2022-2023学年江西省赣州市全南中学高一（下）期末数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年江西省赣州市全南中学高一（下）期末数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江西省赣州市全南中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．∀x∈R，sinx＜1
B．∃x∈N，2x＜1
C．“若a＞2，b＞2，则ab＞4”的逆否命题
D．函数的最小值为2
2．若（a∈R，i为虚数单位），则|a﹣i|＝（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法中正确的是（　　）
A．向量的模都是正实数
B．单位向量都是相等向量
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
4．＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
5．在△ABC中，sin2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（　　）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
6．将函数f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）＝（　　）
A．2sin（2x+） B．2sin（2x﹣）
C．2cos（2x+） D．2cos（2x﹣）
7．若向量的模均为1，且＝0，则|3|的最大值为（　　）
A．5+2 B．3 C．5 D．7
8．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥B1C，AA1＝BC＝2AB，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
（多选）9．函数y＝sin是R上的偶函数，则φ可以是（　　）
A． B．π C． D．3π
（多选）10．对于函数f（x）＝sin（cosx），下列结论正确的是（　　）
A．f（x）为偶函数
B．f（x）的一个周期为2π
C．f（x）的值域为[﹣sin1，sin1]
D．f（x）在[0，π]单调递增
（多选）11．若函数f（x）＝2cosωx（cosωx﹣sinωx）﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则（　　）
A．
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）在内有5个零点
D．f（x）在上的值域为[﹣1，1]
（多选）12．如图，A，B，C，D为三棱柱的顶点或所在棱的中点，下列图形中，直线AB与CD是异面直线的为（　　）
A．​ B．​
C．​ D．​
三、填空题（共20分）
13．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝　 　．
14．已知，则＝　 　．
15．已知两个单位向量，的夹角为60°，，，则实数t＝　 　．
16．辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容asinx+bcosx＝．（其中a≠0，b∈R，tanφ＝）．已知函数f（x）＝sinωx+mcosωx（m＞0，ω＞0）的图像的两相邻零点之间的距离小于π，x＝为函数f（x）的极大值点且，则实数ω的最小值为 　 　．
四、解答题（共70分）
17．求值：．
18．已知向量，求：
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，求m+n；
（3）若，求k的值．
19．已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．
（Ⅰ）求z1的值；
（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．
20．已知电流I（单位：A）与时间t（单位：s）的关系为I＝Asin（ωt+φ）．
（1）如图是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；（A＞0，ω＞0，）．
（2）如果t在任意一段s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小整数值是多少？

21．如图在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1上一点，且BD1∥平面ACE．
（1）求证：E为DD1的中点；
（2）求点D到平面ACE的距离．


22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，AD为∠BAC的角平分线，已知c＝2且a2+c2﹣b2＝（﹣2cosA）bc，AD＝．
（1）求△ABC的面积；
（2）设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求•的最小值．


