy型
1．如果x＞0，y＞0，x+y+xy＝2，则x+y的最小值为 ．
【解答】解：已知x＞0，y＞0，且x+y+xy＝2
即：xy＝2﹣（x+y），
利用基本不等式：xy≤（）2．
∴2﹣（x+y）≤（）2．
解之得：x+y
则x+y的最小值为．
故答案为．
2．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值为 4 ．
【解答】解：考察基本不等式x+2y＝8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x＝2y时取等号）
整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0
即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，
所以x+2y≥4（当且仅当x＝2y时即x＝2，y＝1时取等号）
则x+2y的最小值是4．
故答案为：4．
3．设x，y∈R，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是 ．
【解答】解：∵4x2+y2+xy＝1，∴4x2+y2+4xy＝1+3xy，
∴（2x+y）2＝1+3xy＝1•2x•y≤1•，
整理可得（2x+y）2≤1，
解关于2x+y的一元二次不等式可得2x+y
∴2x+y的最大值为：
4．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc＝12，则a+b+c的最小值是 ．
【解答】解：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝12+（b﹣c）2≥12，
当且仅当b＝c时取等号，
∴a+b+c
故答案为：
考点5. 型函数的最值
1．设a+b＝2，b＞0，则当a＝ ﹣2 时，取得最小值．
【解答】解：法一：
∵a+b＝2，b＞0，
∴，（a＜2）
设f（a），（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．
利用导数研究其单调性得，
当a＜0时，f（a），
f′（a），当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，
∴当a＝﹣2时，取得最小值．
同样地，当0＜a＜2时，得到当a时，取得最小值．
综合，则当a＝﹣2时，取得最小值．
法二：
因为a+b＝2，b＞0，
要取得最小值，则a＜0，
则，
，
当且仅当，a＜0时取等号，此时b＝﹣2a，
因为a+b＝2，
所以a＝﹣2，b＝4，
故答案为：﹣2．
2．若正数a，b满足1，则的最小值为 16 ．
【解答】解：正数a，b满足1，
则有1，
则有，
1，即有，
则有16，
当且仅当即有b＝2a，又1，
即有a，b＝3，取得最小值，且为16．
故答案为：16．
3．设x＞0，y＞0，x+y﹣x2y2＝4，则的最小值为 4 ．
【解答】解：∵x+y﹣x2y2＝4
∴x+y＝x2y2+4则xy24
当且仅当xy＝2时取等号
故的最小值为4
故答案为：4
4．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c＝0且使|2a+b|最大时，的最小值为 ﹣1 ．
【解答】解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c＝0，
∴
由柯西不等式得，[][]≥[2（a）2]2＝|2a+b|2
故当|2a+b|最大时，有
∴，c＝b2
∴
当b＝﹣2时，取得最小值为﹣1．
故答案为：﹣1
题型四.不等式恒成立问题
1．若关于x的不等式ax2﹣2ax+1＜0的解集为∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a≥1 C．0＜a≤1 D．0≤a≤1
【解答】解：当a＝0时，不等式化为1＜0，满足解集为∅；
当a≠0时，应满足，
解得，
即0＜a≤1；
综上知，实数a的取值范围是0≤a≤1．
故选：D．
2．已知关于x的不等式ax2﹣2x+4a＜0在（0，2]上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
【解答】解：x∈（0，2]时，不等式可化为，
则在（0，2]上单调递增，当x＝2时，f（x）取得最大值f（2），
则，
综上所述，实数a的取值范围是．
故选：A．
3．设a∈R，若x＞0时均有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，则a＝ ．
【解答】解：若a≤0，则当x＞0时，ax﹣1＜0，
由二次函数的性质可知，
不等式x2+ax﹣5≤0不可能在x＞0时恒成立，
故当x＞0时不可能都有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，
故a＞0，
故当0＜x时，ax﹣1＜0，
当x时，ax﹣1＞0，
∵当x＞0时均有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，
