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河南省南阳市第十三中学校2021-2022学年八年级上学期第二次月考数学试卷（Word版含答案）
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这是一份河南省南阳市第十三中学校2021-2022学年八年级上学期第二次月考数学试卷（Word版含答案），共26页。试卷主要包含了填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省南阳十三中八年级第一学期第二次月考数学试卷
一、填空：（每小题3分，共30分）
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两点之间，直线最短
C．同位角相等 D．同旁内角互补
2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝3：4：5
C．b2＝a2﹣c2 D．∠A＝∠B﹣∠C
3．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去
4．三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，则该三角形的形状是（ ）
A．任意等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．任意直角三角形
5．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
6．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20，宽AD＝10，中间整有一堵砖墙高MN＝2，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
7．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
8．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（ ）
A．7 B．10 C．15 D．17
9．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，过点A作AF⊥AD，垂足是A，过点C作CF⊥BC，垂足是C．交AF于点F，连接EF，下列结论：
①△ABD≌△ACF；②DE＝EF；③若S△ADE＝10，S△CEF＝4．则S△ABC＝24；④BD+CE＝DE．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
二、填空（每小题3分，共15分）
11．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠1＝40°，则∠2＝ °．
12．在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝4，则AC的长是 ．
13．如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为 m2．
14．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，△ABP与△DCE全等．
15．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是 ．
三、解答题：（共75分）
16．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，根据下列各边的长度，判断各三角形是否为直角三角形，并指出哪一个角是直角．
（1）a＝2，b＝，c＝3；
（2）a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1；（n＞1）
17．已知∠MAN．
（1）用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠MAN的平分线AE；
②在AE上任取一点F，作AF的垂直平分线分别与AM、AN交于P、Q；
（2）在（1）的条件下，线段AP与AQ有什么数量关系，请直接写出结论．
18．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：
①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
19．如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB＝CD，③CE＝BF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果⊗、⊗，那么⊗”）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，求DB的长．
21．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．
22．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示：
（1）大正方形的面积为 ；小正方形的面积为 ；
（2）四个直角三角形的面积和为 ，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为 ；
（3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则S1，S2，S3满足的关系是 ；
（4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为 ．
23．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．
（1）观察猜想
如图①，若点E、F分别是AB、AC的中点，则线段DE与DF的数量关系是 ；线段DE与DF的位置关系是 ．
（2）类比探究
如图②，若点E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题
如图③，若点E、F分别为AB、CA延长线的点，且BE＝AF＝AB＝2，请直接写出△DEF的面积．
参考答案
一、填空：（每小题3分，共30分）
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两点之间，直线最短
C．同位角相等 D．同旁内角互补
【分析】利用对顶角的性质、线段的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；
B、两点之间，线段最短，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：A．
2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝3：4：5
C．b2＝a2﹣c2 D．∠A＝∠B﹣∠C
【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算可得答案．
解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
∴3x+4x+5x＝180°，
∴x＝15°，
∴∠A＝3x＝45°，∠B＝4x＝60°，∠C＝5x＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意．
B、∵a：b：c＝3：4：5，
∴32+42＝52，
∴△ABC为直角三角形．不符合题意；
C、∵b2＝a2﹣c2，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC为直角三角形．不符合题意；
