2.4.2直线与圆锥曲线的综合问题教案--高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

课时计划课题2.4.2直线与圆锥曲线的综合问题 教学目标① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。③能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和  实际问题。④ 通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。教材分析重点直线与圆锥曲线的位置关系掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题．难点掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题．教具多媒体、PPT、投影仪教学过程知识讲解;一、弦长公式问题　已知直线l：y＝kx＋m上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的长度如何表示？提示　|AB|＝＝|x1－x2|＝ .知识梳理当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：(1)|AB|＝|x1－x2|；(2)|AB|＝|y1－y2|(k≠0)；(3)|AB|＝； (4)|AB|＝.注意点：(1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积．(2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论．(3)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦AB，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.例1　已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求|AB|.解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程可知，右焦点F(，0)，因为直线斜率为1，所以可设直线l的方程为y＝x＋m.因为直线过点F(，0)，所以0＝＋m，所以m＝－，则l：y＝x－，联立消去y整理得，5x2－8x＋8＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝＝·＝·＝.反思感悟　求弦长的两种方法(1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解；(2)结合根与系数的关系，利用弦长公式l＝或l＝求解．二、由弦长求参数值例2　已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：y＝kx＋1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程．解　(1)设动点P的坐标是(x，y)，由题意得kPA·kPB＝－.∴·＝－，化简整理得＋y2＝1.故点P的轨迹方程C是＋y2＝1(x≠±)．(2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.Δ＝16k2>0，∴x1＋x2＝，x1x2＝0.|MN|＝·＝，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1，或k2＝－2(舍去)．经检验k＝±1符合题意，∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.反思感悟　已知弦长求参数，关键是利用弦长公式，得到关于参数的方程，注意求得结果要验证是否满足判别式大于0，否则需舍去．三、弦长的最值问题例3　在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2,1)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值．解　(1)由题意得∴∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)设直线AB的方程为y＝－x＋m，联立得3x2－4mx＋2m2－6＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴∴|AB|＝|x1－x2|＝，当m＝0时，满足Δ>0，|AB|max＝4.反思感悟　求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．课堂练习基础练习1.已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若=,则p的值等于A.B.C.2D.42.已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是A.2-1B.2-2C.-1D.-2 综合应用3.直线l经过点(4,2)，且与抛物线C：y2＝4x交于P，Q两点，若P与Q的纵坐标之和为4，则直线l的方程为(　　)A．x－y＋2＝0   B．x－2y－6＝0C．x－y－2＝0   D．x－2y＝04.设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.5.如图,已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F作直线l交抛物线C于A、B两点;椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,点F是它的一个顶点,且椭圆的离心率e=.(1)求椭圆E的方程;(2)经过A、B两点分别作抛物线C的切线l1、l2,l1与l2相交于点M.