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新高考高考数学一轮复习巩固练习8.7第74练《直线与椭圆的位置关系》（2份打包，解析版+原卷版）
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考点一 直线与椭圆的公共点问题
1．直线y＝x＋m与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1有两个不同的交点，则m的范围是( )
A．－5＜m＜5 B．m＜－eq \r(5)，或m＞eq \r(5)
C．m＜eq \r(5) D．－eq \r(5)＜m＜eq \r(5)
答案 D
解析 将直线与椭圆联立可得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，Δ＝64m2－20(4m2－4)>0，解得－eq \r(5)2．已知直线2kx－y＋1＝0与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为( )
A．(1,9] B．[1，＋∞)
C．[1,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞)
答案 C
解析 直线2kx－y＋1＝0恒过定点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))，
直线2kx－y＋1＝0与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1恒有公共点，即点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))在椭圆内或椭圆上，
∴eq \f(0,9)＋eq \f(1,m)≤1，即m≥1，又m≠9，
∴1≤m<9或m>9.
3．若直线y＝kx＋b与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为________．
答案 (－2,2)
解析 ∵直线y＝kx＋b恒过定点(0，b)，且直线y＝kx＋b与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1恒有两个公共点，∴点(0，b)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1内部，∴－2考点二 弦长问题
4．(2022·武汉模拟)已知斜率为2的直线经过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点F，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A.eq \f(5\r(5),3) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \r(5) D．3eq \r(5)
答案 A
解析 方法一 由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1))消去y，得3x2－5x＝0，
故得A(0，－2)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(4,3)))，则
|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(5,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2－\f(4,3)))2)＝eq \f(5\r(5),3).
方法二 由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1))消去y得3x2－5x＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(5,3)，x1x2＝0，
则|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)
＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
＝eq \r(1＋22\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))2－4×0)))＝eq \f(5\r(5),3).
5．已知直线y＝－x＋1与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)，焦距为2，则线段AB的长是( )
A.eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(4\r(2),3)
C.eq \r(2) D．2
答案 B
解析 由条件知c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，所以a＝eq \r(2)，b＝1，椭圆方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(1,3)))，所以|AB|＝eq \f(4\r(2),3).
考点三 中点弦
6．若椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1 的弦被点(4,2) 平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．x－2y＝0 B．5x＋2y－4＝0
C．x＋2y－8＝0 D．2x＋3y－12＝0
答案 C
解析 设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程，得
9xeq \\al(2,1)＋36yeq \\al(2,1)＝36×9，①
9xeq \\al(2,2)＋36yeq \\al(2,2)＝36×9.②
①－②得，
9(x1＋x2)(x1－x2)＋36(y1＋y2)(y1－y2)＝0；
由中点坐标公式得eq \f(x1＋x2,2)＝4，eq \f(y1＋y2,2)＝2，
代入上式，得
36eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－x2))＋72eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y1－y2))＝0，
∴直线斜率为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－eq \f(1,2)，
所求弦的直线方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
7．过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－eq \r(3)＝0交椭圆于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为eq \f(1,2)，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1
答案 B
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．直线x＋y－eq \r(3)＝0过右焦点，所以右焦点为(eq \r(3)，0)，故c＝eq \r(3).
直线AB的斜率为－1，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－1，P为AB的中点，所以x0＝eq \f(x1＋x2,2)，y0＝eq \f(y1＋y2,2)，将A，B两点代入椭圆方程可得
eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，①
eq \f(x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1，②
①－②得eq \f(b2,a2)＝eq \f(y0,x0)，又OP的斜率为eq \f(y0,x0)＝eq \f(1,2)，所以a2＝2b2，又c＝eq \r(3)，a2＝b2＋c2，所以a2＝6，b2＝3，所以椭圆的方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1.
8．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 ∵FP的斜率为－eq \f(b,c)，FP∥l.
∴直线l的斜率为－eq \f(b,c).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1))得eq \f(y\\al(2,1),b2)－eq \f(y\\al(2,2),b2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)－\f(x\\al(2,2),a2)))，
即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)，
∵AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，
∴－eq \f(b,c)＝－eq \f(2b2,a2)，
∴a2＝2bc，
∴b2＋c2＝2bc，
∴b＝c，
∴a＝eq \r(2)c，
∴椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2).
考点四 距离
9．点M为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，则M到直线x＋2y－10＝0的距离的最小值为( )
A．3eq \r(5) B．2eq \r(5)
C.eq \r(5) D.eq \f(\r(5),2)
答案 C
解析 设与直线x＋2y－10＝0平行的直线方程为x＋2y＋m＝0，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＋m＝0，,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，))
得25x2＋18mx＋9m2－144＝0，由(18m)2－100(9m2－144)＝0，得m＝±5，当m＝－5时，直线方程为x＋2y－5＝0，此时直线x＋2y－10＝0与直线x＋2y－5＝0的距离d＝eq \f(|－10＋5|,\r(5))＝eq \r(5)，即所求距离的最小值为eq \r(5).