D、∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠B﹣∠C+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形．不符合题意．
故选：A．
3．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．
最省事的方法是应带③去，理由是：ASA．
故选：C．
4．三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，则该三角形的形状是（ ）
A．任意等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．任意直角三角形
【分析】先将已知等式左边因式分解后判定三角形形状．
解：∵a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0．
∴（a2﹣b2）（a2+b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0．
∴（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0．
∴（a﹣b）（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0．
∵三角形的三边长分别为a，b，c．
∴a+b＞0．
∴a﹣b＝0或a2+b2＝c2．
∴该三角形是等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
5．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
【分析】用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设a与b不平行，即a与b相交．
解：∵原命题“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，
用反证法时应假设结论不成立，
即假设“a与b相交”．
故选：D．
6．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20，宽AD＝10，中间整有一堵砖墙高MN＝2，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加4米，则AB＝20+4＝24，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24，宽AD＝10，
∴AC＝＝＝＝26，
∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走26的路程．
故选：D．
7．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
【分析】根据题意得出∠AOB＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
解：由题意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°，
故∠AOB＝90°，
∴AB＝＝15（海里），
答：甲、乙两渔船相距15海里，
故选：D．
8．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（ ）
A．7 B．10 C．15 D．17
【分析】先根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AD＝BD，据此可得出结论．
解：∵根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BC．
∵△ABC的周长为17，AB＝7，
∴△ADC的周长＝AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝17﹣7＝10．
故选：B．
9．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，过点A作AF⊥AD，垂足是A，过点C作CF⊥BC，垂足是C．交AF于点F，连接EF，下列结论：
①△ABD≌△ACF；②DE＝EF；③若S△ADE＝10，S△CEF＝4．则S△ABC＝24；④BD+CE＝DE．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
【分析】只要证明△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF即可解决问题；
解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵AF⊥AD，BC⊥CF，
∴∠DAF＝∠BAC＝∠ECF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，∠B＝∠ACF＝45°，
∴△ABD≌△ACF，故①正确
∴AD＝AF，BD＝CF，
∵AE＝AE，∠EAD＝∠EAF＝45°，AD＝AF，
∴△AED≌△AEF，
∴DE＝DF，故②正确，
∵若S△ADE＝10，S△CEF＝4．
∴S△ABD+S△AEC＝14，
∴S△ABC＝14+10＝24，故③正确，
∵EC+CF＞EF，
∴BD+CE＞DE，故④错误，
故选：C．
二、填空（每小题3分，共15分）
11．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠1＝40°，则∠2＝ 50 °．
【分析】易证△ABC和△ADC均为直角三角形，即可证明RT△ABC≌RT△ADC，可得∠1＝∠CAD，即可解题．
解：∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
在RT△ABC和RT△ADC中，
，
∴RT△ABC≌RT△ADC（HL），
∴∠1＝∠CAD，
∴∠2＝90°﹣∠CAD＝50°．
故答案为 50°．
12．在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝4，则AC的长是 3或 ．
【分析】分两种情况，①AB＝5为直角边，②AB＝5为斜边，然后根据勾股定理即可得到结论．
解：①当AB＝5为直角边时，
根据勾股定理得，AC＝＝＝；
②当AB＝5为斜边时，AC＝＝＝3，
综上所述，AC的长是3或，
故答案为：3或．
13．如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为 96 m2．
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，那么△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
解：如图，连接AC．
在△ACD中，∵AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，
∴AC＝15m，
又∵AC2+BC2＝152+202＝252＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×15×20﹣×9×12＝96（平方米）．
故答案为：96．
14．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 1或7 秒时，△ABP与△DCE全等．
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP＝2t＝2和AP＝16﹣2t＝2即可求得．
