河南省南阳市宛城区第三中学2021-2022学年八年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份河南省南阳市宛城区第三中学2021-2022学年八年级上学期第一次月考数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了下列运算中正确的是，在实数，下列算式中，结果不等于66的是，下列计算正确的是，某同学在计算3等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年河南省南阳三中八年级第一学期第一次月考数学试卷
一．选择题（每小3分，共30分）
1．下列运算中正确的是（　　）
A．＝±4 B．＝2 C．＝﹣2 D．＝﹣3
2．在实数：3.14159，，1.010010001…，，0，，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　）

A． B． C． D．﹣
4．若+|2y+1|＝0，则x+y的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣ D．
5．下列算式中，结果不等于66的是（　　）
A．（22×32）3 B．（2×62）×（3×63）
C．63+63 D．（22）3×（33）2
6．下列计算正确的是（　　）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4x+4 B．（x﹣3）2＝x2﹣9
C．2x2y÷y＝2x2 D．3x2•（﹣x）4＝3x8
7．某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式（x2+2x+4）（x﹣▲）＝x3﹣■中的两个数弄污了，则式子中的■，▲对应得一组数可以是（　　）
A．20，5 B．16，4 C．13，3 D．8，2
8．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的为（　　）
A．10x2y3＝5xy2•2xy B．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
C．3m（R+r）＝3mR+3mr D．x2﹣x﹣5＝（x+2）（x﹣3）+1
9．有足够多张如图所示的A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片，若要拼一个长为（3a+2b）、宽为（2a+b）的大长方形，则需要C类卡片的张数为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．7
10．某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：（1+）（1+）+＝（　　）
A．2﹣ B．2+ C．1 D．2
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．的平方根是 　 　．
12．一个正数a的平方根是2x﹣1和5﹣x，则a＝　 　．
13．（3x+2）（　 　）＝4﹣9x2．
14．已知am＝2，an＝3，则（a3m﹣n）2＝　 　．
15．用4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b之间存在的数量关系是　 　．

三．解答题（共75分）
16．计算：
（1）+﹣++|1﹣|；
（2）×+×÷；
（3）（）13×（﹣）15×（）14．
17．分解因式：
（1）50a2﹣40ab+8b2；
（2）n2（m﹣2）+（2﹣m）．
18．（16分）化简求值；
（1）先化简，再求值：（3a5b3+a4b2）÷（﹣a2b）2﹣（2+a）（2﹣a）﹣（a﹣b）2，其中a＝﹣，b＝2．
（2）先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）]÷（﹣x），其中x，y满足|x﹣5|+（y+4）2＝0．
19．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．
（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为　 　，B区显示的结果为　 　．
（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．

20．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为　 　．

21．把完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1；所以（a+b）2＝9，2ab＝2：所以a2+b2+2ab＝9，
2ab＝2；得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若2m+n＝3，mn＝1，则2m﹣n＝　 　；
②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝　 　．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝4，两正方形的面积和S1+S2＝12，求图中阴影部分面积．

22．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一．如图2，杨辉三角给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序排列）．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等．

（1）按上述规律，（a+b）4展开式中共有 　 　项，第三项是 　 　；
（2）请直接写出（1+y）5的展开式 　 　．
（3）利用上面的规律计算：×．


参考答案
一．选择题（每小3分，共30分）
1．下列运算中正确的是（　　）
A．＝±4 B．＝2 C．＝﹣2 D．＝﹣3
【分析】根据算术平方根、立方根的定义解答即可．
解：A、原式＝4，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、原式＝﹣2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、原式＝|﹣2|＝2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、原式＝﹣3，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
2．在实数：3.14159，，1.010010001…，，0，，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：3.14159，＝4，0，是有理数，
1.010010001…，﹣，是无理数，共有3个，
故选：C．
3．把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　）

