2022-2023学年上海市八校联考高三（上）开学数学试卷(含答案)

这是一份2022-2023学年上海市八校联考高三（上）开学数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上海市八校联考高三（上）开学数学试卷
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝　 　．
2．（4分）在复平面内，复数z对应的点为（1，﹣1），则z（1+i）＝　 　．
3．（4分）在的展开式中，x2的系数为 　 　．
4．（4分）已知双曲线C：﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线为x+my＝0，则C的焦距为　 　．
5．（4分）已知{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a2是a1、S2的等差中项，S4＝15，则a1＝　 　．
6．（4分）已知直线l：ax+by＝1是圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0的一条对称轴，则ab的最大值为 　 　．
7．（5分）在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D．若，则cos∠DCB的值为 　 　．
8．（5分）已知、是单位向量，且，设向量，当λ+μ＝2时，的最小值为 　 　．
9．（5分）若函数f（x）＝|2x﹣a|﹣1的值域为[﹣1，+∞），则实数a的取值范围为 　 　．
10．（5分）已知cos（α+β）＝cosα+cosβ，则cosα的最大值为 　 　．
11．（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为 　 　．
12．（5分）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y＝cosx上存在点（x0，y0）使f（f（y0））＝y0成立，则a的取值范围是 　 　．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．（5分）下列说法中正确的是（　　）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．垂直于同一直线的两个平面平行
C．平行于同一平面的两条直线平行
D．垂直于同一平面的两个平面平行
14．（5分）假设A、B是两个事件，且P（A）＞0，P（B）＞0，则下列结论一定成立的是（　　）
A．P（AB）≤P（B|A） B．P（AB）＝P（A）P（B）
C．P（B|A）＝P（A|B） D．P（B）＝P（B|A）
15．（5分）已知二次函数f（x）的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g（x）的图象，则不等式g（x）＞log2x的解集是（　　）

A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（0，1）
16．（5分）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的个数有（　　）
①f（x）的图象关于直线x＝π对称；
②f（x）在上是增函数；
③f（x）的最大值为；
④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（15分）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
新能源汽车销量占比
1.5%
2%
3%
5%
8%
9%
20%
（1）从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；
（2）从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．

18．（15分）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
19．（15分）在如图所示的多面体中，AB∥CD，四边形ACFE为矩形，AB＝AE＝1，AD＝CD＝2．
（1）求证：平面ABE∥平面CDF；
（2）设半面BEF∩平面CDF＝l，AB⊥AD，AE⊥平面ABCD，求二面角B﹣l﹣C的正弦值．

20．（15分）已知函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；
（2）若函数f（x）在x＝0处取得极大值，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）存在最小值，直接写出a的取值范围．
21．（16分）对于数列{an}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{an}为P数列．
（1）若{an}的前n项和Sn＝3n+2，试判断{an}是否是P数列，并说明理由；
（2）设数列a1，a2，a3，…，a10是首项为﹣1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；
（3）设无穷数列{an}是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列{bn}，{cn}是从{an}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T1，T2，求{an}是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题“若a＞0且T1＝T2，则{an}不是P数列”．