解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP＝2t＝2，
所以t＝1，
因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP＝16﹣2t＝2，
解得t＝7．
所以，当时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：1或7．
15．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是 8 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8．
故答案为：8．
三、解答题：（共75分）
16．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，根据下列各边的长度，判断各三角形是否为直角三角形，并指出哪一个角是直角．
（1）a＝2，b＝，c＝3；
（2）a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1；（n＞1）
【分析】（1）根据a、b、c的值，可以计算出a2+c2和b2的值，然后即可判断该三角形是否为直角三角形；
（2）根据a、b、c的值，可以计算出a2+b2和c2的值，然后即可判断该三角形是否为直角三角形．
解：（1）∵a＝2，b＝，c＝3，
∴a2+c2＝13，b2＝13，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，∠B 是直角；
（2）∵a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1，
∴a2+b2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝n4+2n2+1，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，∠C是直角．
17．已知∠MAN．
（1）用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠MAN的平分线AE；
②在AE上任取一点F，作AF的垂直平分线分别与AM、AN交于P、Q；
（2）在（1）的条件下，线段AP与AQ有什么数量关系，请直接写出结论．
【分析】（1）①利用角平分线的作法得出即可；
②利用垂直平分线的作法得出即可；
（2）利用垂直平分线的性质得出∠PGA＝∠QGA，进而得出△PAG≌△QAG（ASA），则AP＝AQ，即可得出答案．
解：（1）如图所示：
①AE为所求作的角平分线；
②PQ为所求作的垂直平分线；
（2）AP＝AQ．
证明：∵PQ是AF的垂直平分线，
∴∠PGA＝∠QGA＝90°，
∵AE是∠MAN的平分线，
∴∠PAG＝∠QAG，
在△PAG和△QAG中，
，
∴△PAG≌△QAG（ASA），
∴AP＝AQ．
18．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：
①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，
所以，CD＝15（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6米，
答：风筝的高度CE为16.6米；
（2）由题意得，CM＝9，
∴DM＝6，
∴BM＝＝＝10，
∴BC﹣BM＝7，
∴他应该往回收线7米．
19．如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB＝CD，③CE＝BF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果⊗、⊗，那么⊗”）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
【分析】（1）如果①②作为条件，③作为结论，得到的命题为真命题；如果①③作为条件，②作为结论，得到的命题为真命题，写成题中要求的形式即可；
（2）若选择（1）中的如果①②，那么③，由AE与DF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AB＝DC，等式左右两边都加上BC，得到AC＝DB，又∠E＝∠F，利用AAS即可得到三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等得到CE＝BF，得证；若选择如果①③，那么②，由AE与FD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由∠E＝∠F，CE＝BF，利用AAS可得出三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AC＝BD，等式左右两边都减去BC，得到AB＝CD，得证．
解：（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；
（2）若选择如果①②，那么③，
证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝DB，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（AAS），
∴CE＝BF；
若选择如果①③，那么②，
证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（AAS），
∴AC＝DB，
∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝CD．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，求DB的长．
【分析】根据折叠的性质得到AE＝AC＝5，DC＝DE，∠AED＝∠BED＝∠C＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
解：根据题意，得AE＝AC＝5，DC＝DE，∠AED＝∠BED＝∠C＝90°．
设DC＝x，则DE＝x，BD＝12﹣x．
在Rt△BDE中，由勾股定理，得x2+（13﹣5）2＝（12﹣x）2，
解得，
∴CD＝，
∴BD＝12﹣x＝，
故DB的长为．
21．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EBC＝∠F，然后求出∠ABF＝∠F，再利用“角角边”证明△ABE和△AFE全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DF，然后根据AD+BC整理即可得证．
【解答】证明：（1）∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，
∴∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠F，∠ABF＝∠F，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS）；
（2）∵△ABE≌△AFE，
∴BE＝EF，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴BC＝DF，
∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，
即AD+BC＝AB．
∵AD＝2，BC＝6，
∴AB＝8．
22．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示：
（1）大正方形的面积为 （a+b）2 ；小正方形的面积为 c2 ；