故当0＜x时，x2+ax﹣5≤0，
当x时，x2+ax﹣5≥0，
故x是方程x2+ax﹣5＝0的实数根，
故1﹣5＝0，解得：a（舍）或a，
综上：a，
故答案为：．
4．若a，b∈R，且a＞0，b＞0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a2+b2＞2ab B．a+b≥2 C． D．2
【解答】解：对于A，根据重要不等式a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立；故A不恒成立；
对于B，利用基本不等式，当a＞0，b＞0时，a+b≥2成立，故B正确；
对于C，利用基本不等式，当a＞0，b＞0时，2成立，故C正确；
对于D，利用基本不等式，当a＞0，b＞0时，21成立，故D不恒成立．
故选：BC．
5．设正实数x，y满足，不等式恒成立，则m的最大值为 8 ．
【解答】解：设y﹣1＝b，得y＝b+1，
令2x﹣1＝a，得x（a+1），则a＞0，b＞0；
那么：2•
＝2•
＝2•（）≥2•（2）
＝2•（2+2）＝8；
当且仅当a＝b＝1，即x＝2，y＝1时取等号；
∴的最小值为8，
即m的最大值为8．
故答案为：8．
6．设函数f（x）＝x2﹣ax+a+3，g（x）＝ax﹣2a，若∃x0∈R，使得f（x0）＜0和g（x0）＜0同时成立，则a的取值范围为（ ）
A．（7，+∞） B．（6，+∞）∪（﹣∞，﹣2）
C．（﹣∞，﹣2） D．（7，+∞）∪（﹣∞，﹣2）
【解答】解：由f（x）＝x2﹣ax+a+3知f（0）＝a+3，f（1）＝4，又存在∃x0∈R，使得f（x0）＜0，
知△＝a2﹣4（a+3）＞0即a＜﹣2或a＞6，
另g（x）＝ax﹣2a，中恒过（2，0），
当a＝0时，f（x）＝x2﹣ax+a+3恒大于0，显然不成立．
若a＞0时，g（x）＝ax﹣2a＜2，
∴，则a＞7，
若a＜0时，g（x）＝ax﹣2a＞2，
此时函数f（x）＝x2﹣ax+a+3图象的对称x，故函数在区间（，+∞），为增函数，
又f（1）＝4，f（x0）＜0不成立．
故选：A．
专题四 《不等式》学案
知识梳理.不等式
1．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：①a>b，c>0⇒ac>bc; ②a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异
实根x1，
x2(x1
根x1＝x2
＝－
没有
实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x
{x|x≠x1}
{x|x∈R }
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1
3.均值定理
如果，那么，当且仅当时，等号成立
【均值不等式的常见变形】
（1）
（2）
（3）
（4）
题型一. 不等式的性质
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．若ac＜bc，则a＜b B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若a＞b＞0，则a2＞b2 D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d
【解答】解：对于A，由ac＜bc，c＞0时，a＜b；c＜0时，a＞b，所以A错误；
对于B，当a＞b＞0，c＞d＞0时，有ac＞bd，所以B错误；
对于C，当a＞b＞0时，有a2＞b2，所以C正确；
对于D，由a＜b，c＜d，得出﹣d＜﹣c，所以a﹣d＜b﹣c，D错误．
故选：C．
2．设a，b∈R，则“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，
若“（a﹣b）a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立，
故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的必要不充分条件，
故选：B．
3．若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由 ，可得 0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；
∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确，
故选：C．
4．3与的大小关系是（ ）
A．3 B．3 C．3 D．不确定
【解答】解：，，
∴，
∴．
故选：B．
5．已知a＞b＞1，0＜c＜1，下列不等式成立的是（ ）
A．ca＞cb B．ac＜bc
C．logca＞logbc D．bac＜abc
【解答】解：对于A，因为0＜c＜1，所以指数函数f（x）＝cx是减函数，
又a＞b，所以f（a）＜f（b），即ca＜cb，故A错误；
对于B，因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，故B错误；
