人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第3课时教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第3课时教案，共9页。
第3课时　正弦定理(2)学 习 目 标核 心 素 养1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题．(重点)2．能根据条件，判断三角形解的个数．3．能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．(难点)1.通过三角形个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理的素养．2．借助求解三角形面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养.1．正弦定理及其变形(1)定理内容：＝＝＝2R(R为外接圆半径)．(2)正弦定理的常见变形：①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；②＝＝＝＝2R；③a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；④sin A＝，sin B＝，sin C＝.思考：在△ABC中，已知acos B＝bcos A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?[提示]　可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－cos Asin B＝0.2．三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　　)A．直角三角形　　　　 B．等腰三角形C．锐角三角形   D．钝角三角形B　[由正弦定理可得sin A＝sin C⇒＝，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)A．一解   B．两解C．无解   D．无法确定A　[由b<a和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．]3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为(　　)A．3　　　B．3　　　C．6　　　D．6B　[由S＝absin C＝×4×3×得S＝3，故选B.]三角形解的个数的判断【例1】　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝2，b＝6，A＝30°. [解]　(1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°，讨论如下：∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10，∴a<bsin A，∴本题无解．(2)a＝2，b＝6，a<b，A＝30°<90°，∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，∴bsin A<a<b，∴三角形有两解．由正弦定理得sin B＝＝＝，又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝＝＝4；当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝＝＝2.∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求. 1．△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是        ．(2,2)　[由asin B<b<a，得x<2<x，∴2<x<2.]三角形的面积【例2】　在△ABC中，若a＝2，C＝，cos ＝，求△ABC的面积S.[思路探究]　根据C＝及cos ＝.利用sin A＝sin(B＋C)求出sin A的值．然后利用正弦定理＝求出c值．利用S＝acsin B求解．[解]　∵cos ＝，∴cos B＝2cos2 －1＝.∴B∈，∴sin B＝.∵C＝，∴sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝.∵＝，∴c＝＝×＝.∴S＝acsin B＝×2××＝.已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝ab·sin C＝ac·sin B＝bc·sin A.2．(1)在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝        . (2)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于        ．(1)2　(2)或　[(1)∵cos C＝，∴C∈(0°，90°)，∴sin C＝＝，又S△ABC＝absin C＝·3·b·＝4，∴b＝2.(2)由正弦定理得sin C＝＝＝，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝或.] 正弦定理的综合应用[探究问题]1．你能用坐标法证明S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B吗？[提示]　(以已知a，b，C为例)以△ABC的顶点C为原点，射线CB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标为(bcos C，bsin C)．过点A作BC边上的高AE，则根据三角函数的定义可得AE＝bsin C，所以△ABC的面积S＝·BC·AE＝·a·bsin C＝absin C.同理可得S＝bcsin A，S＝acsin B.故S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.2．应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？[提示]　(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π⇒sin(A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C；＝－⇒sin ＝cos .(2)若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，A＋C>，B＋C>；A＋B>⇔A>－B⇔sin A>cos B，cos A<sin B.【例3】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝－sin 2C.(1)求C的大小；(2)若c＝2，A＝，求△ABC的面积. [思路探究]　(1)由m·n＝－sin 2C，利用三角恒等变换求出C的大小；(2)由正弦定理可得b的大小利用三角形的面积公式求解．[解]　(1)由题意，m·n＝sin Acos B＋sin Bcos A＝－sin 2C，即sin(A＋B)＝－sin 2C，sin C＝－2sin Ccos C.由0<C<π，得sin C>0.所以cos C＝－.C＝.(2)由C＝，A＝，得B＝π－A－C＝.由正弦定理，＝，即＝，解得b＝2.所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2×sin ＝.(变条件，结论)将例题中的条件“m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝－sin 2C”换为“若a＋c＝2b,2cos 2B－8cos B＋5＝0”求角B的大小并判断△ABC的形状．[解]　∵2cos 2B－8cos B＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0.∴4cos2B－8cos B＋3＝0，即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0.解得cos B＝或cos B＝(舍去)．∵0<B<π，∴B＝.∵a＋c＝2b.由正弦定理，得sin A＋sin C＝2sin B＝2sin ＝.∴sin A＋sin＝，∴sin A＋sin cos A－cos sin A＝.化简得sin A＋cos A＝，∴sin＝1.∵0<A<，∴<A＋<，∴A＋＝.∴A＝，C＝.∴△ABC是等边三角形．借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值．2．结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角形面积公式、三角恒等变换等知识进行综合应用．1．判断正误(1)在△ABC中，A＝30°，a＝2，b＝2，则B＝60°.(　　)(2)在△ABC中，＝＝，但无法确定具体值．(　　)(3)由两边和一角就可求三角形的面积．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝1，b＝，B＝60°，则△ABC的面积为(　　)A.　　　　B.　　　　C．1　　　　D.B　[∵a＝1，b＝，B＝60°，∴由正弦定理可得：sin A＝＝＝，∵a＜b，A＜60°，∴A＝30°，C＝180°－A－B＝90°，∴S△ABC＝ab＝×1×＝.故选B.]3．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝        .1　[由＝得sin C＝＝×＝，又0<C<，所以C＝，B＝π－(A＋C)＝.所以＝＝＝1.]4．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝        ，a＝        . 　2　[由tan A＝2，得sin A＝2cos A，由sin2A＋cos2A＝1，得sin A＝，∵b＝5，B＝，由正弦定理＝，得a＝＝＝2.]5．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值．[解]　由条件得＝＝，∴sin A＝sin C.同理可得sin B＝sin C.∴＝＝－.