河南省2023届高三上学期第一次月考数学（理）

河南省顶级名校2023届高三上学期第一次月考试卷

数学（理科）

时量：120分钟  满分：150分

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）

1．已知集合P＝{x｜log2x＞1}，Q＝{x｜≤0}，则（CRP）∩Q＝

    A．[－2，2]                        B．（－2，2]

    C．[0，2]                          D．（0，2]

2．已知复数z1，z2满足z2≠0，｜z1·｜＝2｜z2｜，则｜z1｜＝

    A．         B．2               C．          D．4

3．若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为

    A．30°         B．60°            C．120°          D．150°

4．执行如图所示的程序框图，如果输出S＝3，那么判断框内应填入的条件是

    A．k≤6？       B．k≤7？          C．k≤8？         D．k≤9？

5．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减（称为衰减率），P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝（其中a为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75％，则可推断该文物属于

    参考数据：log20．75≈－0．4

参考时间轴：

    A．宋           B．唐             C．汉              D．战国

6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有

    A．240种       B．188种          C．156种           D．120种

7．函数（＞0且0＜＜）在一个周期内的图象如图所示，将函数y＝f（x）图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则g（）＝

    A．          B．1              C．－1             D．－

8．已知函数f（x）＝xln（1＋x），则

    A．f（x）在（－1，＋∞）单调递增

    B．f（x）有两个零点

    C．曲线y＝f（x）在点（－，f（－））处切线的斜率为－1－ln 2

    D．f（x）是偶函数

9．已知A，B是抛物线C：y2＝4x上两动点，F为抛物线C的焦点，则下列说法错误的是

A．直线AB过焦点F时，｜AB｜最小值为4

    B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时（点A在第一象限），｜AF｜＝2｜BF｜

    C．若AB中点M的横坐标为3，则｜AB｜最大值为8

D．点A坐标（4，4），且直线AF，AB斜率之和为0，AF与抛物线的另一交点为D，

则直线BD方程为：4x＋8y＋7＝0

10．在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝2，△ABC与△PAB的外接圆圆心分别为O1，O2，若三棱锥P—ABC的外接球的表面积为，设O1A＝a，O2A＝b，则a＋b的最大值是

    A．          B．          C．           D．

11．蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是，这样的设计含有深刻的数学原理．我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF—的三个顶点A，C，E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的三棱锥M—ABF，O—BCD，N—DEF，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于点P，就形成了蜂巢的结构．如图，设平面PBOD与正六边形底面所成的二面角的大小为，则

A．            B． 

    C．            D．

12．已知函数f（x）＝则下列说法正确的是

    ①当x∈（3，－2]时，f（x）＝（x＋3）ln（x＋3）；

    ②若不等式f（x）－mx－m＜0至少有3个正整数解，则m＞ln3；

    ③过点A（－e－2，0）作函数y＝f（x）（x＞0）图象的切线有且只有一条；

    ④设实数a＞0，若对任意的x≥e，不等式f（x）≥恒成立，则a的最大值是e．

    A．①③④       B．②③④         C．①③            D．①④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（x－2y＋z）8的展开式中x 3y3z2的系数是__________（用数字作答）．

14．过点P（2，2）作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为__________．

15．已知函数f（x）＝x2＋aln（2x＋1）有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，则实数a的取值范围是__________．

16．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．若“黄金椭圆”C：（a＞b＞0）两个焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0）（c＞0），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是△PF1F2的内心，连接PM并延长交F1F2于点N，则＝__________．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） 

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

已知数列{}满足＝，＝

   （1）记＝，写出，，并求出数列{}的通项公式；

   （2）求数列{}的前项和．

18．（本小题满分12分）

如图，圆台下底面圆O的直径为AB，C是圆O上异

于A，B的点，且∠BAC＝30°，MN为上底面圆

的一条直径，△MAC是边长为的等边三角形，

MB＝4．

   （1）证明：BC⊥平面MAC；

   （2）求平面MAC和平面NAB夹角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：

其中＞0，0＜p＜1．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件

Ai表示一个家庭有i个孩子（i＝0，1，2，3），事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（例

如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）．

   （1）若p＝，求和P（B）；

   （2）为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等）．

    ①若希望P（X＝2）增大，如何调控p的值?

②是否存在p的值使得E（X）＝，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

设A，B为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右顶点，直线l过右焦点F且

与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角

形．

   （1）求双曲线C的离心率；

   （2）已知AB＝4，若直线AM，AN分别交直线x＝于P，Q两点，当直线l的倾斜角变化时，以PQ为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知e是自然对数的底数，函数f（x）＝，直线y＝为曲线y＝f（x）的切线，g（x）＝（x＋1）ln x．

   （1）求a的值；

   （2）①判断F（x）＝f（x）－g（x）的零点个数；

    ②定义min{m，n}＝函数m（x）＝min{f（x），g（x）}．h（x）＝m（x）－tx2在（0，＋∞）上单调递增．求实数t的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数，－＜t＜）．以

坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为（m∈R）．

（1）写出l的直角坐标方程；

   （2）若l与C有两个公共点，求实数m的取值范围．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知正数a，b，c满足＝1，证明：

   （1）abc≥27；

   （2）≥．