（2）四个直角三角形的面积和为 2ab ，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为 a2+b2＝c2 ；
（3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则S1，S2，S3满足的关系是 S1+S2＝S3 ；
（4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为 7.5 ．
【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论；
（3）根据勾股定理和圆的面积公式解答即可．
（4）根据勾股定理和圆的面积公式解答即可．
解：（1）大正方形的面积为（a+b）2；小正方形的面积为c2；
故答案为：（a+b）2，c2；
（2）四个直角三角形的面积和＝4×ab＝2ab，
∵4×ab+c2＝（a+b）2，
∴a2+b2＝c2，
故a，b，c之间的关系式为a2+b2＝c2，
故答案为：2ab，a2+b2＝c2；
（3）S1，S2，S3满足的关系是S1+S2＝S3，
∵S1+S2＝π（）2+π（）2，S3＝π（）2，
∵a2+b2＝c2．
∴S1+S2＝S3．
故答案为：S1+S2＝S3；
（4）图中两个月形图案（阴影部分）的面积和：S1+S2＝π（）2+π（）2+S3﹣π（）2＝S△ABC＝×3×5＝7.5，
故答案为：7.5．
23．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．
（1）观察猜想
如图①，若点E、F分别是AB、AC的中点，则线段DE与DF的数量关系是 DE＝DF ；线段DE与DF的位置关系是 DE⊥DF ．
（2）类比探究
如图②，若点E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题
如图③，若点E、F分别为AB、CA延长线的点，且BE＝AF＝AB＝2，请直接写出△DEF的面积．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得∴，，DF∥AB，DE∥AC，由等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）由“SAS”可证△BDE≌△ADF，可得DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，由余角的性质可得∠EDF＝90°，可得结论；
（3）由“SAS”可证△BDE≌△ADF，可得DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，由余角的性质可得∠EDF＝90°，由勾股定理可求EF的长，即可求解．
解：（1）∵点E、F、D分别是AB、AC、BC的中点，
∴，，DF∥AB，DE∥AC，
∴∠ABC＝∠FDC，∠ACB＝∠EDB，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴DE＝DF，∠BDE＝∠FDC＝∠C＝45°，
∴∠EDF＝90°，
即DE⊥DF，
故答案为：DE＝DF；DE⊥DF；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如图②，连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴，∠BAC＝∠CAD＝45°＝∠B＝∠C，
又∵BE＝AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
即∠EDF＝90°，即DE⊥DF；
（3）如图③，连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴，∠BAC＝∠CAD＝45°＝∠B＝∠C，
∴∠DAF＝∠DBE＝135°，
又∵BE＝AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵BE＝AF＝AB＝2，
∴AB＝6，AE＝8，
∴EF＝＝＝2，
∴DE＝DF＝＝，
∴S△DEF＝×DE＝DF＝17．
2021-2022学年河南省南阳十三中八年级第一学期第二次月考数学试卷
一、填空：（每小题3分，共30分）
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两点之间，直线最短
C．同位角相等 D．同旁内角互补
2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝3：4：5
C．b2＝a2﹣c2 D．∠A＝∠B﹣∠C
3．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去
4．三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，则该三角形的形状是（ ）
A．任意等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．任意直角三角形
5．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
6．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20，宽AD＝10，中间整有一堵砖墙高MN＝2，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
7．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
8．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（ ）
A．7 B．10 C．15 D．17
9．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，过点A作AF⊥AD，垂足是A，过点C作CF⊥BC，垂足是C．交AF于点F，连接EF，下列结论：
①△ABD≌△ACF；②DE＝EF；③若S△ADE＝10，S△CEF＝4．则S△ABC＝24；④BD+CE＝DE．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
二、填空（每小题3分，共15分）
11．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠1＝40°，则∠2＝ °．
12．在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝4，则AC的长是 ．
13．如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为 m2．
14．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，△ABP与△DCE全等．
15．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是 ．
三、解答题：（共75分）
16．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，根据下列各边的长度，判断各三角形是否为直角三角形，并指出哪一个角是直角．
（1）a＝2，b＝，c＝3；
（2）a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1；（n＞1）
17．已知∠MAN．
（1）用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠MAN的平分线AE；
②在AE上任取一点F，作AF的垂直平分线分别与AM、AN交于P、Q；