参考答案
一、单选题（每题5分，共40分）
1．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．∀x∈R，sinx＜1
B．∃x∈N，2x＜1
C．“若a＞2，b＞2，则ab＞4”的逆否命题
D．函数的最小值为2
【分析】利用特称命题与全称命题的特点举例子判断A、B选项；
对于C选项，判断原命题的真假性从而得逆否命题的真假性；
利用基本不等式“一正二定三相等”原则，判断的最小值．
解：对于A，当x＝时，sin＝1，故A是假命题；
对于B，因为∀x∈N，2x≥1，故B是假命题；
对于C，若a＞2，b＞2，则ab＞4成立，故它的逆否命题也是真命题；
对于D，＝＝+，
因为＞1，所以f（x）＞2，无最小值．
故选：C．
【点评】本题考查了对全称命题及特称命题的真假判断以及对基本不等式成立的条件的判断，属于基础题．
2．若（a∈R，i为虚数单位），则|a﹣i|＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的条件求解a，再由复数模的计算公式求解．
解：∴，∴a+i＝（﹣1+2i）（1+i）＝﹣3+i，
得a＝﹣3，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．
3．下列说法中正确的是（　　）
A．向量的模都是正实数
B．单位向量都是相等向量
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
【分析】根据题意，由向量的定义分析选项，即可得答案．
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，零向量的模为0，故A不正确；
对于B，单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；
对于C，向量的大小即为向量的模，与方向无关，故C正确；
对于D，任意的向量不能比较大小，故D不正确；
故选：C．
【点评】本题考查向量的定义，涉及单位向量、零向量的定义，属于基础题．
4．＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【分析】先利用诱导公式化简sin550°得﹣sin10°，再利用和差角公式，二倍角公式化简．
解：因为sin550°＝sin（360°+190°）＝sin190°＝sin（180°+10°）＝﹣sin10°，
所以，
故选：C．
【点评】本题考查诱导公式，和差角公式，二倍角公式，属于中档题．
5．在△ABC中，sin2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（　　）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【分析】直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简求解即可判断三角形的形状．
解：因为sin2＝＝，即，由余弦定理可得，
可得a2+b2＝c2，所以三角形是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查三角形形状的判断，余弦定理以及二倍角公式的应用，考查计算能力．
6．将函数f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）＝（　　）
A．2sin（2x+） B．2sin（2x﹣）
C．2cos（2x+） D．2cos（2x﹣）
【分析】根据三角恒等变换化简f（x），再利用三角函数图象的平移变换可得g（x）．
解：f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），
将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣）的图象．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角恒等变换以及三角函数的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
7．若向量的模均为1，且＝0，则|3|的最大值为（　　）
A．5+2 B．3 C．5 D．7
【分析】根据条件可设，从而可得出，然后即可求出最大值．
解：∵，∴，且的模均为1，
∴设，
∴，
∴＝＝，其中，
∴sin（θ+φ）＝﹣1时，取得最大值7．
故选：D．
【点评】本题考查了单位向量的定义，向量垂直的充要条件，利用向量的坐标解决问题的方法，向量坐标的加法、减法和数乘运算，考查了计算能力，属于中档题．
8．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥B1C，AA1＝BC＝2AB，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】推导出BB1⊥AB，AB⊥B1C，从而AB⊥平面BCC1B1，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．
【解答】解∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，
∵AB⊥B1C，B1C∩BB1＝B1，∴AB⊥平面BCC1B1，
∵AB，BC，BB1两两垂直，
∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AA1＝BC＝2AB＝2，则A1（1，0，2），B（0，0，0），B1（0，0，2），C（0，2，0），
＝（﹣1，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），
设异面直线A1B与B1C所成角为θ，
则cosθ＝＝＝．
∴异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为．
故选：D．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、多选题（每题5分，共20分）
（多选）9．函数y＝sin是R上的偶函数，则φ可以是（　　）
A． B．π C． D．3π
【分析】利用偶函数的性质可得﹣φ＝kπ+，k∈Z，由此求出φ，进而可以求解．
解：因为函数y＝sin是R上的偶函数，
则﹣φ＝kπ+，k∈Z，解得φ＝﹣2kπ﹣π，k∈Z，
当k＝﹣1时，φ＝π，当φ＝﹣2时，φ＝3π，故B，D正确，A，C错误，
故选：BD．
【点评】本题考查了正弦函数的奇偶性，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
（多选）10．对于函数f（x）＝sin（cosx），下列结论正确的是（　　）
A．f（x）为偶函数
B．f（x）的一个周期为2π
C．f（x）的值域为[﹣sin1，sin1]
D．f（x）在[0，π]单调递增
【分析】运用函数的奇偶性的定义，结合诱导公式，可判断A；由周期函数的定义可判断B；由正弦函数、余弦函数的值域、单调性可判断C；由正弦函数、余弦函数的单调性可判断D．
解：函数f（x）＝sin（cosx），由f（﹣x）＝sin（cos（﹣x））＝sin（cosx），可得f（x）为偶函数，故A正确；
由f（x+2π）＝sin（cos（x+2π））＝sin（cosx）＝f（x），故f（x）的一个周期为2π，故B正确；
由﹣1≤cos≤1，且[﹣1，1]⊆[﹣，]，可得f（x）的值域为[sin（﹣1），sin1]，即[﹣sin1，sin1]，故C正确；
由y＝cosx在[0，π]递减，且cosx∈[﹣1，0]，而[﹣1，0]是y＝sinx的增区间，可得y＝sin（cosx）在[0，π]递减，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查正弦函数、余弦函数的图象和性质，主要是奇偶性和周期性、单调性和值域的求法，考查推理能力，属于中档题．
（多选）11．若函数f（x）＝2cosωx（cosωx﹣sinωx）﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则（　　）
A．
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）在内有5个零点
D．f（x）在上的值域为[﹣1，1]
【分析】先将f（x）解析式确定，直接可判断A错误，C正确；B，D项需将2x+看成一个整体，利用y＝cosx的性质来解即可．
解：f（x）＝2cosωx（cosωx﹣sinωx）﹣1＝2cos2ωx﹣2sinωxcosωx﹣1＝cos2ωx﹣sin2ωx＝cos（2ωx+），
由于f（x）的最小正周期为π，则＝π，∴ω＝1，则f（x）＝cos（2x+），
A项：f（﹣）＝cos（﹣+）＝cos＝，A错误；
B项：令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z，
∴kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，k＝1时，一个单调增区间为[，]，
又⊂[，]，则B正确；
C项：f（x）＝cos（2x+）＝0，2x+＝kπ+，k∈Z，x＝kπ+，k∈Z，
在内，当k＝0时，x＝，当k＝1时，x＝+＝，当k＝2时，x＝π+＝，
当k＝3时，x＝+＝，当k＝4时，x＝2π+＝，共有5个零点，C正确；
D项：x∈，2x+∈[﹣，]，
当2x+＝0，即x＝﹣时，f（x）取得最大值为，
当2x+＝，即x＝时，f（x）取得最小值为cos＝﹣1，
则f（x）在上的值域为[﹣1，]，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查值域，单调性，零点，属于中档题．
（多选）12．如图，A，B，C，D为三棱柱的顶点或所在棱的中点，下列图形中，直线AB与CD是异面直线的为（　　）
A．​ B．​
C．​ D．​
【分析】由异面直线的定义判断A与D；由平行公理判断B；利用反证法思想说明C．
解：对于A，∵CD⊂平面BCD，B∈平面BCD，B∉CD，A∉平面BCD，由异面直线的定义可知，直线AB与CD是异面直线，故A正确；
对于B，∵C、D为所在棱的中点，由平行公理可得，AB∥CD，故B错误；
对于C，如图，

