江西省抚州市金溪县第一中学2022-2023学年高三上学期第二次月考理科数学试卷（含答案）

金溪一中 2023届高三上学期第二次月考

数学试卷（理科）

一、    选择题（共12题 ，每小题 5 分，共 60分）

1已知，则（   ）

A B.  C.  D.

2. 集合，集合，则（   ）

A. } B.  C.         D.

3. （   ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数的定义域是（m，n为整数），值域是，则满足条件的整数对的个数是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

5. 已知函数，若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心为（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2019年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)（   ）

A. 2022年 B. 2023年 C. 2024年 D. 2025年

7. 已知函数的最小正周期为，则当时，函数的值域是（  ）

A.  B.  C.  D.

8. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（  ）

A.  B.  C. D.

9. 已知，，的最小值为（  ）

A.  B. 2 C.  D.

10. 不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（  ）

A.  B.  C.      D.

11. 已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（  ）

A.  B.  C.  D.

12. 偶函数满足，当时，，不等式在上有且只有100个整数解，则实数a的取值范围是（  ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题：(本题共4题，每小题5分，共20分．)

13. 弧长为的扇形的面积为，则这个扇形的圆心角为___________

14. 曲线在处的切线的倾斜角为α，则__­­­­­­­­­­­­­.．

15. 据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈的模型波动（为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为_______．

16. 记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”. 已知：，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为___________.

三、解答题：(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．

17. 已知，， ；求：（1）的最小正周期；（2）在区间上的最大值.(12分)

.18．在创建“全国文明城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：

（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）.(12分)

①求的值；

②利用该正态分布，求或；

（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.

参考数据与公式：.若，则，，.

19.在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为的中点，为的中点，为棱上靠近的三等分点．（12分）

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值．

20.已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，且点F与圆M：(x＋4)2＋y2＝1上点的距离的最小值为4.（12分）

（1）求C的方程；

（2）设点T(1，1)，过点T且斜率存在的两条直线分别交曲线C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

21设函数（12分）

（1）若，求的单调区间；

（2）若，对任意的，不等式恒成立.求 的值；

（3）记为的导函数，若不等式在上有实数解，求实数的取值范围.

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．（10分）

（1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？

（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．若上的点对应的参数为，点在上，点为的中点，求点到直线距离的最小值．

参考答案

一、    选择题（共12题，每小题 5 分，共 60分）

1----5;ADADB             6----10；BDCB A         11---12；AC

11题；易知函数的导数，

令，得，即．

设，则，

当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示．由图得或．当时，恒成立，所以无极值，所以．

12题；由题意，函数为偶函数，所以，

所以，所以是周期函数，且周期为，且关于对称，

又由在上含有50个周期，且在每个周期内都是对称图形，

关于的不等式在上有且只有100个整数解，

所以关于不等式在上有且只有1个整数解，

当时，，则，令，解得，

所以当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

因为当时，，且，，，所以当时，可得，

当时，在上有且只有3个整数解，不合题意；

所以，

由，可得或，

因为，当时，令，可得，

当时，，且在为增函数，

所以在上无整数解，所以在上有一个整数解，

因为，

所以在上有一个整数解，这个整数解只能，

从而有且，解得，

即实数a的取值范围是．

二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分．

13；.     14；．   15; 6000    16;

15题依题意，解得.

，

当时，，由于，所以，

则，

.

16题; 函数与，则与，由题意得，则，令，则，令，则，所以时，则，故单调递增；时，则，故单调递减；所以在处取得极小值，也是最小值，，且时，，所以实数的取值范围为,

三、解答题：(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．

17;(1) 则

    所以的最小正周期为；

(2) 则，由，得，

所以当时，取得最大值，

18题（1）①；

②，所以，，，

所以，或

；

（2），由题意可知随机变量的可能取值有、、、、，

，，，

，，

.

19题1）

证明：连接且交于点，连接．

由题意可知，，为中线，

所以为重心，，

所以，平面，平面，

所以平面．

（2）因为，，，所以．

又因为，，所以，即．

所以，，两两垂直．

故以为原点，，，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系，

由图可知，，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

则有即，可令，，所以，

设平面的法向量为，

则有即，可令，所以，

因为，

所以，

即二面角的正弦值为．

20题（1）圆心为，半径为1，，所以，，

抛物线方程为；

（2）设直线方程为，设，

由得，

，，

，

设直线方程为（），同理可得，

由|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，得，又，所以，

所以．

21题（1），所以，

因为，所以时，，时，，

所以的增区间为，减区间为.

（2）当，.

由恒成立，即恒成立，

设.

由题意知，故当时函数单调递增，

所以恒成立，即恒成立，

因此，记，得，

∵函数在上单调递增，在上单调递减，

∴函数在时取得极大值，并且这个极大值就是函数的最大值.由此可得，故，结合已知条件，，可得.

（3）不等式在上有解.

即为，化简得：，在上有解.

由知，因而，设，

由，

∵当时，，∴在时成立.

由不等式有解，可得知，即实数的取值范围是.

22题（1）的普通方程为，它表示以为圆心，1为半径的圆，

的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆．

（2）由已知得，设，则，

直线：，

点到直线的距离，

所以，即到的距离的最小值为．