（2）在（1）的条件下，线段AP与AQ有什么数量关系，请直接写出结论．
18．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：
①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
19．如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB＝CD，③CE＝BF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果⊗、⊗，那么⊗”）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，求DB的长．
21．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．
22．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示：
（1）大正方形的面积为 ；小正方形的面积为 ；
（2）四个直角三角形的面积和为 ，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为 ；
（3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则S1，S2，S3满足的关系是 ；
（4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为 ．
23．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．
（1）观察猜想
如图①，若点E、F分别是AB、AC的中点，则线段DE与DF的数量关系是 ；线段DE与DF的位置关系是 ．
（2）类比探究
如图②，若点E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题
如图③，若点E、F分别为AB、CA延长线的点，且BE＝AF＝AB＝2，请直接写出△DEF的面积．
参考答案
一、填空：（每小题3分，共30分）
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两点之间，直线最短
C．同位角相等 D．同旁内角互补
【分析】利用对顶角的性质、线段的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；
B、两点之间，线段最短，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：A．
2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝3：4：5
C．b2＝a2﹣c2 D．∠A＝∠B﹣∠C
【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算可得答案．
解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
∴3x+4x+5x＝180°，
∴x＝15°，
∴∠A＝3x＝45°，∠B＝4x＝60°，∠C＝5x＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意．
B、∵a：b：c＝3：4：5，
∴32+42＝52，
∴△ABC为直角三角形．不符合题意；
C、∵b2＝a2﹣c2，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC为直角三角形．不符合题意；
D、∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠B﹣∠C+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形．不符合题意．
故选：A．
3．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．
最省事的方法是应带③去，理由是：ASA．
故选：C．
4．三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，则该三角形的形状是（ ）
A．任意等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．任意直角三角形
【分析】先将已知等式左边因式分解后判定三角形形状．
解：∵a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0．
∴（a2﹣b2）（a2+b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0．
∴（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0．
∴（a﹣b）（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0．
∵三角形的三边长分别为a，b，c．
∴a+b＞0．
∴a﹣b＝0或a2+b2＝c2．
∴该三角形是等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
5．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
【分析】用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设a与b不平行，即a与b相交．
解：∵原命题“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，
用反证法时应假设结论不成立，
即假设“a与b相交”．
故选：D．
6．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20，宽AD＝10，中间整有一堵砖墙高MN＝2，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加4米，则AB＝20+4＝24，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24，宽AD＝10，
∴AC＝＝＝＝26，
∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走26的路程．
故选：D．
7．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
【分析】根据题意得出∠AOB＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
解：由题意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°，
故∠AOB＝90°，
∴AB＝＝15（海里），
答：甲、乙两渔船相距15海里，
故选：D．
8．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（ ）
A．7 B．10 C．15 D．17
【分析】先根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AD＝BD，据此可得出结论．
解：∵根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BC．
∵△ABC的周长为17，AB＝7，
∴△ADC的周长＝AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝17﹣7＝10．
故选：B．