对于C，取a＝4，b＝2，c，
则logca2，logbc1，logca＜logbc，故C错误；
对于D，由a＞b＞1，可得01，
又0＜c＜1，所以，即bac＜abc，故D正确．
故选：D．
6．若实数x，y满足x＞y＞0，则（ ）
A． B．ln（x﹣y）＞lny
C． D．x﹣y＜ex﹣ey
【解答】解：因为x＞y＞0，所以，A正确；
由于x﹣y与y的大小不确定，B不正确；
因为2（x2+y2）﹣（x+y）2＝x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＞0，
所以2（x2+y2）＞（x+y）2，C正确；
令f（x）＝ex﹣x，则f′（x）＝ex﹣1＞0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由x＞y＞0，得f（x）＞f（y），
所以ex﹣x＞ey﹣y，
所以x﹣y＜ex﹣ey，D正确．
故选：ACD．
题型二. 一元二次不等式
1．集合，则A∩B为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由A中的不等式变形得：2x2﹣5x+2≤0，即（2x﹣1）（x﹣2）≤0，
解得：x≤2，即A＝{x≤2}；
∵B＝{x|﹣1＜x}，
∴A∩B＝{x|x}．
故选：D．
2．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有一个整数．则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|﹣1＜a≤0或2≤a＜3} B．{a|﹣2＜a≤﹣1或3＜a≤4}
C．{a|﹣1≤a＜0或2＜a≤3} D．{a|﹣2＜a＜﹣1或3＜a＜4}
【解答】解：不等式x2﹣（a+1）x+a＜0可化为（x﹣1）（x﹣a）＜0；
当a＝1时，不等式的解集为空集，不符合题意；
当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，由解集中恰有一个整数，则实数a满足2＜a≤3；
当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}，由解集中恰有一个整数，则实数a满足﹣1≤a＜0；
综上知，实数a的取值范围是{a|﹣1≤a＜0或2＜a≤3}．
故选：C．
3．如果不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，那么对于函数f（x）＝ax2+bx+c应有（ ）
A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1） B．f（﹣1）＜f（5）＜f（2）
C．f（2）＜f（﹣1）＜f（5） D．f（5）＜f（﹣1）＜f（2）
【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，
∴a＜0，﹣2，4是ax2+bx+c＝0的两个实数根，
∴﹣2+4，﹣2×4．
那么对于函数f（x）＝ax2+bx+c＝a（x2﹣2x﹣8）＝a（x﹣1）2﹣9a，（a＜0）．
此抛物线开口向下，其图象关系直线x＝1对称，
∴f（﹣1）＝f（3），f（2）＞f（3）＞f（5），
∴f（2）＞f（﹣1）＞f（5），
故选：D．
4．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，
等价于a，x∈[1，4]；
设f（x）x，x∈[1，4]，
则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，
且当x＝1时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1；
所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：A．
5．如果关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，2] D．（﹣2，2）
【解答】解：关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，
当a＝2时，对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立；
当a≠2时，要使对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，
则，解得：﹣2＜a＜2．
综上，实数a的取值范围是（﹣2，2]．
故选：C．
6．已知不等式（x2﹣ax+1）（lnx﹣a）≤0在x∈[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为 [ln2，2] ．
【解答】解：若（x2﹣ax+1）（lnx﹣a）≤0，
则①x2﹣ax+1≥0且lnx﹣a≤0，
由x2﹣ax+1≥0，得：a≤x，
由y＝x在[1，2]递增，得：a≤2，
由a≥lnx得：a≥ln2，
故ln2≤a≤2；
