2023届河南省顶级名校高三上学期第一次月考试题数学（文）试题含答案

2023届河南省顶级名校高三上学期第一次月考试题数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数满足，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】由题设，利用复数的除法求.

【详解】由题设，，则.

故选：A

2．已知集合关于的方程无实数根方程表示椭圆，则（    ）

A． B．点

C． D．

【答案】D

【分析】利用求集合A，根据曲线表示椭圆求集合B，再应用集合的交运算求.

【详解】由无实根，则，即，

由表示椭圆，则，可得或，

所以，或.

故.

故选：D

3．已知边长为2的等边为其中心，对①；②；③；④这四个等式，正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】对于①：根据向量线性运算整理可得，理解判断；对于②、④：根据向量数量积的定义，代入运算判断，注意对向量夹角的理解；对于③：根据为三角形的重心，理解判断．

【详解】对于①：，则，∴①错误；

对于②：，∴②正确；

对于③：根据题意可知为等边的重心，∴

则，∴③正确；

对于④：，∴④正确；

故选：C．

4．如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法不正确的是（    ）

A．这16日空气重度污染的频率为0.5

B．该市出现过连续4天空气重度污染

C．这16日的空气质量指数的中位数为203

D．这16日的空气质量指数的平均值大于200

【答案】D

【分析】通过计算可以判断选项ABC正确，选项D不正确.

【详解】解：这16日空气重度污染的频率为，故A中说法正确；

12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B中说法正确：

中位数为，故C中说法正确；

.故D中说法不正确．

故选：D

5．执行如图所示的程序框图,如果输出,那么判断框内应填入的条件是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据框图,进行循环计算,当时,即可退出,进而求得判断框内应填入的条件.

【详解】当

当

当

当

当

当

故可知判断框内应填入的条件是:

故选:B.

【点睛】本题考查了根据输出结果求判断框应填入的条件,解题关键是掌握根据框图计算的方法和对数运算法则,考查了计算能力和分析能力,属于基础题.

6．若变量x，y满足|x|﹣ln0，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由条件可得，显然定义域为，且过点，当时，是减函数，即可选出答案

【详解】若变量满足，则，显然定义域为，且过点，故排除

再根据当时，是减函数，排除

故选

【点睛】本题主要考查的是指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合运用，以及函数的定义域，值域，单调性，函数恒过定点问题，属于基础题．

7．已知矩形中，.如果向该矩形内随机投一点，那么使得与的面积都不小于的概率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，

由题意知本题是一个几何概型的概率，

以AB为底边，要使面积不小于2，

由于，

则三角形的高要h⩾1,同样,P点到AD的距离要不小于，满足条件的P的区域如图，

其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是，

∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为：.

故选D.

8．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是线段A1D1靠近点D1的三等分点，点F，G分别为C1D1，B1C1的中点.下列说法中正确的是（    ）

A．A，C，E，F四点共面

B．AD1与B1D所成夹角为60°

C．BG平面ACD1

D．三棱锥D—ACD1与三棱锥B—ACD1体积相等

【答案】D

【分析】根据两平行线确定一个平面，以及两平面相交时交线唯一即可判断A，根据向量垂直可得直线垂直，进而判断B，根据线面平行得矛盾可判断C,根据等体积法即可判断D.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系；设正方体的棱长为3，则

,

,

取的中点为,则又，因此,故四点共面，又平面,假如直线平面，则这与平面与平面的交线是矛盾，故四点不共面，错误；

故,所以，进而AD1与垂直，故B错误；

因为平面,平面,所以平面，若平面，则平面平面，显然矛盾，故C错误；

由于,故底面和高均相等，因此体积相等，正确.

故选：D

9．有一个圆台型的密闭盒子（表面不计厚薄），其母线与下底面成60°角，且母线长恰好等于上下底半径之和，在圆台内放置一个球，当球体积最大时，设球的表面积为，圆台的侧面积为，则（    ）

A． B． C． D．无法确定与的大小

【答案】B

【分析】根据母线与下底面成角，且母线长恰好等于上下底半径之和，得到，通过计算得到圆台正好有一个与其上下底面及侧面都相切的内切球，此球体积最大且半径是，计算出与，比较出大小.

