2022届河南省普通高中考前模拟（一）数学文卷含解析

2022届河南省普通高中考前模拟

文 科 数 学（一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则下图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

2．复数是实数，则实数a的值为（    ）

A．1或 B．1 C． D．0或

3．设是定义域为R，最小正周期为的函数，若，

则的值等于（    ）

A． B． C．0 D．

4．已知，方程有两个不相等的实数根，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

5．设是数列的前n项和，若，则（    ）

A．4043 B．4042 C．4041 D．2021

6．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入的，，，则输出的值为（    ）

A． B． C． D．

7．下列说法错误的是（    ）

A．由函数的性质猜想函数的性质是类比推理

B．由，，…猜想是归纳推理

C．由锐角满足及，推出是合情推理

D．“因为恒成立，所以函数是偶函数”是省略大前提的三段论

8．如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合．该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

9．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：

由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为（    ）

A． B． C． D．

10．已知圆关于直线对称，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．9 D．

11．已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数有3个零点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若，则______．

14．中国古代数学名著（九章算术中记载：“圆周与其直径之比被定为3．圆中弓形面积为量（c为弦长；a为半径长与圆心到弦的距离之差）．”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长，，质点M随机投入此圆中，则质点M落在该弓形内的概率为___________．

15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的半径_________．

16．在中，，，，平分交于点，

则的长度为__________．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列满足，且．

（1）求的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，证明：．

18．（12分）某企业从领导干部、员工中按比例随机抽取50人组成一个评审团，对A､B两个员工作为后备干部的竞聘演讲及个人技术能力展示进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分为5组：，，，，，得到A员工的频率分布直方图和B员工的频数分布表：

（1）在评审团的50人中，求对A员工的评分不低于80分的人数；

（2）从对B员工的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率；

（3）该企业决定：若评审团给员工评分的中位数大于82分，则推荐这名员工作为后备干部人选，请问评审团将推荐哪一位员工作为后备干部人选？

19．（12分）已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

20．（12分）设函数．

（1）若，过点作曲线的切线，求切点的坐标；

（2）若在区间上单调递增，求整数的最大值．

21．（12分）已知椭圆方程为，若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．

（1）求该抛物线的方程；

（2）过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的直角坐标方程为，曲线与曲线相交于A、B两点．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）写出曲线和曲线的极坐标方程；