证明:AB⊥MF;(3) 椭圆E上是否存在一点M',经过点M'作抛物线C的两条切线M'A'、M'B'(A'、B'为切点),使得直线A'B'过点F?若存在,求出切线M'A'、M'B'的方程;若不存在,请说明理由.6如图,曲线C1是以原点O为中心,F1 ,F2为焦点的椭圆的一部分.曲线C2是以O为顶点,F2为焦点的抛物线的一部分,A是曲线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角,若|AF1|=,|AF2|=.(1)求曲线C1和C2的方程;(2)设点C是C2上一点,若|CF1|=|CF2|,求△CF1F2的面积. 答案1.C 2.C3.C4.（2）如图1,设M(x,y),A(x0,y0),则由|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1),可得x=x0,|y|=m|y0|,所以x0=x,|y0|=|y|.　①因为A点在单位圆上运动,所以=1.　②将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2+=1(m>0,且m≠1).因为m∈(0,1)∪(1,+∞),所以当0<m<1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(-,0),(,0);当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(0,-),(0,).(2)解法一　如图2,3,∀k>0,设P(x1,kx1),H(x2,y2),则Q(-x1,-kx1),N(0,kx1),直线QN的方程为y=2kx+kx1,将其代入椭圆C的方程并整理可得(m2+4k2)x2+4k2x1x+k2-m2=0.依题意可知此方程的两根为-x1,x2,于是由根与系数的关系可得-x1+x2=-,即x2=.因为点H在直线QN上,所以y2-kx1=2kx2=,于是=(-2x1,-2kx1),=(x2-x1,y2-kx1)=(-,).而PQ⊥PH等价于·=0,即2-m2=0,又m>0,得m=,故存在m=,使得在其对应的椭圆x2+=1上,对任意的k>0,都有PQ⊥PH.解法二　如图2,3,∀x1∈(0,1),设P(x1,y1),H(x2,y2),则Q(-x1,-y1),N(0,y1).因为P,H两点在椭圆C上,所以两式相减可得m2()+()=0.　③依题意,由点P在第一象限可知,点H也在第一象限,且P,H不重合,故(x1-x2)(x1+x2)≠0,于是由③式可得=-m2.　④又Q,N,H三点共线,所以kQN=kQH,即.于是由④式可得kPQ·kPH=··=-.而PQ⊥PH等价于kPQ·kPH=-1,即-=-1,又m>0,得m=,故存在m=,使得在其对应的椭圆x2+=1上,对任意的k>0,都有PQ⊥PH.5.解:(1)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c.由已知条件,得F(0,1),∴,解得a=2,b=1.∴椭圆E的方程为+y2=1.(2)显然直线l的斜率存在,否则直线l与抛物线C只有一个交点,不合题意,故可设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2),由,消去y并整理得x2-4kx-4=0, ∴x1x2=-4.∵抛物线C的方程为y=x2,求导得y'=x,∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是y-y1=x1(x-x1),y-y2=x2(x-x2),即y=x1x-　①,y=x2x-　②,由①②联立可解得两条切线l1、l2的交点M的坐标为(,),即M(,-1),又点F(0,1),∴=(,-2),∴·=(,-2)·(x2-x1,y2-y1)=(-)-2(-)=0.∴AB⊥MF.(3)假设存在点M'满足题意,由(2)知点M'必在直线y=-1上,又直线y=-1与椭圆E有唯一交点,故M'的坐标为M'(0,-1),设过点M'且与抛物线C相切的切线方程为y-y0=x0(x-x0),其中点(x0,y0)为切点.令x=0,y=-1得,-1-=x0(0-x0), 解得x0=2或x0=-2,故不妨取A'(-2,1)、B'(2,1),即直线A'B'过点F.综上所述,椭圆E上存在一点M'(0,-1),经过点M'作抛物线C的两条切线M'A'、M'B'(A'、B'为切点),能使直线A'B'过点F. 此时,两切线的方程分别为y=-x-1和y=x-1.6.(1)设椭圆方程为+=1(A>b>0),则2A=|AF1|+|AF2|=+=6,得A=3.设A(x,y),F1(-C,0),F2(C,0),则(x+C)2+y2=()2,(x-C)2+y2=()2,两式相减得xC=.由抛物线的定义可知|AF2|=x+C=,则C=1,x=或x=1,C=.又∠AF2F1为钝角,则x=1,C=不合题意,舍去.当C=1时,b=2,所以曲线C1的方程为+=1(-3≤x≤),曲线C2的方程为y2=4x(0≤x≤).(2)过点F1作直线l垂直于x轴,过点C作CC1⊥l于点C1,依题意知|CC1|=|CF2|.在Rt△CC1F1中,|CF1|=|CF2|=|CC1|,所以∠C1CF1=45°,所以∠CF1F2=∠C1CF1=45°.在△CF1F2中,设|CF2|=r,则|CF1|=r,|F1F2|=2.由余弦定理得22+(r)2-2×2×rCOs 45°=r2,解得r=2,所以△CF1F2的面积=|F1F2|·|CF1|sin 45°=×2×2sin 45°=2. 拓展延伸如图，哈尔滨市有相交于点O的一条东西走向的公路l与一条南北走向的公路m，有一商城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位：千米)．根据市民建议，欲新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与椭圆形商城A相切，当公路PQ长最短时，OQ的长为________千米．答案　   作业设计 课后反思课本习题第81页，A组1-4B组1-8   加强练习  总结计算技巧板书设计