10．(2022·扬州模拟)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(0A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
答案 C
解析 由0∴|BF2|＋|AF2|＋|BF1|＋|AF1|＝2a＋2a＝4a＝8，则|BF2|＋|AF2|＝8－|AB|.
当AB垂直于x轴时，|AB|最小，|BF2|＋|AF2|最大，此时|AB|＝b2，
则5＝8－b2，解得b＝eq \r(3).
11．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．0或1
答案 C
解析 因为直线与圆没有交点，所以eq \f(4,\r(m2＋n2))>2，所以m2＋n2<4，所以eq \f(m2,9)＋eq \f(n2,4)12．A(0,1)是椭圆x2＋4y2＝4上一定点，P为椭圆上异于A的一动点，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AP))的最大值为( )
A．3eq \r(3) B．4eq \r(3)
C.eq \f(4\r(3),3) D.eq \f(8\r(3),3)
答案 C
解析 椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，
设点P(x，y)，则－1≤y<1，
由x2＋4y2＝4，得x2＝4－4y2，
|AP|＝eq \r(x2＋y－12)＝eq \r(4－4y2＋y－12)
＝eq \r(－3y2－2y＋5)＝eq \r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,3)))2＋\f(16,3))，
所以当y＝－eq \f(1,3)时，|AP|取得最大值，最大值为eq \f(4\r(3),3).
13．(2022·青岛模拟)已知P为椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1上的一个动点，过点P作圆M：(x－1)2＋y2＝1的一条切线，切点为A，与椭圆的另一个交点为Q，若点A平分线段PQ，且直线PQ的斜率为负数，则直线MA的斜率为( )
A．4eq \r(2) B．3eq \r(2) C．2eq \r(2) D.eq \r(2)
答案 C
解析 如图，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(x0，y0)，直线PQ的斜率为k(k<0)，因为点A平分线段PQ，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝2x0，,y1＋y2＝2y0，))
因为P，Q为椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1上的点，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),16)＋\f(y\\al(2,1),4)＝1，,\f(x\\al(2,2),16)＋\f(y\\al(2,2),4)＝1，))
所以eq \f(1,16)(x1＋x2)(x1－x2)＋eq \f(1,4)(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
所以eq \f(1,16)×2x0＋eq \f(1,4)×2y0×eq \f(y1－y2,x1－x2)＝0，
所以x0＋4y0k＝0，又MA⊥PQ，
所以kMA＝－eq \f(1,k)＝eq \f(y0,x0－1)，
所以x0＝eq \f(4,3)，过点A作AH⊥x轴于点H，则cs∠AMH＝eq \f(1,3)，所以tan∠AMH＝2eq \r(2)，所以直线MA的斜率为2eq \r(2).
14．已知椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，上顶点为A，左顶点为B，设点P为椭圆上一点，△PAB的面积的最大值为eq \r(2)＋1，若已知点M(－eq \r(3)，0)，N(eq \r(3)，0)，点Q为椭圆上任意一点，则eq \f(1,|QN|)＋eq \f(4,|QM|)的最小值为( )
A．2 B.eq \f(9,4) C．3 D．3＋2eq \r(2)
答案 B
解析 易得直线AB的斜率kAB＝eq \f(1,a)，直线AB的方程为y＝eq \f(1,a)x＋1，当△PAB的面积最大时，过点P的直线与椭圆相切且与AB平行，设该直线的方程为y＝eq \f(1,a)x＋m，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋y2＝1，,y＝\f(1,a)x＋m，))
得2x2＋2amx＋a2m2－a2＝0.
