江西省赣州市于都县新长征中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试卷（含答案）

2022年下学期高一第一次月考数学试卷

总分150分时间120min

一.选择题（共8小题，共40分）

1.下列表示正确的个数是（    ）

（1）；

（2）；

（3）；

（4）若，则.

A.0    B.1    C.2    D.3

2.设集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知，若集合，则的值为（    ）

A.    B.1    C.    D.2

4.已知函数，若值域为，则实数的范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知，那么下列命题中正确的是（    ）

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则

6.已知函数的定义域，则函数的定义域是（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知，不等式恒成立，则的取值范围为（    ）

A.    B.

C.    D.

8.设集合，若中恰有一个整数，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二.多选题（共4小题，共20分）

9.已知，且，则（    ）

A.的最大值为

B.的最小值为

C.的最小值为16

D.的最小值为

10.已知关于的不等式，下列结论正确的是（    ）

A.不等式的解集不可能为

B.不等式的解集可能为或

C.存在实数，使得不等式的解集为闭区间的形式

D.存在唯一一对实数对，使得不等式的解集为

11.如图，建立平面直角坐标系轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，它的横坐标为.则下列结论正确的是（    ）

A.炮的最大射程为10千米

B.炮的最大射程为20千米

C.当飞行物的横坐标超过6时，炮弹可以击中飞行物

D.当飞行物的横坐标不超过6时，炮弹可以击中飞行物

12.若函数，数，则下列等式成立的是（    ）

A.    B.

C.    D.

三､填空题（共4小题，共20分）

13.写出命题的否定：__________.

14.已知函数，则的解析式是__________.

15.设为不相等的正实数，若二次函数满足，则的最小值为__________.

16.已知函数的最大值是9，最小值是1，则__________，__________.

四､解答题（共6小题）

17.（10分）求下列函数的值域.

（1）；

（2）；.

18.（12分）已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.

（1）求实数的取值集合；

（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

19.（12分）函数，其中表示不超过的最大整数，例.

（1）写出的解析式；

（2）作出相应函数的图象；

（3）根据图象写出函数的值域.

20.（12分）某汽车制造企业计划在2022年引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每年生产（百辆）汽车，需投入成本万元，且该企业确定每辆新能源汽车售价为6万元，并且全年内生产的汽车当年能全部销售完.

（1）求2022年的利润（万元）关于年产量的函数关系式（其中利润=销售额-成本）；

（2）2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求最大利润.

21.（12分）设二次函数满足条件：

（1）当时，，且：

（2）当时，；

（3）在上的最小值为0.

求最大的，使得存在，只要，就有.

22.（12分）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点，）是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.

（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

（2）已知点是点的“上位点”，判断是否一定存在点满足是点，d）的“上位点”，又是点的“下位点”，若存在，写出一个点坐标，并证明；若不存在，则说明理由；

（3）设正整数满足以下条件，对集合，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.

参考答案与试题解析

一､选择题（共8小题）

4.解：当时，，

值域为当时，由，得，此时，由，得，得或，此时，

综上，即实数的取值范围是，故

7.解：令，

则不等式恒成立转化为恒成立.

有，即，

整理得：，解得：或的取值范围为.故选：.

8.解：由中不等式变形得：，

解得：或，即或，

函数的对称轴为，

由对称性可得，要使恰有一个整数，这个整数解为且，

9.【解答】解：对于，且，

，故，

故正确，错误；

对于，且，

当且仅当时“”成立，但故不正确；

对于，

当且仅当时“成立，故正确；故选：.

10.解：令，当时，解集为错误；若不等式的解集可能为或，

根据二次不等式解与系数的关系，需满足，不成立，故错误；

取，得到，解得正确；

和的解都关于对称，

故只能是恒成立，的解集为，

故解得或（舍去），正确；故选：.

11.解：在中，令，可得，

由实际意义和已知条件可知，，

所以，当且仅当，即时等号成立，

故炮的最大射程为10千米，故正确，错误，

因为，所以炮弹可以击中目标等价于，使成立，

则关于的方程有正根，

由韦达定理可得，两根之和大于0，两根之积大于0，

故只需，解得，此时，

故当不超过6千米时，炮弹可以击中目标.

故选：.

即，解得：，即，故选：.

12.解：根据题意，函数，则，

同理：，

归纳可得：，依次分析选项：

对于正确；

对于错误；

对于正确；

对于正确；

故选：.

三､填空题（共4小题）

13.，使得.

14..

15.【解答】解：满足，

，

，令，

，

当即时成立，当时，有最小值18.

故答案为：18.

16.解：，故，

故的两根为1，9；故的两根为1，9；故，解得，.故答案为：.

四､解答题（共6小题）

17.【解答】解：（1）值域为，

（2）令则且，

，结合二次函数的性质可知，当时函数取得最大值，没有最小值，故值域，

18.【解答】解：（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题，得在恒成立，得即

（2）不等式

①当，即时解集，若是的充分不必要条件，则此时.

②当即时解集，若是的充分不必要条件，则成立.

③当，即时解集，若是的充分不必要条件，则成立，此时.

综上①②③：.

19.【解答】解：（1），

（2）函数的图象如下图所示：

（3）由图象可得函数的值域为）.

20.【解答】解：（1）当时，

，

当时，，

故.

（2）当时，，

故当时，取得最大值1500，

当时，，

当且仅当，即时，等号成立，

故当时，取得最大值1800，

综上所述，2022年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1800万元.

21.【解答】解：因，则函数的图象关于对称，，

，由（3），时，，即，由（1）得，，由（2）得，

，则，即.又，则，

故.

假设存在，只要，就有.

取，有，即，解得，

对固定的，取，有，即.

化简有：，解得，

故

当时，对任意的，恒有

的最大值为9.

（方法一

函数的图象关于对称

，即

由③知当时，，即

由①得，由②得

，即，又

假设存在，只要，就有

取时，有

对固定的，取，有

当时，对任意的，恒有

的最大值为9.

22.【解答】解：（1）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：

若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点

的“下位点”.点的一个“上位点”坐标是，一个“下位点”坐标是

（2）点是点的“上位点”，一定存在点满足是点的“上位点”，又是点的“下位点”.

证明如下：

点是点的“上位点”，

，即，即，即点是点的“上位点”，，

即，即点是点的“下位点”.

综上可得：点满足是点的“上位点”，又是点的“下位点”.

（3）若正整数满足条件，

则，在时恒成立，

由（2）中结论可得：时，满足条件，

若，则不成立，

故的最小值为201，