河南省2023届高三上学期第一次月考数学（文）

河南省顶级名校2023届高三上学期第一次月考试卷

数学（文科）

时量：120分钟  满分：150分

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）

1．已知复数z满足1＋zi＝z－i，则z＝

    A．i            B．－i             C．1               D．－1

2．已知集合M＝{m｜关于x的方程x2－mx＋2m＝0无实数根}，N＝{n｜方程 ＝1表示椭圆}，则M∩N＝

A．（2，8）

B．{点（m，n）｜}

C．（2，6）∪（6，10）

D．（2，6）∪（6，8）

3．已知边长为2的等边△ABC，O为其中心，对①｜＋＋｜＝6；②· ＝2；③｜＋＋｜＝0；④·＝2这四个等式，正确的个数是

    A．1            B．2               C．3              D．4

4．如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法不正确的是

    A．这16日空气重度污染的频率为0．5

    B．该市出现过连续4天空气重度污染

    C．这16日的空气质量指数的中位数为203

    D．这16日的空气质量指数的平均值大于200

5．执行如图所示的程序框图，如果输出S＝3，那么判断框内应填入的条件是

    A．k≤6         B．k≤7           C．k≤8            D．k≤9

6．若变量x，y满足｜x｜－＝0，则y关于x的函数图象大致是

7．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，若向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与

△ADP的面积都不小于2的概率为

    A．          B．              C．             D．

8．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是线段A1D1靠近点D1的三等分点，点F，G分别为C1D1，B1C1的中点．下列说法中正确的是

A．A，C，E，F四点共面

    B．AD1与B1D所成夹角为60°

    C．BG∥平面ACD1

    D．三棱锥D—ACD1与三棱锥B—ACD1体积相等

9．有一个圆台型的密闭盒子（表面不计厚薄），其母线与下底面成60°角，且母线长恰好等于上下底半径之和，在圆台内放置一个球，当球体积最大时，设球的表面积为S1，圆台的侧面积为S2，则

    A．S1＞S2

    B．S1＜S2

    C．S1＝S2

    D．无法确定S1与S2的大小

10．奇函数，（＞0，∈（0，））在区间[－，]上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是

    A．[2，6）                         B．[2，）

    C．[，）                       D．[，6）

11．已知A，B是抛物线C：y2＝4x上两动点，F为抛物线C的焦点，则下列说法错误的是

A．直线AB过焦点F时，｜AB｜最小值为4

    B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时（点A在第一象限），｜AF｜＝2｜BF｜

    C．若AB中点M的横坐标为3，则｜AB｜最大值为8

D．点A坐标（4，4），且直线AF，AB斜率之和为0，AF与抛物线的另一交点为D，

则直线BD方程为：4x＋8y＋7＝0

12．将n2个数排成n行n列的一个数阵．如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）．已知a11＝2，a13＝a61＋1，记这n2个数的和为S．下列结论正确的是

    A．m＝4

    B．

    C．aij＝（3i－1）×3j

    D．S＝n（3n＋1）（3n－1）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知实数x，y满足，则z＝2x＋y的最小值是__________．

14．若直线y＝x＋a和直线y＝x＋b将圆（x－1）2＋（y－1）2＝1的周长四等分，则｜a－b｜＝__________．

15．在△ABC中，tan B＝4tan A，则当B－A取最大值时，sin C＝__________．

16．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若｜MQ｜＝3｜QN｜，则双曲线的离心率是 __________．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） 

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

已知数列{}中＝．M（1，1），An（2，an），Bn（3，2an＋1－3）为直角坐标平面

上的点．对任意n∈，M，An，Bn三点共线．

（1）求数列{}的通项公式；

（2）求证：＋＋＋…＋＜．

18．（本小题满分12分）

如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，

过AB的截面与侧面DD1C1C交于PQ，且点P在棱DD1上，点Q在棱CC1上，且AB

＝1，AC＝，BC＝2．

（1）求证：PQ∥D1C1；

（2）若P为DD1的中点，AP与平面DD1C1C所成的角为

，求侧棱DD1的长．

19．（本小题满分12分）

某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率＝利润÷保费收入）的频率分布直方

图如图所示：

（1）试估计平均收益率；

（2）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加x元，对应的销量y（万份）与x（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组x与y的对应数据：

据此计算出的同归方程为＝10．0－bx．

（i）求参数b的估计值；

（ii）若把回归方程＝10．0－bx当作y与x的线性关系，用（1）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益．

20．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝ax3＋x2－x－3（a为实数）．

（1）当f（x）与y＝－3切于A（x0，f（x0）），求a，x0的值；

（2）设F（x）＝·ex，如果F（x）＞－1在（0，＋∞）上恒成立，求a的范围．

21．（本小题满分12分）

设F1，F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，M是C上一点，MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设D（0，1）是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圈C于A，B两点，证明直线AB过定点，并求出定点坐标．

（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数，－＜t＜）．以

坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为（m∈R）．

（1）写出l的直角坐标方程；

   （2）若l与C有两个公共点，求实数m的取值范围．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知正数a，b，c满足＝1，证明：

   （1）abc≥27；

   （2）≥．