②x2﹣ax+1≤0且lnx﹣a≥0，
由x2﹣ax+1≤0，得：a≥x，
由y＝x在[1，2]递增，得：a，
由a≤lnx得：a≤ln1＝0，无解
故a的取值范围是[ln2，2]，
故答案为：[ln2，2]．
题型三. 基本不等式
考点1.和定积最大、积定和最小
1．已知a＞0，b＞0，且满足1，则ab的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且满足1，
∴1，化为：ab≤3，当且仅当a，b＝2时取等号．
则ab的最大值是3．
故选：B．
2．已知x＞0，则y＝x1的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：∵x＞0，
∴y＝x11＝3，当且仅当x＝1时取等号．
∴y＝x1的最小值是3．
故选：B．
3．已知0＜x＜2，则y＝x的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【解答】解：0＜x＜2，可得4﹣x2＞0，
则y＝x2，
当且仅当x2＝4﹣x2，即x时，上式取得等号，
即有函数y的最大值为2．
故选：A．
考点2.凑定值
1．已知，则函数y＝x（1﹣2x）的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵0＜x，
∴x（1﹣2x）•2x（1﹣2x）•[]2，
当且仅当2x＝1﹣2x时，即x时等号成立，
因此，函数y＝x（1﹣2x）的最大值为f（），
故选：C．
2．已知x，求函数y＝4x﹣1的最大值．
【解答】解：根据题意，函数y＝4x﹣54＝﹣[（5﹣4x）]+4，
又由x，则5﹣4x＞0，
则（5﹣4x）22，
则y＝﹣[（5﹣4x）]+4≤﹣2+4＝2，
故函数y＝4x﹣1的最大值为2．
考点3. 1的代换
1．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【解答】解：∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2．
化简可得 2，
∴ab≥8，当且仅当a＝2b时等号成立，
故ab的最小值是8，
故选：B．
2．若正数a，b满足2a+b＝1，则的最小值是 ．
【解答】解：设u＝2﹣2a，v＝2﹣b，则a，b＝2﹣v，
u+v＝3，（u，v＞0），
即有
（u+v）（）
（3）（3+2）
＝1．
当且仅当vu＝6﹣3时，取得最小值．
故答案为：．
3．已知实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝1，则的最小值为 2+2 ．
【解答】解：∵实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝1，
则22+22+2，当且仅当xy＝2时取等号．
故答案为：2+2．
考点4. x、y、xy型
1．如果x＞0，y＞0，x+y+xy＝2，则x+y的最小值为 ．
【解答】解：已知x＞0，y＞0，且x+y+xy＝2
即：xy＝2﹣（x+y），
利用基本不等式：xy≤（）2．
∴2﹣（x+y）≤（）2．
解之得：x+y
则x+y的最小值为．
故答案为．
2．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值为 4 ．
【解答】解：考察基本不等式x+2y＝8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x＝2y时取等号）
整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0
即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，
所以x+2y≥4（当且仅当x＝2y时即x＝2，y＝1时取等号）
则x+2y的最小值是4．
故答案为：4．
3．设x，y∈R，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是 ．
【解答】解：∵4x2+y2+xy＝1，∴4x2+y2+4xy＝1+3xy，
∴（2x+y）2＝1+3xy＝1•2x•y≤1•，
整理可得（2x+y）2≤1，
解关于2x+y的一元二次不等式可得2x+y
∴2x+y的最大值为：
4．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc＝12，则a+b+c的最小值是 ．
【解答】解：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝12+（b﹣c）2≥12，
当且仅当b＝c时取等号，
∴a+b+c
故答案为：
考点5. 型函数的最值
1．设a+b＝2，b＞0，则当a＝ ﹣2 时，取得最小值．
【解答】解：法一：
∵a+b＝2，b＞0，
∴，（a＜2）
设f（a），（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．
利用导数研究其单调性得，
当a＜0时，f（a），