由Δ＝0，得4a2m2－8(a2m2－a2)＝0，
解得m2＝2，分析知当△PAB的面积最大时，m＝－eq \r(2)，此时切线方程为y＝eq \f(1,a)x－eq \r(2)，则点P到直线AB的距离d＝eq \f(|\r(2)＋1|,\r(\f(1,a2)＋1))＝eq \f(a\r(2)＋1,\r(a2＋1)).又|AB|＝eq \r(a2＋1)，所以△PAB的面积S＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \r(2)＋1，所以a＝2，所以M(－eq \r(3)，0)，N(eq \r(3)，0)分别为椭圆的左、右焦点，所以|QM|＋|QN|＝2a＝4，则eq \f(1,|QN|)＋eq \f(4,|QM|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|QN|)＋\f(4,|QM|)))·eq \f(1,4)(|QM|＋|QN|)＝1＋eq \f(1,4)＋eq \f(|QM|,4|QN|)＋eq \f(|QN|,|QM|)≥eq \f(9,4)，当且仅当|QM|＝2|QN|时取等号．
考点一 直线与椭圆的公共点问题
1．直线y＝x＋m与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1有两个不同的交点，则m的范围是( )
A．－5＜m＜5 B．m＜－eq \r(5)，或m＞eq \r(5)
C．m＜eq \r(5) D．－eq \r(5)＜m＜eq \r(5)
答案 D
解析 将直线与椭圆联立可得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，Δ＝64m2－20(4m2－4)>0，解得－eq \r(5)
A．(1,9] B．[1，＋∞)
C．[1,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞)
答案 C
解析 直线2kx－y＋1＝0恒过定点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))，
直线2kx－y＋1＝0与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1恒有公共点，即点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))在椭圆内或椭圆上，
∴eq \f(0,9)＋eq \f(1,m)≤1，即m≥1，又m≠9，
∴1≤m<9或m>9.
3．若直线y＝kx＋b与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为________．
答案 (－2,2)
解析 ∵直线y＝kx＋b恒过定点(0，b)，且直线y＝kx＋b与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1恒有两个公共点，∴点(0，b)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1内部，∴－2
4．(2022·武汉模拟)已知斜率为2的直线经过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点F，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A.eq \f(5\r(5),3) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \r(5) D．3eq \r(5)
答案 A
解析 方法一 由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1))消去y，得3x2－5x＝0，
故得A(0，－2)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(4,3)))，则
|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(5,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2－\f(4,3)))2)＝eq \f(5\r(5),3).
方法二 由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1))消去y得3x2－5x＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(5,3)，x1x2＝0，
则|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)
＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
＝eq \r(1＋22\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))2－4×0)))＝eq \f(5\r(5),3).
5．已知直线y＝－x＋1与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)，焦距为2，则线段AB的长是( )
A.eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(4\r(2),3)
C.eq \r(2) D．2
答案 B
解析 由条件知c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，所以a＝eq \r(2)，b＝1，椭圆方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(1,3)))，所以|AB|＝eq \f(4\r(2),3).
考点三 中点弦
6．若椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1 的弦被点(4,2) 平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．x－2y＝0 B．5x＋2y－4＝0
C．x＋2y－8＝0 D．2x＋3y－12＝0
答案 C
解析 设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程，得
9xeq \\al(2,1)＋36yeq \\al(2,1)＝36×9，①
9xeq \\al(2,2)＋36yeq \\al(2,2)＝36×9.②
①－②得，
9(x1＋x2)(x1－x2)＋36(y1＋y2)(y1－y2)＝0；
由中点坐标公式得eq \f(x1＋x2,2)＝4，eq \f(y1＋y2,2)＝2，
代入上式，得
36eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－x2))＋72eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y1－y2))＝0，
∴直线斜率为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－eq \f(1,2)，
所求弦的直线方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
7．过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－eq \r(3)＝0交椭圆于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为eq \f(1,2)，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1
答案 B
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．直线x＋y－eq \r(3)＝0过右焦点，所以右焦点为(eq \r(3)，0)，故c＝eq \r(3).
直线AB的斜率为－1，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－1，P为AB的中点，所以x0＝eq \f(x1＋x2,2)，y0＝eq \f(y1＋y2,2)，将A，B两点代入椭圆方程可得
eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，①
eq \f(x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1，②
①－②得eq \f(b2,a2)＝eq \f(y0,x0)，又OP的斜率为eq \f(y0,x0)＝eq \f(1,2)，所以a2＝2b2，又c＝eq \r(3)，a2＝b2＋c2，所以a2＝6，b2＝3，所以椭圆的方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1.
8．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 ∵FP的斜率为－eq \f(b,c)，FP∥l.
∴直线l的斜率为－eq \f(b,c).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1))得eq \f(y\\al(2,1),b2)－eq \f(y\\al(2,2),b2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)－\f(x\\al(2,2),a2)))，
即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)，
∵AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，
∴－eq \f(b,c)＝－eq \f(2b2,a2)，
∴a2＝2bc，
∴b2＋c2＝2bc，
∴b＝c，
∴a＝eq \r(2)c，
∴椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2).