9．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，过点A作AF⊥AD，垂足是A，过点C作CF⊥BC，垂足是C．交AF于点F，连接EF，下列结论：
①△ABD≌△ACF；②DE＝EF；③若S△ADE＝10，S△CEF＝4．则S△ABC＝24；④BD+CE＝DE．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
【分析】只要证明△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF即可解决问题；
解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵AF⊥AD，BC⊥CF，
∴∠DAF＝∠BAC＝∠ECF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，∠B＝∠ACF＝45°，
∴△ABD≌△ACF，故①正确
∴AD＝AF，BD＝CF，
∵AE＝AE，∠EAD＝∠EAF＝45°，AD＝AF，
∴△AED≌△AEF，
∴DE＝DF，故②正确，
∵若S△ADE＝10，S△CEF＝4．
∴S△ABD+S△AEC＝14，
∴S△ABC＝14+10＝24，故③正确，
∵EC+CF＞EF，
∴BD+CE＞DE，故④错误，
故选：C．
二、填空（每小题3分，共15分）
11．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠1＝40°，则∠2＝ 50 °．
【分析】易证△ABC和△ADC均为直角三角形，即可证明RT△ABC≌RT△ADC，可得∠1＝∠CAD，即可解题．
解：∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
在RT△ABC和RT△ADC中，
，
∴RT△ABC≌RT△ADC（HL），
∴∠1＝∠CAD，
∴∠2＝90°﹣∠CAD＝50°．
故答案为 50°．
12．在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝4，则AC的长是 3或 ．
【分析】分两种情况，①AB＝5为直角边，②AB＝5为斜边，然后根据勾股定理即可得到结论．
解：①当AB＝5为直角边时，
根据勾股定理得，AC＝＝＝；
②当AB＝5为斜边时，AC＝＝＝3，
综上所述，AC的长是3或，
故答案为：3或．
13．如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为 96 m2．
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，那么△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
解：如图，连接AC．
在△ACD中，∵AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，
∴AC＝15m，
又∵AC2+BC2＝152+202＝252＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×15×20﹣×9×12＝96（平方米）．
故答案为：96．
14．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 1或7 秒时，△ABP与△DCE全等．
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP＝2t＝2和AP＝16﹣2t＝2即可求得．
解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP＝2t＝2，
所以t＝1，
因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP＝16﹣2t＝2，
解得t＝7．
所以，当时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：1或7．
15．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是 8 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8．
故答案为：8．
三、解答题：（共75分）
16．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，根据下列各边的长度，判断各三角形是否为直角三角形，并指出哪一个角是直角．
（1）a＝2，b＝，c＝3；
（2）a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1；（n＞1）
【分析】（1）根据a、b、c的值，可以计算出a2+c2和b2的值，然后即可判断该三角形是否为直角三角形；
（2）根据a、b、c的值，可以计算出a2+b2和c2的值，然后即可判断该三角形是否为直角三角形．
解：（1）∵a＝2，b＝，c＝3，
∴a2+c2＝13，b2＝13，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，∠B 是直角；
（2）∵a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1，
∴a2+b2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝n4+2n2+1，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，∠C是直角．
17．已知∠MAN．
（1）用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠MAN的平分线AE；
②在AE上任取一点F，作AF的垂直平分线分别与AM、AN交于P、Q；
（2）在（1）的条件下，线段AP与AQ有什么数量关系，请直接写出结论．
【分析】（1）①利用角平分线的作法得出即可；
②利用垂直平分线的作法得出即可；
（2）利用垂直平分线的性质得出∠PGA＝∠QGA，进而得出△PAG≌△QAG（ASA），则AP＝AQ，即可得出答案．
解：（1）如图所示：
①AE为所求作的角平分线；
②PQ为所求作的垂直平分线；
（2）AP＝AQ．
证明：∵PQ是AF的垂直平分线，
∴∠PGA＝∠QGA＝90°，
∵AE是∠MAN的平分线，
∴∠PAG＝∠QAG，
在△PAG和△QAG中，
，
∴△PAG≌△QAG（ASA），
∴AP＝AQ．
18．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：
①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，
所以，CD＝15（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6米，
答：风筝的高度CE为16.6米；
（2）由题意得，CM＝9，
∴DM＝6，
∴BM＝＝＝10，
∴BC﹣BM＝7，
∴他应该往回收线7米．
19．如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB＝CD，③CE＝BF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果⊗、⊗，那么⊗”）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
【分析】（1）如果①②作为条件，③作为结论，得到的命题为真命题；如果①③作为条件，②作为结论，得到的命题为真命题，写成题中要求的形式即可；