A． B． C． D．﹣
【分析】设被墨迹覆盖住的无理数为x，由图可知：3＜x＜4，得，进而解决此题．
解：设被墨迹覆盖住的无理数为x．
由图可知：3＜x＜4．
∴．
∵，
∴x＝．
故选：B．
4．若+|2y+1|＝0，则x+y的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣ D．
【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性，求出x、y的值，再代入计算即可．
解：∵+|2y+1|＝0，
∴x﹣1＝0，2y+1＝0，
∴x＝1，y＝﹣，
∴x+y＝1﹣＝，
故选：D．
5．下列算式中，结果不等于66的是（　　）
A．（22×32）3 B．（2×62）×（3×63）
C．63+63 D．（22）3×（33）2
【分析】根据积的乘方和幂的乘方，乘法法则及合并同类项法则判断可得．
解：A、（22×32）3＝66，不符合题意；
B、（2×62）×（3×63）＝6×65＝66，不符合题意；
C、63+63＝2×63，符合题意；
D、（22）3×（33）2，＝26×36＝66，不符合题意；
故选：C．
6．下列计算正确的是（　　）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4x+4 B．（x﹣3）2＝x2﹣9
C．2x2y÷y＝2x2 D．3x2•（﹣x）4＝3x8
【分析】A、原式利用平方差公式化简得到结果，即可作出判断；
B、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断；
C、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断．
解：A、原式＝x2﹣4，不符合题意；
B、原式＝x2﹣6x+9，不符合题意；
C、原式＝2x2，符合题意；
D、原式＝3x2•x4＝3x6，不符合题意．
故选：C．
7．某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式（x2+2x+4）（x﹣▲）＝x3﹣■中的两个数弄污了，则式子中的■，▲对应得一组数可以是（　　）
A．20，5 B．16，4 C．13，3 D．8，2
【分析】设▲代表a，■代表b，然后利用多项式乘多项式的运算法则进行计算求解．
解：设▲代表a，■代表b，
左边＝（x2+2x+4）（x﹣a）
＝x3﹣ax2+2x2﹣2ax+4x﹣4a
＝x3﹣（a﹣2）ax2﹣（2a﹣4）x﹣4a，
又由题意可得，右边＝x3﹣b，
对比左右两边可得，a﹣2＝0，4a＝b，
解得：a＝2，b＝8，
∴▲代表2，■代表8，
故选：D．
8．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的为（　　）
A．10x2y3＝5xy2•2xy B．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
C．3m（R+r）＝3mR+3mr D．x2﹣x﹣5＝（x+2）（x﹣3）+1
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
解：A．等式的左边不是多项式，所以不是因式分解，故本选项不合题意；
B．是因式分解，故本选项符合题意；
C．是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．有足够多张如图所示的A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片，若要拼一个长为（3a+2b）、宽为（2a+b）的大长方形，则需要C类卡片的张数为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．7
【分析】计算（3a+2b）（2a+b），结果中ab项的系数即为需要C类卡片的张数．
解：∵（3a+2b）（2a+b）＝6a2+7ab+2b2，
∴需要C类卡片7张，
故选：D．
10．某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：（1+）（1+）+＝（　　）
A．2﹣ B．2+ C．1 D．2
【分析】将原式乘以2×（1﹣）之后，连续使用平方差公式进而得出答案．
解：原式＝2×（1﹣）（1+）（1+）+
＝2×（1﹣）（1+）+
＝2×（1﹣）+
＝2﹣+
＝2．
故选：D．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．的平方根是 　　．
【分析】根据算术平方根和平方根的计算方法进行计算即可得出答案．
解：∵＝2，
∴2的平方根是．
故答案为：．
12．一个正数a的平方根是2x﹣1和5﹣x，则a＝　81　．
【分析】根据已知得出方程2x﹣1+5﹣x＝0，求出x，根据平方根定义求出a即可．
解：∵一个正数a的平方根是2x﹣1和5﹣x，
∴2x﹣1+5﹣x＝0，
x＝﹣4，
2x﹣1＝﹣9，
∴a＝92＝81，
故答案为：81．
13．（3x+2）（　﹣3x+2　）＝4﹣9x2．
【分析】根据平方差公式填空即可．
解：∵4﹣9x2＝22﹣（3x）2＝（2+3x）（2﹣3x），
∴（3x+2）（﹣3x+2）＝4﹣9x2．
故答案为：﹣3x+2．
14．已知am＝2，an＝3，则（a3m﹣n）2＝　　．
【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．
解：∵am＝2，an＝3，
∴a3m＝（am）3＝23＝8，
∴（a3m﹣n）2＝（a3n÷an）2＝（8÷3）2＝．
故答案为：．
15．用4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b之间存在的数量关系是　a＝2b　．