分别取底面三角形两边的中点E，F，连接CE，DF，证得平面CDE∥平面ABF，进一步得到AF∥CD，
AB与CD无公共点，若AB与CD平行，得到AB与AF平行，这样AB∩AF＝A矛盾，可得AB与CD异面，故C正确；
对于D，∵AB⊂平面ABC，C∈平面ABC，C∉AB，D∉平面ABC，由异面直线的定义可知，直线AB与CD是异面直线，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查空间中异面直线的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是中档题．
三、填空题（共20分）
13．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝　　．
【分析】利用分段函数的表达式，利用代入法即可得到结论．
解：由分段函数得f（﹣2）＝﹣2×（﹣2）+8＝4+8＝12，
则f（12）＝＝，
即f（f（﹣2））＝f（12）＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式，直接代入是解决本题的关键．比较基础．
14．已知，则＝　﹣7或﹣　．
【分析】首先根据诱导公式求出sinα的值，再利用同角三角函数关系式求出cosα，tanα的值，从而可求出tan（）的值．
解：因为＝﹣sinα，可得sinα＝，
所以cosα＝﹣，或cosα＝，
当cosα＝﹣时，tanα＝﹣，＝＝﹣7；
当cosα＝时，tanα＝，＝＝﹣．
故答案为：﹣7或﹣．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式在三角函数求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．
15．已知两个单位向量，的夹角为60°，，，则实数t＝　﹣2　．
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，列方程求出t的值．
解：∵两个单位向量，的夹角为60°，
∴＝1×1×cos60°＝．
∵，，
∴＝+t＝1+＝0，∴t＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．
16．辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容asinx+bcosx＝．（其中a≠0，b∈R，tanφ＝）．已知函数f（x）＝sinωx+mcosωx（m＞0，ω＞0）的图像的两相邻零点之间的距离小于π，x＝为函数f（x）的极大值点且，则实数ω的最小值为 　13　．
【分析】化简函数f（x）＝sin（ωx+φ），根据图像的两相邻零点之间的距离小于π，求出ω＞1，再根据函数的极大值点求出，由求出m，即可求出φ的取值，再代入计算可得．
解：因为函数两相邻零点之间的距离小于π，所以，即，解得ω＞1，
又其中，
因为，
所以，
因为为函数f（x）的极大值点，
所以，
所以，
所以，
所以，
即，所以，
所以，
则，
所以，
即ω＝1+12（k﹣m），k∈Z，m∈Z，
又ω＞0，所以ωmin＝13；
故答案为：13．
【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题．
四、解答题（共70分）
17．求值：．
【分析】由三角恒等变换知识化简即可．
解：＝＝．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．
18．已知向量，求：
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，求m+n；
（3）若，求k的值．
【分析】（1）利用向量共线定理设，结合向量线性运算的坐标表示求解作答．
（2）利用向量线性运算的坐标表示，结合相等向量列式求解作答．
（3）利用垂直关系的坐标表示求出k值作答．
解：（1）由，，设，而，
因此，解得，
所以或；
（2）因为，
则，
于是，解得m＝2，n＝﹣1，
所以m+n＝1；
（3）依题意，，
又，，
因此（2k+1）×3+（﹣k+2）×（﹣4）＝0，解得，
所以．
【点评】本题主要考查向量共线、垂直的性质，属于基础题．
19．已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．
（Ⅰ）求z1的值；
（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．
【分析】（Ⅰ）设z1＝x+yi（x，y∈R），则z2＝﹣x+yi，由题意列方程组求得x，y的值，则答案可求；
（Ⅱ）求得z1，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简化简，再由复数相等的条件求解．
解：（Ⅰ）设z1＝x+yi（x，y∈R），则z2＝﹣x+yi，
∵z1（1﹣i）＝z2（1+i），|z1|＝，
∴，解得或，
即z1＝1﹣i或z1＝﹣1+i；
（Ⅱ）∵z1的虚部大于零，∴z1＝﹣1+i，则，
则有，
∴，解得．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
20．已知电流I（单位：A）与时间t（单位：s）的关系为I＝Asin（ωt+φ）．
（1）如图是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；（A＞0，ω＞0，）．
（2）如果t在任意一段s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小整数值是多少？