考点四 距离
9．点M为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，则M到直线x＋2y－10＝0的距离的最小值为( )
A．3eq \r(5) B．2eq \r(5)
C.eq \r(5) D.eq \f(\r(5),2)
答案 C
解析 设与直线x＋2y－10＝0平行的直线方程为x＋2y＋m＝0，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＋m＝0，,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，))
得25x2＋18mx＋9m2－144＝0，由(18m)2－100(9m2－144)＝0，得m＝±5，当m＝－5时，直线方程为x＋2y－5＝0，此时直线x＋2y－10＝0与直线x＋2y－5＝0的距离d＝eq \f(|－10＋5|,\r(5))＝eq \r(5)，即所求距离的最小值为eq \r(5).
10．(2022·扬州模拟)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(0
答案 C
解析 由0
当AB垂直于x轴时，|AB|最小，|BF2|＋|AF2|最大，此时|AB|＝b2，
则5＝8－b2，解得b＝eq \r(3).
11．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．0或1
答案 C
解析 因为直线与圆没有交点，所以eq \f(4,\r(m2＋n2))>2，所以m2＋n2<4，所以eq \f(m2,9)＋eq \f(n2,4)
A．3eq \r(3) B．4eq \r(3)
C.eq \f(4\r(3),3) D.eq \f(8\r(3),3)
答案 C
解析 椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，
设点P(x，y)，则－1≤y<1，
由x2＋4y2＝4，得x2＝4－4y2，
|AP|＝eq \r(x2＋y－12)＝eq \r(4－4y2＋y－12)
＝eq \r(－3y2－2y＋5)＝eq \r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,3)))2＋\f(16,3))，
所以当y＝－eq \f(1,3)时，|AP|取得最大值，最大值为eq \f(4\r(3),3).
13．(2022·青岛模拟)已知P为椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1上的一个动点，过点P作圆M：(x－1)2＋y2＝1的一条切线，切点为A，与椭圆的另一个交点为Q，若点A平分线段PQ，且直线PQ的斜率为负数，则直线MA的斜率为( )
A．4eq \r(2) B．3eq \r(2) C．2eq \r(2) D.eq \r(2)
答案 C
解析 如图，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(x0，y0)，直线PQ的斜率为k(k<0)，因为点A平分线段PQ，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝2x0，,y1＋y2＝2y0，))
因为P，Q为椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1上的点，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),16)＋\f(y\\al(2,1),4)＝1，,\f(x\\al(2,2),16)＋\f(y\\al(2,2),4)＝1，))
所以eq \f(1,16)(x1＋x2)(x1－x2)＋eq \f(1,4)(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
所以eq \f(1,16)×2x0＋eq \f(1,4)×2y0×eq \f(y1－y2,x1－x2)＝0，
所以x0＋4y0k＝0，又MA⊥PQ，
所以kMA＝－eq \f(1,k)＝eq \f(y0,x0－1)，
所以x0＝eq \f(4,3)，过点A作AH⊥x轴于点H，则cs∠AMH＝eq \f(1,3)，所以tan∠AMH＝2eq \r(2)，所以直线MA的斜率为2eq \r(2).
14．已知椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，上顶点为A，左顶点为B，设点P为椭圆上一点，△PAB的面积的最大值为eq \r(2)＋1，若已知点M(－eq \r(3)，0)，N(eq \r(3)，0)，点Q为椭圆上任意一点，则eq \f(1,|QN|)＋eq \f(4,|QM|)的最小值为( )
A．2 B.eq \f(9,4) C．3 D．3＋2eq \r(2)
答案 B
解析 易得直线AB的斜率kAB＝eq \f(1,a)，直线AB的方程为y＝eq \f(1,a)x＋1，当△PAB的面积最大时，过点P的直线与椭圆相切且与AB平行，设该直线的方程为y＝eq \f(1,a)x＋m，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋y2＝1，,y＝\f(1,a)x＋m，))
得2x2＋2amx＋a2m2－a2＝0.
由Δ＝0，得4a2m2－8(a2m2－a2)＝0，
解得m2＝2，分析知当△PAB的面积最大时，m＝－eq \r(2)，此时切线方程为y＝eq \f(1,a)x－eq \r(2)，则点P到直线AB的距离d＝eq \f(|\r(2)＋1|,\r(\f(1,a2)＋1))＝eq \f(a\r(2)＋1,\r(a2＋1)).又|AB|＝eq \r(a2＋1)，所以△PAB的面积S＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \r(2)＋1，所以a＝2，所以M(－eq \r(3)，0)，N(eq \r(3)，0)分别为椭圆的左、右焦点，所以|QM|＋|QN|＝2a＝4，则eq \f(1,|QN|)＋eq \f(4,|QM|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|QN|)＋\f(4,|QM|)))·eq \f(1,4)(|QM|＋|QN|)＝1＋eq \f(1,4)＋eq \f(|QM|,4|QN|)＋eq \f(|QN|,|QM|)≥eq \f(9,4)，当且仅当|QM|＝2|QN|时取等号．
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