2022-2023学年上海市八校联考高三（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝　{x|x≥﹣1}　．
【分析】直接利用交集运算的定义求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，
∴A∪B＝{x|x≥﹣1}，
故答案为：{x|x≥﹣1}．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2．（4分）在复平面内，复数z对应的点为（1，﹣1），则z（1+i）＝　2　．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：∵在复平面内，复数z对应的点为（1，﹣1），
∴z（1+i）＝（1﹣i）（1+i）＝1﹣i2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
3．（4分）在的展开式中，x2的系数为 　1　．
【分析】求出展开式的通项公式，令x的指数为2，求出r的值，即可得解．
【解答】解：的展开式的通项公式为，
令，解得r＝0，即x2的系数为．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查二项式定理，考查展开式通项公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（4分）已知双曲线C：﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线为x+my＝0，则C的焦距为　4　．
【分析】根据题意，由双曲线的性质可得＝，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算c的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线为x+my＝0，
则有＝，解可得m＝3，
则双曲线的方程为﹣y2＝1，则c＝＝2，
其焦距2c＝4；
故答案为：4．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题．
5．（4分）已知{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a2是a1、S2的等差中项，S4＝15，则a1＝　1　．
【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式列方程组即可求解．
【解答】解：设，由题意得，
当公比q≠1时，有，解得q＝2，a1＝1；
当公比q＝1时，{an}是常数列，不满足a2是a1、S2的等差中项；
综上：a1＝1，q＝2．
故答案为：1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的综合计算，属于基础题．
6．（4分）已知直线l：ax+by＝1是圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0的一条对称轴，则ab的最大值为 　　．
【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标，代入直线方程可得a+b＝1，再由基本不等式求ab的最大值．
【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0，得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，则圆心坐标为（1，1），
∵直线l：ax+by＝1是圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0的一条对称轴，∴a+b＝1，
则，当且仅当时取等号，
∴ab的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
7．（5分）在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D．若，则cos∠DCB的值为 　　．
【分析】在△ABC中，结合正弦定理和正弦的二倍角公式，可得cos∠ACB＝，再由余弦的二倍角公式，得解．
【解答】解：在△ABC中，
由正弦定理得，，
因为，所以，
因为CD平分∠ACB，所以，
解得（舍负），故cos∠DCB的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查解三角形在平面几何中的应用，考查正弦定理与三角恒等变换，考查逻辑推理能力和运算能力，属中档题．
8．（5分）已知、是单位向量，且，设向量，当λ+μ＝2时，的最小值为 　　．
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．
【解答】解：已知、是单位向量，
则，
当λ+μ＝2时，，
又，
则＝，
当时，的最小值为，
即的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
9．（5分）若函数f（x）＝|2x﹣a|﹣1的值域为[﹣1，+∞），则实数a的取值范围为 　（0，+∞）　．
【分析】令g（x）＝|2x﹣a|，由题意可得g（x）的值域为[0，+∞），结合y＝2x的值域为（0，+∞），即可求出a的取值范围．
【解答】解：令g（x）＝|2x﹣a|，
∵函数f（x）＝|2x﹣a|﹣1的值域为[﹣1，+∞），
∴g（x）＝|2x﹣a|的值域为[0，+∞），
又y＝2x的值域为（0，+∞），∴a＞0．
故实数a的取值范围为（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）．
【点评】本题考查函数的单调性与值域，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于基础题．
10．（5分）已知cos（α+β）＝cosα+cosβ，则cosα的最大值为 　﹣1　．
【分析】依题意变形可得cosβ（cosα﹣1）﹣sinαsinβ﹣cosα＝0，即圆x2+y2＝1与直线（cosα﹣1）x﹣sinαy﹣cosα＝0有交点，再运用点到直线距离公式，可得关于cosα的一元二次不等式，解之即可．
【解答】解：因为cos（α+β）＝cosα+cosβ，所以cosβ（cosα﹣1）﹣sinαsinβ﹣cosα＝0，
设x＝cosβ，y＝sinβ，则上式等价于圆x2+y2＝1与直线（cosα﹣1）x﹣sinα•y﹣cosα＝0有交点，
所以圆心（0，0）到该直线的距离d＝≤1，
化简整理得，cos2α+2cosα﹣2≤0，
解得cosα∈[﹣﹣1，﹣1]，
又cosα∈[﹣1，1]，
所以cosα∈[﹣1，﹣1]，即cosα的最大值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查三角函数的综合问题，熟练掌握两角和的余弦公式，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11．（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为 　　．
【分析】解：设瓷碗所在球的半径为R，则（R﹣2）2+42＝R2，得R＝5，由题意构造几何体，然后结合祖暅原理求解其体积即可．
【解答】解：设瓷碗所在球的半径为R，则（R﹣2）2+42＝R2，得R＝5，
设从瓷碗截面圆心处任意竖直距离为h，则瓷碗的截面面积为π[52﹣（3+h）2]，
构造一个圆柱减去一个圆台的模型，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查空间几何体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
12．（5分）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y＝cosx上存在点（x0，y0）使f（f（y0））＝y0成立，则a的取值范围是 　（﹣∞，0]　．
【分析】根据y0∈[0，1]证明f（y0）＝y0，即函数f（x）＝x在[0，1]上有解，即求lnx+x﹣x2＝a，x∈[0，1]的范围，对函数h（x）＝lnx+x﹣x2利用导数即可求值域．
【解答】解：y＝cosx∈[﹣1，1]，若曲线y＝cosx上存在点（x0，y0）使f（f（y0））＝y0成立，则y0∈[0，1]，
下面证明f（y0）＝y0．
∵y＝lnx+x﹣a在定义域内单调递增，∴在定义域上单调递增，
假设f（y0）＝C＞y0，则f（f（y0））＝f（C）＞f（y0）＝C＞y0，不满足f（f（y0））＝y0，
∴f（y0）＝y0，那么函数f（x）＝∈[0，1]，
即函数f（x）＝x在x∈[0，1]有解，∴lnx+x﹣a＝x2，
即a＝lnx+x﹣x2，x∈[0，1]，
令h（x）＝lnx+x﹣x2，
则，h（x）严格增，
又h（1）＝0，所以a≤0，
所以a的取值范围是（﹣∞，0]．
故答案为：（﹣∞，0]．
【点评】本题考查函数的导数应用，函数的单调性，考查计算能力．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．（5分）下列说法中正确的是（　　）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．垂直于同一直线的两个平面平行
C．平行于同一平面的两条直线平行
D．垂直于同一平面的两个平面平行
【分析】平行于同一直线的两个平面相交或平行；由平面平行的判定定理知B正确；平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两个平面平行或相交．
【解答】解：平行于同一直线的两个平面相交或平行，故A不正确；
由平面平行的判定定理知垂直于同一直线的两个平面平行，故B正确；
平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故C不正确；
垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故D不正确．
故选：B．
【点评】本题考查直线与平面、直线与直线的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
14．（5分）假设A、B是两个事件，且P（A）＞0，P（B）＞0，则下列结论一定成立的是（　　）
A．P（AB）≤P（B|A） B．P（AB）＝P（A）P（B）
C．P（B|A）＝P（A|B） D．P（B）＝P（B|A）
【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对四个选项逐一分析判断即可．
【解答】解：对于A，因为，
所以P（AB）＝P（B|A）P（A），因为0＜P（A）≤1，
所以P（AB）≤P（B|A），
故选项A正确；
对于B，因为题中未说明事件A，B是否相互独立，故选项B错误；
对于C，因为，，
只有当P（A）＝P（B）时，才有P（B|A）＝P（A|B），
但题中未说明P（A）与P（B）是否相等，故选项C错误；
对于D，因为，
当事件A与事件B相互独立时，则有P（B）＝P（B|A），
题中未说明事件A，B是否相互独立，故选项D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了概率公式的理解与应用，解题的关键是掌握条件概率、相互独立事件的概率公式，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
15．（5分）已知二次函数f（x）的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g（x）的图象，则不等式g（x）＞log2x的解集是（　　）