（2）已知点M的极坐标为，求的面积．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

设函数实数．

（1）若时，求不等式的解集；

（2）求证：．

2022届高考考前冲刺卷

文 科 数 学（一）答 案

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】由图可知，图中阴影部分表示，

由，得，所以，

所以或，

因为，所以，故选B．

2．【答案】C

【解析】因复数是实数，则，解得，

所以实数a的值为，故选C．

3．【答案】B

【解析】因为是定义域为R，最小正周期为的函数，

，

所以，故选B．

4．【答案】A

【解析】方程有两个不相等的实数根，

当且仅当，解得或，

显然，，，所以p是q的充分不必要条件，故选A．

5．【答案】A

【解析】，故选A．

6．【答案】D

【解析】当时，，

，，

，，

，，

，，

，，

，，

，，

，循环结束，，故选D．

7．【答案】C

【解析】A中，两个函数形式相似，因此可以根据前者的性质猜测后者的性质，是类比推理，A正确；

B中，由特殊到一般的猜想推理，是归纳推理，B正确；

C中是三段论的演绎推理，不属于合情推理，C错；

D中，省略了大前提：函数满足恒成立，则是偶函数，D正确，

故选C．

8．【答案】D

【解析】双曲线的渐近线方程为，

设双曲线下焦点为，

则有，依题意，离心率，解得，

所以该双曲线的标准方程为，故选D．

9．【答案】B

【解析】由表格数据知：，，

代入，得，，即，

，时，，故选B．

10．【答案】D

【解析】圆的圆心为，

由于圆关于直线对称，

所以直线过圆的圆心，

即，

，

当且仅当，时等号成立，故选D．

11．【答案】A

【解析】是单位向量，设，，

由，得，即，

则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，

又非零向量与的夹角为，

则的终点在不含端点O的两条射线（）上，

如图所示：

不妨以为例，则的最小值是到直线的距离减1，

由点到直线距离公式可得，故选A．

12．【答案】C

【解析】由函数有三个零点，

可转化为与直线有三个不同的交点，

令，则将问题转化为与直线有三个不同的交点，

显然时不满足条件．

当，时，，，

设切点坐标为，由，得，所以切线斜率为，

因此，切线方程为，

由切线过原点，得，此时切线的斜率为．

故当时，，与直线有两个交点；

当时，与直线有一个交点，

所以，故选C．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】

．

14．【答案】

【解析】由题意可知：弓形的面积，

设圆的半径为r，则，解得，

所以圆的面积，

所以质点落在弓形内的概率为，

故答案为．

15．【答案】

【解析】该几何体是三棱锥，如图，

则，且两两垂直，

设内切球的半径为r，则，，

∴，即，

故答案为．

16．【答案】4

【解析】由正弦定理可知：

，

因为平分交于点，所以，

由正弦定理可知，

，

因为，所以，

所以有，即，

由余弦定理可知：，

解得或，

当时，，

当时，因为，所以，因此，

由，，所以不成立，

故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由，得，所以，

所以数列是常数列，所以，所以．

（2）由（1）知，

所以

，

因为，所以．

18．【答案】（1）27人；（2）；（3）B员工．

【解析】（1）由A员工评分的频率分布直方图得：，

所以对A员工的评分不低于80分的人数为（人）．

（2）对B员工的评分在内有5人，将评分在内的2人记为C，D，评分在内的3人记为E，F，G，

从5人中任选2人的情况有CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG共10种，它们等可能，

2人评分均在范围内的有：EF，EG，FG共3种，

所以2人评分均在范围内的概率．

（3）由A员工评分的频率分布直方图得：，，

则A员工评分的中位数，有，解得，

由B员工的频数分布表得，，

则B员工评分的中位数，有，解得，

所以评审团将推荐B员工作为后备干部人选．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）取三等分点，

所以，，即，

又因为，，，

所以且，所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面，平面，

即平面．

（2）因为为三等分点，所以，

，平面，平面平面，且平面平面，

过点作的垂线交延长线于，如下图所示：

由线面垂直的性质有平面，

所以点到平面的距离为，记，

因为，，，，

所以，，，

，

即三棱锥的体积为．

20．【答案】（1）切点坐标为和；（2）8．

【解析】（1）时，，，

设切点为，则点处切线方程为：，

将代入得，

即，解得或，

时，；时，，

∴所求切点坐标为和．

（2），记，

∵在上单调递增，∴时，恒成立，

，

i．，即时，

时，，，∴，∴在上单调递增，

∴，故，时满足条件．

ii．，即时．

在上，，，所以，单调递减；

在上，，，所以，单调递增，

∴，

记，在上，，单调递减，

∵，，

因为，时满足条件．

由i和ii知，满足条件的整数的最大值为8．

21．【答案】（1）；（2）存在；最小值为64，此时直线l的方程为．

【解析】（1）由椭圆，知，

又抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，

所以，则，

所以抛物线的方程为．

（2）由抛物线方程知，焦点．

易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为．

由消去y并整理，得，

．

设，，则，，

对求导，得，

∴直线AP的斜率，

则直线AP的方程为，即，

同理得直线BP的方程为．

设点，联立直线AP与BP的方程，即，

，

点P到直线AB的距离，

所以的面积，

当且仅当时等号成立，

所以面积的最小值为64，此时直线l的方程为．

22．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）曲线的普通方程为，

即，

曲线的极坐标方程为；

曲线的极坐标方程为．

（2）联立，得，

令A、B两点的极径为，，，

，

∵M的极坐标为，∴M到直线AB的距离，

．

23．【答案】（1）或；（2）证明见解析．

【解析】（1）解：当时，不等式，即为，

当时，可得，解得；

当时，可得，不等式不成立；

当时，可得，解得，

综上，原不等式的解集为或．

（2）解：由函数，

当时，可得；

当时，可得；

当时，可得，

所以函数的最小值为，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以．