【分析】（1）通过图象直接求出A，求出周期，再求ω，将点，0）的坐标代入求出φ，得到函数解析式．
（2）由题意，满足区间长度至少包含一个周期，即，从而求出ω最小正整数值．
解：（1）因为周期，，又A＝300，
所以I＝300sin（150πt+φ）．
将点，0）的坐标代入上式，得，
由于，所以，则，
可得．
（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin（ωt+φ）都能取得最大值，
必满足区间长度至少包含一个周期，即，
可得ω≥300π≈942.3，
所以ω的最小正整数值是943．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查运算求解能力，是中档题．
21．如图在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1上一点，且BD1∥平面ACE．
（1）求证：E为DD1的中点；
（2）求点D到平面ACE的距离．


【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接OE，利用线面平行的性质可得出BD1∥OE，推导出O为BD的中点，结合中位线的性质可证得结论成立；
（2）计算出三棱锥E﹣ACD的体积以及△ACE的面积，利用等体积法可求得点D到平面ACE的距离．
解：（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，

因为BD1∥平面ACE，BD1⊂平面BDD1，平面BDD1⋂平面ACE＝OE，
所以BD1∥OE，
因为四边形ABCD为正方形，AC⋂BD＝O，则O为BD的中点，
因此，E为DD1的中点．
（2）因为DE⊥平面ABCD，，
又因为DE＝1，所以，，
因为AD⊥DE，所以，，同理可得，
，所以，AE＝CE，
易知O为AC的中点，则OE⊥AC，则，
所以，，
设点D到平面ACE的距离为h，由VD﹣ACE＝VE﹣ACD，可得，
即，解得，即点D到平面ACE的距离为．
【点评】本题考查线面平行的性质定理，等体积法求解点面距问题，属中档题．
22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，AD为∠BAC的角平分线，已知c＝2且a2+c2﹣b2＝（﹣2cosA）bc，AD＝．
（1）求△ABC的面积；
（2）设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求•的最小值．
【分析】（1）结合余弦定理和正弦定理边化角可得sinC＝sinB，进而得到c＝b，；利用正弦定理可推导得到＝，设BD＝t，在△ABD和△ACD中，利用余弦定理可构造方程求得t；在△ABC中利用余弦定理可求得cos∠BAC，进而得到sin∠BAC，利用三角形面积公式可求得结果；
（2）设||＝m（0＜m≤2），||＝n（0＜n≤6），＝λ，由向量线性运算可得＝λ+λ，由E，F，G三点共线可得＝μ+（1﹣μ），进而可构造方程组得到μ＝，结合平面向量线性运算和向量数量积运算性质可将•表示为•（﹣1），由m范围可求得最小值．
解：（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2＝2accosB，则2accosB＝（−2cosA）bc，∴acosB＝（−cosA）b，
由正弦定理得：sinAcosB＝sinB−cosAsinB，
∴sinAcosB+cosAsinB＝sin（A+B）＝sin（π−C）＝sinC＝sinB，则c＝b，
又c＝2，∴b＝6，
∵＝，＝，
又sin∠ADC＝sin（π﹣∠ADB）＝sin∠ADB，
∴＝＝＝，
设BD＝t，则CD＝3t，
∵cos＝＝，即＝，
解得：t＝，∴BC＝4t＝，
∴cos∠BAC＝＝＝，则sin∠BAC＝，
∴S△ABC＝AB⋅ACsin∠BAC＝×2×6×＝；
（2）设||＝m（0＜m≤2），||＝n（0＜n≤6），

由（1）知：＝，
∴＝+＝+＝+（﹣）＝+，
设＝λ，则＝λ+λ，
∵E，F，G三点共线，∴可令＝μ+（1﹣μ）＝+，
则，解得：μ＝，
∴＝+，
又＝﹣＝﹣，•＝||•||cos∠BAC＝，
∴•＝（+）•（﹣）＝﹣++•
＝﹣++＝＝•，∵S△AEF＝S△ABC＝mnsin∠BAC＝mn＝，∴mn＝6，
∴•＝•＝•＝•（﹣1），
∵0＜m≤2，
∴当m＝2时，（•）min＝．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于难题．