A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（0，1）
【分析】设f（x）＝ax2+bx+c（a＜0），由图象可得f（0）＝1，f（﹣2）＝0，求得c＝1，b＝2a+，再由g（2）＝1，结合对数函数的图象可得所求解集．
【解答】解：设f（x）＝ax2+bx+c（a＜0），
由图象可得f（0）＝1，f（﹣2）＝0，
则c＝1，4a﹣2b+1＝0，
所以f（x）＝ax2+（2a+）x+1，
将f（x）的图象向右平移2个单位长度得到函数
g（x）＝a（x﹣2）2+（2a+）（x﹣2）+1的图象．
由g（2）＝1，
又y＝log2x在（0，2）上递增，且log21＝0，log22＝1，
所以由图像可得不等式g（x）＞log2x的解集为（0，2）．
故选：C．

【点评】本题考查函数的图象和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16．（5分）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的个数有（　　）
①f（x）的图象关于直线x＝π对称；
②f（x）在上是增函数；
③f（x）的最大值为；
④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】对于①，通过计算f（2π﹣x）与f（x）的关系进行判断，对于②，利用导数判断，对于③，利用导数求其最值，对于④，由题意可知f（x1），f（x2）分别为函数的最大值和最小值，再根据函数的周期性可求得结果．
【解答】解：①因为．所以f（x）的图象不关于直线x＝π对称，错误；
②f′（x）＝cosx+cos2x＝2cos2x+cosx﹣1＝（2cosx﹣1）（cosx+1），
当时，，则f′（x）＞0，
所以f（x）在上是增函数，正确；
③因为y＝sinx的周期为的周期为π，所以的周期为2π，不妨取一个周期[0，2π]上求其最值，
令f′（x）＝0得或cosx＝﹣1，当或时，，
此时f′（x）＞0，所以f（x）在和上递增，
当时，，此时f′（x）≤0，但不恒为零，
所以f（x）在上递减，又，所以，
，所以正确；
④若，不妨取，
因为，
所以，正确．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（15分）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
新能源汽车销量占比
1.5%
2%
3%
5%
8%
9%
20%
（1）从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；
（2）从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．

