(新高考)高考数学一轮复习题型归纳学案专题01《复数》（解析版）

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1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量eq \(OZ,\s\up7(―→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量eq \(OZ,\s\up7(―→)).
3．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
题型一.复数的有关概念
1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）为纯虚数，则z＝（ ）
A．B．6iC．D．20
【解答】解：z＝（3﹣i）（a+2i）＝3a+2+（6﹣a）i，
∵z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）为纯虚数，
∴3a+2＝0，且6﹣a≠0，
得a，此时zi，
故选：C．
2．已知i是虚数单位，若z（1+3i）＝i，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由z（1+3i）＝i，得，
∴z的虚部为．
故选：A．
3．已知复数（i虚数单位），则z（ ）
A．B．2C．1D．
【解答】解：由题意知，
利用性质，得z2，
故选：B．
4．若b+2i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a+b的值（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【解答】解：∵ai﹣1＝b+2i，其中a、b∈R，i是虚数单位，
∴a＝﹣2，b＝﹣1
∴a+b＝﹣3．
故选：A．
5．设复数z满足z，则|z|＝（ ）
A．1B．C．D．2
【解答】解：z，
故|z|＝1，
故选：A．
6．设复数z满足i，则|z|＝（ ）
A．1B．C．D．2
【解答】解：∵复数z满足i，
∴1+z＝i﹣zi，
∴z（1+i）＝i﹣1，
∴zi，
∴|z|＝1，
故选：A．
7．若复数z满足z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为iB．z为实数C．|z|D．z2i
【解答】解：因为z（1﹣i）＝2i，所以z1+i，
则|z|；由于z的虚部是1，则A，B错，z2，则D错．
故选：C．
8．若复数Z的实部为1，且|Z|＝2，则复数Z的虚部是（ ）
A．B．±C．±iD．i
【解答】解：复数Z的实部为1，
设Z＝1+bi．
|Z|＝2，
可得2，
解得b．
复数Z的虚部是．
故选：B．
题型二.复数的几何意义
1．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：由，
则复数在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．
故选：C．
2．设i是虚数单位，的复数z的共轭复数，z＝1+2i，则复数z+i•在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵z＝1+2i，
∴z+i•1+2i+i（1﹣2i）＝1+2i+i+2＝3+3i．
∴复数z+i•在复平面内对应的点的坐标为（3，3），位于第一象限．
故选：A．
3．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝（ ）
A．0B．﹣1C．1D．
【解答】解：∵复数（1+i）（a+i）＝（a﹣1）+（a+1）i在复平面内对应的点位于实轴上，
∴a+1＝0，即a＝﹣1．
故选：B．
4．已知复数z＝3+4i3，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于第 一 象限．
【解答】解：∵z＝3+4i3＝3﹣4i，
∴，
则复数在复平面内对应的点的坐标为（3，4），位于第一象限．
故答案为：一．
5．在复平面内，O是坐标原点，向量对应的复数是﹣2+i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数的模为 ．
【解答】解：∵向量对应的复数是﹣2+i，∴A（﹣2，1），
又点A关于实轴的对称点为点B，∴B（﹣2，﹣1）．
∴向量对应的复数为﹣2﹣i，该复数的模为|﹣2﹣i|．
故答案为：．
6．已知i为虚数单位，且复数z满足，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由，得z＝2i2i，
∴复数z在复平面内的点的坐标为（，），到原点的距离为．
故选：B．
题型三.复数的指数幂运算
1．若复数z（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵z1+i，
∴1﹣i，
∴复数在复平面对应的点的坐标是（﹣1，﹣1）；
∴它对应的点在第三象限，
故选：C．
2．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（ ）
A．1B．0C．1+iD．1﹣i
【解答】解：复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，可得a＝1，
1﹣i．
故选：D．
3．已知复数z（其中i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解答】解：z1﹣i，
则z的虚部为﹣1，
故选：A．
4．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解答】解：∵i4＝1，
∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，
则z•i2020＝1+i2019化为z＝1﹣i，
∴z的虚部为﹣1．
故选：A．
5．设i是虚数单位，则复数z＝（）2013＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解答】解：∵，
∴z＝（）2013＝i2013＝（i2）1006•i＝i．
故选：D．
6．已知复数z＝﹣1+i，则（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解答】解：∵z＝﹣1+i，
∴．
故选：A．
7．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（ ）
A．0B．1C．D．2
【解答】解：∵Z＝1+i，
∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，
∴|Z2﹣Z|．
故选：C．
8．当z时，z100+z50+1的值等于 ﹣i ．
【解答】解：∵zi
∴z22i+（i）2＝﹣i，可得z4＝﹣1
根据复数乘方的含义，可得z100＝（z4）25＝﹣1，z50＝（z4）12•z2＝﹣i
∴z100+z50+1＝﹣1﹣i+1＝﹣i
故答案为：﹣i
题型四.待定系数在复数中的应用——最值问题
1．若复数z满足3z4+2i，则z＝（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1﹣iD．﹣1+i
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
则3z3（a+bi）+a﹣bi＝4a+2bi＝﹣4+2i，
∴，即a＝﹣1，b＝1．
∴z＝﹣1+i．
故选：D．
2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（ ）
A．25B．5C．D．2+i
【解答】解：法一、设z＝a+bi（a，b∈R），
由z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝3+4i，
∴，解得或．
∴．
故选：C．
法二、由z2＝3+4i，得，
则|z|．
故选：C．
3．设复数z满足|z1|＝1，|z2|＝2，z1+z2＝﹣1i，则|z1﹣z2|＝ ．
【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d为实数），
因为复数z满足，
所以且a2+b2＝1，c2+d2＝4，
所以a2+c2+2ac+b2+d2+2bd＝4，
即2ac+2bd＝﹣1，
则|z1﹣z2|．
故答案为：．
4．已知z∈C，且|z|＝1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（ ）
A．21B．21C．D．2
【解答】解：∵|z|＝1且z∈C，作图如图：
∵|z﹣2﹣2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，
∴|z﹣2﹣2i|的最小值为：|OP|﹣1＝21．
故选：A．
5．设复数z1，z2满足|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，则|z1﹣z2|的最大值为（ ）
A．3+2B．2C．3D．6
【解答】解：因为|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，
所以z1，对应的点在以A（1，0）为圆心，以1为半径的圆上，z2对应的点在以B（0，﹣3）为圆心，以2为半径的圆上，
则|z1﹣z2|的几何意义是两圆上点的距离，
则则|z1﹣z2|的最大值为AB+1+2＝33．
故选：C．
6．已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值是 ．
【解答】解：∵复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，
∴|x+yi﹣4i|＝|x+yi+2|，
∴|x+（y﹣4）i|＝|x+2+yi|，
∴，
化为x+2y＝3．
则2x+4y≥224，
因此2x+4y的最小值是．
故答案为：．