【详解】如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，设圆台上下底的半径分别为，由其母线与下底面成角，且母线长恰好等于上下底半径之和，

则，且，解得：，

故，

取AC中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接OB，OD，

则由勾股定理得：，，

又，由勾股定理逆定理可得：OB⊥OD，

所以，

故满足条件的圆台正好有一个与其上下底面及侧面都相切的内切球，

此球体积最大且半径是，表面积，

圆台上下底的半径分别为，母线长为，

侧面积，

则.

故选：B

10．奇函数在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性求出，从而，根据得到，列出不等式组，求出的取值范围.

【详解】因为为奇函数，

所以，即，当时，则，

所以，

解得：.

故选：B

11．已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则下列说法错误的是（    ）

A．直线过焦点时，最小值为4

B．直线过焦点且倾斜角为60°时（点在第一象限），

C．若中点M的横坐标为3，则最大值为8

D．点坐标，且直线斜率之和为，与抛物线的另一交点为，则直线方程为：

【答案】B

【分析】对于A，易知当垂直于轴时，取最小值4，故A正确；

对于B，联立方程求得与，从而得到，故B错误；

对于C，由可推得当直线过焦点时，最大值为8，故C正确；

对于D，利用条件分别求出的坐标，从而求得直线的方程，故D正确．

【详解】解：直线过焦点，则由焦半径公式得，当垂直于轴时，取最小值，此时，故正确；

对于选项，由题可知，直线为，代入，整理得，解得或，所以，，即，故B错误；

对于C，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；

对于选项，依题意知，，所以，解得，即，

因为直线斜率之和为，所以，解得，即，所以，

所以，直线方程为，即，故D选项正确.

故选：B

12．将个数排成行列的一个数阵.如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，记这个数的和为.下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【分析】由题知，解方程得，再根据等差数列与等比数列通项公式得，，进而根据分组求和和错位相减法求解依次讨论B,D选项即可得答案.

【详解】解：，

，解得或（舍负），故选项错误；

，即选项错误；

∴，

令，则①

②

①-②得，

，

，

当时，，即选项B错误；

，即选项正确.

故选：D.

二、填空题

13．已知实数满足则的最小值是_______.

【答案】3

【详解】分析：先作可行域，再平移目标函数所代表的直线，结合图形确定最小值取法.

详解：作可行域，所以直线过点A（1，1）时取最小值3.

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

14．若直线和直线将圆的周长四等分，则__________．

【答案】2

【分析】由条件可得直线和直线间的距离为，由此可求的值.

【详解】设直线和圆相交与点，直线与圆相交于点，圆心为，

因为直线和直线将圆的周长四等分，

所以圆心位于两直线之间，且,

所以为等腰直角三角形，所以圆心为到直线的距离为，

同理可得圆心为到直线的距离为，

故直线和直线间的距离为，

所以，所以，

故答案为：2.

15．在中，，则当取最大值时，___________.

【答案】1

【分析】利用基本不等式和三角函数两角和与差的公式，直接计算即可求解.

【详解】在中，知，且，

当且仅当时取等号，

在单调递增，则此时取最大值，且，

，，得，

，，

.

故答案为：1

16．过双曲线 的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左､右两支分别交于点，若，则双曲线的离心率是___________.

【答案】

【分析】设双曲线的左焦点为，连接设，分别求得，同理，结合，求得，进而求得离心率.

【详解】如图所示，根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离为，

设双曲线的左焦点为，连接，则，

在中，设，则，

在中，由余弦定理得，

将代入整理后得，

同理，

因为，

所以，故离心率为.

故答案为：

三、解答题

17．已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.

(1)求数列的通项公式；

(2)求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据向量共线的坐标表示：，整理得，即可判断数列是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；（2）根据裂项相消求和，，代入运算理解．

【详解】(1)由题意得：，

三点共线，则，可得，即.

数列是首项为1公差为1的等差数列，所以.

(2)，

所以

18．如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与侧面交于，且点在棱上，点在棱上，且

(1)求证：；

(2)若为的中点，与平面所成的角为，求侧棱的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据平面，结合线面平行的性质定理得，再结合平行公理即可证明；

（2）首先证明平面，进而得为与平面所成的角，即，设，再根据几何关系求解即可.

【详解】(1)证明：因为棱柱中，底面是平行四边形，所以，

因为平面平面，

所以平面，平面，平面平面，

所以，由线面平行的性质定理有，

又因为棱柱中，，

所以.