【分析】（1）根据销量图列式求解即可；
（2）求得X的可能取值及对应概率，完成分布列，进而求得期望．
【解答】解：（1）由汽车销量图得7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，
则这一年该地区汽车总销量不小丁5.5万辆的概率为．
（2）由图表得新能源汽车2015﹣2021年的销量如下表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
新能源汽年销量
0.0625
0.112
0.168
0.275
0.456
0.54
1.16
新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个，
则随机变量X可能取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P



所以E（X）＝0×+1×+2×＝．
【点评】本题考查离散型随机变量的概率分布列期望，是中档题．
18．（15分）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
【分析】（1）由题意设抛物线的方程，求出焦点坐标，再由题意求切线弦长|CD|，|AB|的值，再由|CD|＝|AB|，可得a，b，c的关系，由椭圆中，a，b，c之间的关系求出椭圆的离心率；
（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标，及抛物线的准线方程，进而求出4个顶点到准线的距离，再由（1）的结论求出a，c的值，又由椭圆中a，b，c之间的关系求出a，b，c的值，进而求出椭圆及抛物线的方程．
【解答】解：（1）由题意设抛物线C2的方程为：y2＝4cx，焦点坐标F为（c，0），因为AB⊥x轴，将x＝c代入抛物线的方程可得y2＝4c2，所以|y|＝2c，
所以弦长|CD|＝4c，
将x＝c代入椭圆C1的方程可得y2＝b2（1﹣）＝，所以|y|＝，
所以弦长|AB|＝，
再由|CD|＝|AB|，可得4c＝，即3ac＝2b2＝2（a2﹣c2），
整理可得2c2+3ac﹣2a2＝0，即2e2+3e﹣2＝0，e∈（0，1），所以解得e＝，
所以C1的离心率为；
（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为：（±a，0），（0，±b），
而抛物线的准线方程为：x＝﹣c，
所以由题意可得2c+a+c+a﹣c＝12，即a+c＝6，而由（1）可得＝，所以解得：a＝4，c＝2，所以b2＝a2﹣c2＝16﹣4＝12，
所以C1的标准方程为：+＝1，C2的标准方程为：y2＝8x．
【点评】本题考查求椭圆，抛物线的方程，及直线与椭圆的综合，属于中档题．
19．（15分）在如图所示的多面体中，AB∥CD，四边形ACFE为矩形，AB＝AE＝1，AD＝CD＝2．
（1）求证：平面ABE∥平面CDF；
（2）设半面BEF∩平面CDF＝l，AB⊥AD，AE⊥平面ABCD，求二面角B﹣l﹣C的正弦值．