（2）若选择（1）中的如果①②，那么③，由AE与DF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AB＝DC，等式左右两边都加上BC，得到AC＝DB，又∠E＝∠F，利用AAS即可得到三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等得到CE＝BF，得证；若选择如果①③，那么②，由AE与FD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由∠E＝∠F，CE＝BF，利用AAS可得出三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AC＝BD，等式左右两边都减去BC，得到AB＝CD，得证．
解：（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；
（2）若选择如果①②，那么③，
证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝DB，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（AAS），
∴CE＝BF；
若选择如果①③，那么②，
证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（AAS），
∴AC＝DB，
∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝CD．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，求DB的长．
【分析】根据折叠的性质得到AE＝AC＝5，DC＝DE，∠AED＝∠BED＝∠C＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
解：根据题意，得AE＝AC＝5，DC＝DE，∠AED＝∠BED＝∠C＝90°．
设DC＝x，则DE＝x，BD＝12﹣x．
在Rt△BDE中，由勾股定理，得x2+（13﹣5）2＝（12﹣x）2，
解得，
∴CD＝，
∴BD＝12﹣x＝，
故DB的长为．
21．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EBC＝∠F，然后求出∠ABF＝∠F，再利用“角角边”证明△ABE和△AFE全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DF，然后根据AD+BC整理即可得证．
【解答】证明：（1）∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，
∴∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠F，∠ABF＝∠F，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS）；
（2）∵△ABE≌△AFE，
∴BE＝EF，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴BC＝DF，
∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，
即AD+BC＝AB．
∵AD＝2，BC＝6，
∴AB＝8．
22．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示：
（1）大正方形的面积为 （a+b）2 ；小正方形的面积为 c2 ；
（2）四个直角三角形的面积和为 2ab ，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为 a2+b2＝c2 ；
（3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则S1，S2，S3满足的关系是 S1+S2＝S3 ；
（4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为 7.5 ．
【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论；
（3）根据勾股定理和圆的面积公式解答即可．
（4）根据勾股定理和圆的面积公式解答即可．
解：（1）大正方形的面积为（a+b）2；小正方形的面积为c2；
故答案为：（a+b）2，c2；
（2）四个直角三角形的面积和＝4×ab＝2ab，
∵4×ab+c2＝（a+b）2，
∴a2+b2＝c2，
故a，b，c之间的关系式为a2+b2＝c2，
故答案为：2ab，a2+b2＝c2；
（3）S1，S2，S3满足的关系是S1+S2＝S3，
∵S1+S2＝π（）2+π（）2，S3＝π（）2，
∵a2+b2＝c2．
∴S1+S2＝S3．
故答案为：S1+S2＝S3；
（4）图中两个月形图案（阴影部分）的面积和：S1+S2＝π（）2+π（）2+S3﹣π（）2＝S△ABC＝×3×5＝7.5，
故答案为：7.5．
23．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．
（1）观察猜想
如图①，若点E、F分别是AB、AC的中点，则线段DE与DF的数量关系是 DE＝DF ；线段DE与DF的位置关系是 DE⊥DF ．
（2）类比探究
如图②，若点E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题
如图③，若点E、F分别为AB、CA延长线的点，且BE＝AF＝AB＝2，请直接写出△DEF的面积．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得∴，，DF∥AB，DE∥AC，由等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）由“SAS”可证△BDE≌△ADF，可得DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，由余角的性质可得∠EDF＝90°，可得结论；
（3）由“SAS”可证△BDE≌△ADF，可得DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，由余角的性质可得∠EDF＝90°，由勾股定理可求EF的长，即可求解．
解：（1）∵点E、F、D分别是AB、AC、BC的中点，
∴，，DF∥AB，DE∥AC，
∴∠ABC＝∠FDC，∠ACB＝∠EDB，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴DE＝DF，∠BDE＝∠FDC＝∠C＝45°，
∴∠EDF＝90°，
即DE⊥DF，
故答案为：DE＝DF；DE⊥DF；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如图②，连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴，∠BAC＝∠CAD＝45°＝∠B＝∠C，
又∵BE＝AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
即∠EDF＝90°，即DE⊥DF；
（3）如图③，连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴，∠BAC＝∠CAD＝45°＝∠B＝∠C，
∴∠DAF＝∠DBE＝135°，
又∵BE＝AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵BE＝AF＝AB＝2，
∴AB＝6，AE＝8，
∴EF＝＝＝2，
∴DE＝DF＝＝，
∴S△DEF＝×DE＝DF＝17．
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