(2)解：在底面中，.

.

又∵侧棱底面，∴底面，

∵面.

又，平面

∴平面，

连接，则为与平面所成的角，即，

设，∵，∴，

在中，，解得，

∵为的中点，

∴.

19．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率＝利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：

（1）试估计平均收益率；

（2）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下与的对应数据：

据此计算出的回归方程为．

①求参数的估计值；

②若把回归方程当作与的函数关系，用（1）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益．

【答案】（1）0.275（2）①0.1； ②99万元.

【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解；

（2）①先求得样本点，代入求解； ②设每份保单的保费定为20+x元，则销量为（万元），得到收入为求解.

【详解】（1）平均收益率；

（2）①因为， ，

所以，

解得；

②由①得回归方程，设每份保单的保费定为20+x元，则销量为（万元），

则收入为，

，

，

所以时，收益最大，最大收益为万元，

所以每份保单的保费定60元时此产品可获得最大收益，最大收益99万元.

20．已知函数(a为实数).

（1）当f(x)与y=﹣3切于A(x0，f(x0))，求a，x0的值；

（2）设，如果F(x)>﹣1在(0，+∞)上恒成立，求a的范围.

【答案】（1），x0=4；（2）a≥0.

【分析】（1）利用函数的导数，函数与y=﹣3切于A(x0，f(x0))，列出方程组，求解即可.

（2）求出F(x)= 的导函数F'(x)，利用F(0)=﹣1.通过①当a=0时，②当时，③当时，④当时，⑤当a>0时，判断函数的单调性，转化求解a的范围即可.

【详解】解：（1）=ax2+x﹣1，由f(x)与y=﹣3切于点A(x0，f(x0))，

则，解得，x0=4.

（2）F(x)=，

∴=ex(ax2+(2a+1)x)，且F(0)=﹣1.

①当a=0时，=xex，可知F(x)在(0，+∞)递增，此时F(x)>﹣1成立；

②当时，，可知F(x)在递增，

在递减，此时，不符合条件；

③当时，恒成立，可知F(x)在(0，+∞)递减，

此时F(x)<﹣1成立，不符合条件；

④当时，，可知F(x)在(0，+∞)递减，

此时F(x)<﹣1成立，不符合条件；

⑤当a>0时，，可知F(x)在(0，+∞)递增，此时F(x)>﹣1成立.

综上所述，a≥0.

【点睛】关键点点睛：本题考查了导数的几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题，解题的关键是求出=ex(ax2+(2a+1)x)，讨论的取值范围，确定函数的单调性，考查了分类讨论的思想、数学运算.

21．设分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.

【答案】(1)

(2)证明见解析，定点

【分析】（1）结合题意得，进而根据直线的斜率为得，即，再解方程即可得答案；

（2）结合（1）得圆的方程为，进而设直线的方程为，再与椭圆方程联立结合韦达定理和整理化简得或，再检验不满足题意，进而得直线经过轴上定点.

【详解】(1)由题意知，点在第一象限，是上一点且与轴垂直，

的横坐标为.当时，，即.

又直线的斜率为，所以，

即，即

则，解得或（舍去），

即.

(2)解：已知是椭圆的上顶点，则，

由（1）知，解得，

所以，椭圆的方程为，

设直线的方程为，

联立可得，

所以，

又，

，

化简整理有，得或.

当时，直线经过点，不满足题意；.

当时满足方程中，

故直线经过轴上定点.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数，）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为（）.

(1)写出l的直角坐标方程；

(2)若l与C有两个公共点，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化即可求解，

（2）消参得曲线的普通方程，联立直线与曲线的方程，通过一元二次方程根的分布即可求解.

【详解】(1)由得，

，

所以的直角坐标方程为，即.

(2)由曲线的参数方程（为参数，），消去得，

.

联立得

由双曲线的右支与直线有两个交点，则保证方程有两个正根即可，

由题意可知

解之得，.

故实数的取值范围为.

23．已知正数满足，证明：

(1)；

(2)≥.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据3个数的不等式关系即可求解，

（2）根据基本不等式即可求解.

【详解】(1)因为均为正数，所以，

则，所以.

当且仅当时，取得等号.

(2)由基本不等式可知，，

所以.

，

当且仅当时，取得等号.

故.