【分析】（1）证明出AB∥平面CDF，AE∥平面CDF，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角B﹣l﹣C的正弦值．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB⊄平面CDFCD⊂平面CDF，∴AB∥平面CDF，
因为四边形ACFE为矩形，则AE∥CF，
∵AE⊄平面CDF，CF⊂平面CDF，∴AE∥平面CDF，
∵AB∩AE＝A，AB、AE⊂平面ABE，因此，平面ABE∥平面CDF；
（2）解：因为AE⊥平面ABCD，AB⊥AD，
以点A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则B（1，0，0）、E（0，0，1）、F（2，2，1），
设平面BEF的法向量为，
则，取x＝1，可得，
因为平面ABE∥平面CDF，且平面ABE的一个法向量为＝（0，1，0），
所以，平面CDF的一个法向量为＝（0，1，0），故，
所以，，
因此，二面角B﹣1﹣C的正弦值为．
【点评】本题考查了面面平行的证明和二面角的计算，属于中档题．
20．（15分）已知函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；
（2）若函数f（x）在x＝0处取得极大值，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）存在最小值，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1），f（0）＝1．通过求导可得f′（x），可得切线斜率f′（0），利用点斜式可得切线方程．
（2）f′（x）＝xex（ax﹣1+2a），f′（0）＝0．通过对a分类讨论，利用取得极大值的条件即可得出结论．
（3）结合（2）可得：a≤0，或a≥时，f（x）不存在最小值．对0＜a＜时，x→﹣∞时，f（x）→0．x2是极小值点，．x2＞0．需要f（x2）＝f（）≤0，解得a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1），f（0）＝1．
f′（x）＝ex（ax2﹣x+1+2ax﹣1）＝ex（ax2﹣x+2ax），∴f′（0）＝0，
∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程为y﹣1＝0．
（2）f′（x）＝xex（ax﹣1+2a），f′（0）＝0．
①若a＝0，则f′（x）＝﹣xex，
x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴0是函数f（x）的极大值点．
②a≠0时，f′（x）＝axex（x﹣），令f′（x）＝0，解得x1＝0，x2＝，
下面对a分类讨论：a＝时，f′（x）＝x2ex≥0，函数f（x）在R上单调递增，无极值点，舍去．
a＞时，x2＜0，
列出表格：
x
（﹣∞，x2）
x2
（x2，0）
0
（0，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
0为函数f（x）的极小值点，舍去．
a＜0时，x2＜0，
列出表格：
x
（﹣∞，x2）
x2
（x2，0）
0
（0，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
0为函数f（x）的极大值点，满足题意．
0＜a＜时，x2＞0，列出表格：
列出表格：
x
（﹣∞，0）
0
（0，x2）
x2
（x2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
0为函数f（x）的极大值点，满足题意．
∴a的取值范围是（﹣∞，）．
（3）结合（2）：a≤0，或a≥时，f（x）不存在最小值．
例如a＞或a＜0，0是函数f（x）的极大值点，且f（0）＝1．x→﹣∞时，f（x）→0，无最小值，舍去．
0＜a＜时，x→﹣∞时，f（x）→0．x2是极小值点，x2＞0，满足：a﹣x2+2ax2＝0，x2＝，
需要f（x2）＝f（）＝（a﹣x2+1）＝（1﹣2ax2）＝[1﹣2（1﹣2a）]≤0，解得：0＜a≤．
因此函数f（x）存在最小值，a的取值范围是（0，]．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（16分）对于数列{an}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{an}为P数列．
（1）若{an}的前n项和Sn＝3n+2，试判断{an}是否是P数列，并说明理由；
（2）设数列a1，a2，a3，…，a10是首项为﹣1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；
（3）设无穷数列{an}是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列{bn}，{cn}是从{an}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T1，T2，求{an}是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题“若a＞0且T1＝T2，则{an}不是P数列”．
【分析】（1）求出数列{an}的通项，根据P数列的定义判断即可；
（2）由P数列的定义建立不等式，求解即可；
（3）通过反证法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵，
∴，
当n＝1时，a1＝S1＝5，
故，
那么当k∈N•时，，符合题意，
故数列{an}是P数列；
（2）由题意知，该数列的前n项和为，
由数列a1，a2，a3，…，a10是P数列，可知a2＞S1＝a1，故公差d＞0，
对满足n＝1，2，3……，9的任意n都成立，则，解得，
故d的取值范围为；
（3）①若{an}是P数列，则a＝S1＜a2＝aq，
若a＞0，则q＞1，又由an+1＞Sn对一切正整数n都成立，可知，即对一切正整数n都成立，
由，故2﹣q≤0，可得q≥2，；
若a＜0，则q＜1，又由an+1＞Sn对一切正整数n都成立，可知，即（2﹣q）qn＜1对一切正整数n都成立，
又当q∈（﹣∞，﹣1]时，（2﹣q）qn＜1当n＝2时不成立，
故有或，解得，
∴当{an}是P数列时，a与q满足的条件为或；
②假设{an}是P数列，则由①可知，q≥2，a＞0，且{an}中每一项均为正数，
若{bn}中的每一项都在{cn}中，则由这两数列是不同数列，可知T1＜T2；
若{cn}中的每一项都在{bn}中，同理可得T1＞T2；
若{bn}中至少有一项不在{cn}中且{cn}中至少有一项不在{bn}中，
设{bn'}，{cn'是将{bn}，{cn}中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为T1'，T2'，
不妨设{bn'}，{cn'}中最大的项在{bn'}中，设为am（m≥2），
则T2'≤a1+a2+……+am﹣1＜am≤T1'，故T2'＜T1'，故总有T1≠T2与T1＝T2矛盾，故假设错误，原命题正确．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查P数列的判断，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
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