f′（a），当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，
∴当a＝﹣2时，取得最小值．
同样地，当0＜a＜2时，得到当a时，取得最小值．
综合，则当a＝﹣2时，取得最小值．
法二：
因为a+b＝2，b＞0，
要取得最小值，则a＜0，
则，
，
当且仅当，a＜0时取等号，此时b＝﹣2a，
因为a+b＝2，
所以a＝﹣2，b＝4，
故答案为：﹣2．
2．若正数a，b满足1，则的最小值为 16 ．
【解答】解：正数a，b满足1，
则有1，
则有，
1，即有，
则有16，
当且仅当即有b＝2a，又1，
即有a，b＝3，取得最小值，且为16．
故答案为：16．
3．设x＞0，y＞0，x+y﹣x2y2＝4，则的最小值为 4 ．
【解答】解：∵x+y﹣x2y2＝4
∴x+y＝x2y2+4则xy24
当且仅当xy＝2时取等号
故的最小值为4
故答案为：4
4．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c＝0且使|2a+b|最大时，的最小值为 ﹣1 ．
【解答】解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c＝0，
∴
由柯西不等式得，[][]≥[2（a）2]2＝|2a+b|2
故当|2a+b|最大时，有
∴，c＝b2
∴
当b＝﹣2时，取得最小值为﹣1．
故答案为：﹣1
题型四.不等式恒成立问题
1．若关于x的不等式ax2﹣2ax+1＜0的解集为∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a≥1 C．0＜a≤1 D．0≤a≤1
【解答】解：当a＝0时，不等式化为1＜0，满足解集为∅；
当a≠0时，应满足，
解得，
即0＜a≤1；
综上知，实数a的取值范围是0≤a≤1．
故选：D．
2．已知关于x的不等式ax2﹣2x+4a＜0在（0，2]上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
【解答】解：x∈（0，2]时，不等式可化为，
则在（0，2]上单调递增，当x＝2时，f（x）取得最大值f（2），
则，
综上所述，实数a的取值范围是．
故选：A．
3．设a∈R，若x＞0时均有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，则a＝ ．
【解答】解：若a≤0，则当x＞0时，ax﹣1＜0，
由二次函数的性质可知，
不等式x2+ax﹣5≤0不可能在x＞0时恒成立，
故当x＞0时不可能都有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，
故a＞0，
故当0＜x时，ax﹣1＜0，
当x时，ax﹣1＞0，
∵当x＞0时均有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，
故当0＜x时，x2+ax﹣5≤0，
当x时，x2+ax﹣5≥0，
故x是方程x2+ax﹣5＝0的实数根，
故1﹣5＝0，解得：a（舍）或a，
综上：a，
故答案为：．
4．若a，b∈R，且a＞0，b＞0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a2+b2＞2ab B．a+b≥2 C． D．2
【解答】解：对于A，根据重要不等式a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立；故A不恒成立；
对于B，利用基本不等式，当a＞0，b＞0时，a+b≥2成立，故B正确；
对于C，利用基本不等式，当a＞0，b＞0时，2成立，故C正确；
对于D，利用基本不等式，当a＞0，b＞0时，21成立，故D不恒成立．
故选：BC．
5．设正实数x，y满足，不等式恒成立，则m的最大值为 8 ．
【解答】解：设y﹣1＝b，得y＝b+1，
令2x﹣1＝a，得x（a+1），则a＞0，b＞0；
那么：2•
＝2•
＝2•（）≥2•（2）
＝2•（2+2）＝8；
当且仅当a＝b＝1，即x＝2，y＝1时取等号；
∴的最小值为8，
即m的最大值为8．
故答案为：8．
6．设函数f（x）＝x2﹣ax+a+3，g（x）＝ax﹣2a，若∃x0∈R，使得f（x0）＜0和g（x0）＜0同时成立，则a的取值范围为（ ）
A．（7，+∞） B．（6，+∞）∪（﹣∞，﹣2）
C．（﹣∞，﹣2） D．（7，+∞）∪（﹣∞，﹣2）
【解答】解：由f（x）＝x2﹣ax+a+3知f（0）＝a+3，f（1）＝4，又存在∃x0∈R，使得f（x0）＜0，
知△＝a2﹣4（a+3）＞0即a＜﹣2或a＞6，
另g（x）＝ax﹣2a，中恒过（2，0），
当a＝0时，f（x）＝x2﹣ax+a+3恒大于0，显然不成立．
若a＞0时，g（x）＝ax﹣2a＜2，
∴，则a＞7，
若a＜0时，g（x）＝ax﹣2a＞2，
此时函数f（x）＝x2﹣ax+a+3图象的对称x，故函数在区间（，+∞），为增函数，
又f（1）＝4，f（x0）＜0不成立．
故选：A．
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