【分析】先用a、b的代数式分别表示S1＝a2+2b2，S2＝2ab﹣b2，再根据S1＝2S2，得a2+2b2＝2（2ab﹣b2），整理，得（a﹣2b）2＝0，所以a＝2b．
解：S1＝b（a+b）×2+ab×2+（a﹣b）2＝a2+2b2，
S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，
∵S1＝2S2，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
整理，得（a﹣2b）2＝0，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
故答案为：a＝2b．
三．解答题（共75分）
16．计算：
（1）+﹣++|1﹣|；
（2）×+×÷；
（3）（）13×（﹣）15×（）14．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（3）利用幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
解：（1）+﹣++|1﹣|
＝2+0﹣+（﹣）+﹣1
＝2+0﹣﹣+﹣1
＝；
（2）×+×÷
＝×（﹣4）+3×3÷
＝﹣10+3×3×2
＝﹣10+18
＝8；
（3）（）13×（﹣）15×（）14
＝[×（﹣）×]13×（﹣）2×
＝（﹣1）13××
＝﹣1××
＝﹣．
17．分解因式：
（1）50a2﹣40ab+8b2；
（2）n2（m﹣2）+（2﹣m）．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
解：（1）50a2﹣40ab+8b2
＝2（25a2﹣20ab+4b2）
＝2（5a﹣2b）2；
（2）n2（m﹣2）+（2﹣m）
＝（m﹣2）（n2﹣1）
＝（m﹣2）（n+1）（n﹣1）．
18．（16分）化简求值；
（1）先化简，再求值：（3a5b3+a4b2）÷（﹣a2b）2﹣（2+a）（2﹣a）﹣（a﹣b）2，其中a＝﹣，b＝2．
（2）先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）]÷（﹣x），其中x，y满足|x﹣5|+（y+4）2＝0．
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，后算加减，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
解：（1）（3a5b3+a4b2）÷（﹣a2b）2﹣（2+a）（2﹣a）﹣（a﹣b）2
＝（3a5b3+a4b2）÷a4b2﹣（4﹣a2）﹣（a2﹣2ab+b2）
＝3ab+1﹣4+a2﹣a2+2ab﹣b2
＝5ab﹣3﹣b2，
当a＝﹣，b＝2时，原式＝5×（﹣）×2﹣3﹣22
＝﹣2﹣3﹣4
＝﹣9；
（2）[（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）]÷（﹣x）
＝（4x2﹣y2+x2+2xy+y2﹣4x2+2xy）÷（﹣x）
＝（x2+4xy）÷（﹣x）
＝﹣2x﹣8y，
∵|x﹣5|+（y+4）2＝0，
∴x﹣5＝0，y+4＝0，
∴x＝5，y＝﹣4，
当x＝5，y＝﹣4时，原式＝﹣2×5﹣8×（﹣4）
＝﹣10+32
＝22．
19．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．
（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为　﹣2a+25　，B区显示的结果为　6a﹣16　．
（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．

【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）利用多项式乘多项式法则进行计算，然后将a＝2代入求值．
解：（1）A区显示的结果为：25﹣a﹣a＝﹣2a+25；
B区显示的结果为：﹣16+3a+3a＝6a﹣16；
（2）（﹣2a+25）（6a﹣16）
＝﹣12a2+32a+150a﹣400
＝﹣12a2+182a﹣400，
当a＝2时，原式＝﹣12×22+182×2﹣400
＝﹣84．
20．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为　﹣1﹣2　．

【分析】（1）根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长．
（2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长．
（3）根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数．
解：（1）．
答：这个魔方的棱长为4．
（2）∵魔方的棱长为4，
∴小立方体的棱长为2，
∴阴影部分面积为：×2×2×4＝8，
边长为：＝2．
答：阴影部分的面积是8，边长是2．
（3）D在数轴上表示的数为﹣1﹣2．
故答案为：﹣1﹣2．
21．把完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1；所以（a+b）2＝9，2ab＝2：所以a2+b2+2ab＝9，
2ab＝2；得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若2m+n＝3，mn＝1，则2m﹣n＝　±1　；
②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝　13　．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝4，两正方形的面积和S1+S2＝12，求图中阴影部分面积．

【分析】（1）根据完全平方公式的变形为xy＝代入计算即可；
（2）①根据（2m﹣n）2＝（2m+n）2﹣8mn，再代入计算即可；
②换元后，依据（2）①的做法即可求出答案；
（3）将题意转化为：已知x2+y2＝12，x+y＝4，求xy的值，依据上述方法进行解答即可．
解：（1）∵x+y＝6，
∴（x+y）2＝36，
即x2+2xy+y2＝36，
又∵x2+y2＝20，
∴20+2xy＝36，
∴xy＝8；
（2）①∵2m+n＝3，mn＝1，
∴（2m﹣n）2＝（2m+n）2﹣8mn
＝32﹣1＝1，
∴2m﹣n＝±1，
②设A＝4﹣m，B＝5﹣m，
则A•B＝6，A﹣B＝﹣1，
∴A2+B2＝（A﹣B）2+2AB
＝1+12
＝13，
即（4﹣m）2+（5﹣m）2＝13；
故答案为：①±1，②13；
（3）设AC＝x，BC＝y，则S1＝x2，S2＝y2，
∵S1+S2＝12，
∴x2+y2＝12，
又∵AB＝4＝x+y，
∴S阴影＝xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]
＝（42﹣12）
＝2，
答：图中阴影部分面积为2．
22．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一．如图2，杨辉三角给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序排列）．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等．

（1）按上述规律，（a+b）4展开式中共有 　5　项，第三项是 　6a2b2　；
（2）请直接写出（1+y）5的展开式 　1+5y+10y2+10y3+5y4+y5　．
（3）利用上面的规律计算：×．
【分析】（1）根据展开式的系数规律可得答案；
（2）先根据规律写出（a+b）5，再把a＝1，b＝y代入即可；
（3）根据前面的规律可得原式等于[2+（﹣）]6，再计算即可．
解：（1）由杨辉三角的系数规律可得，
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴展开式共有5项，第三项是6a2b2．
故答案为：5，6a2b2．
（2）∵（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
当a＝1，b＝y时，原式＝1+5y+10y2+10y3+5y4+y5．
故答案为：1+5y+10y2+10y3+5y4+y5．
（3）由“杨辉三角”可知，原式＝[2+（﹣）]6＝．