高一数学期末复习同步专题-立体几何中的各类角的求解专练含解析

立体几何中的各类角的求解专练

一、选择题

1．已知，，，是空间不共面的四个点，且，，则直线与（    ）．

A．垂直    B．平行    C．相交    D．位置关系不确定

【答案】A

【解析】

过点作平面，垂足为．

∵，由三垂线定理可得．

同理，，所以．

故选．

2．如图，在长方体中，、分别是棱、的中点，若，则异面直线和所成角为(   )．

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】

∵M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，

∴MN∥AD1，

∵∠CMN=90∘，

∴CM⊥MN，

∴CM⊥AD1，

由长方体的几何特征,我们可得CD⊥AD1，

∴AD1⊥平面CDM

故AD1⊥DM

即异面直线AD1与DM所成的角为90∘

故选D

3．线段AB的两端在直二面角α－l－β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是(　　)

A．30°    B．45°

C．60°    D．75°

【答案】B

【解析】设AB=a，在平面α内，作AA′⊥l于A′，

则AA′⊥β，连A′B，则∠ABA′=30°.

在Rt△AA′B中，AB=a，

所以AA′=a.

同理作BB′⊥l于B′，连AB′，则∠BAB′=30°，

所以BB′=a，AB′=a，

所以A′B′==a，

过B作BCA′B′.

连接A′C，则A′CBB′，连接AC，在Rt△AA′C中，

AC==a.

由BC⊥平面AA′C，所以△ABC为直角三角形，

且AC=BC，所以∠ABC=45°，为l与AB所成角.选B.

4．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为(　　)

A．90°    B．45°

C．60°    D．30°

【答案】D

【解析】

设 为 的中点，连接 则 分别为 ，三角形 的中位线．则 ，且

且

则 与 所成角的度数等于与 所成角的度数
又 则 为直角三角形， 则在直角中，

故选D

5．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有 (　　)

A．1条    B．2条    C．3条    D．4条

【答案】B

【解析】如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．

6．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)

A．75°    B．60°

C．45°    D．30°

【答案】B

【解析】如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．

在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝，

则S＝×()2＝，

VABC­A1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝.

又AO＝＝1，

∴tan ∠PAO＝，∴∠PAO＝60°.选B.

7．在三棱锥中，平面，已知，则二面角的平面角是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】因为平面平面，即为二面角的平面角，又，所以，故为直角三角形，，二面角的平面角是，故选D.

8．将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是(　　)

A．45°    B．30°

C．60°    D．90°

【答案】D

【解析】如图，设正方形边长为a，

作AO⊥BD，

则AM＝

又AD＝a，DM＝，∴AD2＝DM2＋AM2，∴∠AMD＝90°.选D.

9．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为(　　)

A．30°    B．45°

C．60°    D．90°

【答案】C

【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为2，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan θ＝ (设θ为所求平面角)，所以二面角为60°，选C.

10．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为(　　)

A．30°    B．60°

C．90°    D．120°

【答案】C

【解析】如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝．

∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，

∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．

∵AC＝1，MC＝MA＝，∴MC2＋MA2＝AC2，

∴∠CMA＝90°，故选C．

11．如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD中,下列说法正确的是　(　　)

A．平面ABD⊥平面ABC    B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC    D．平面ADC⊥平面ABD

【答案】D

【解析】因为，

所以，

所以，

所以，

又平面⊥平面，平面∩平面, 平面，

所以⊥平面，

又平面，

所以平面⊥平面。选D。

12．如图，在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】取BC的中点E，连接AE，DE，

则DE⊥底面ABC，∴∠DAE为AD与平面BC所成的角．

设三棱柱的棱长为1，则AE，DE，

∴tan∠DAE，

∴∠DAE＝30°．

故选：A．

二、填空题

13．如图，在正方体中，直线与所成角大小为_____

【答案】

【解析】连接，交于点，再连接，

是在正方体中

则是直线与平面所成的角，

设正方体的边长为1

则直线与平面所成的角的大小为

故答案为

14．在长方体中，，，则直线与平面所成角的余弦值等于______．

【答案】

【解析】连接，在长方体中，，，

平面，

是直线与平面所成角，

直线与平面所成角的余弦值：

．

故答案为：．

15．在三棱锥中，平面，，，则直线与平面所成角的大小为__________．

【答案】

【解析】作AD⊥PC，连接BD，

∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，

∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，

∵AD⊂平面PAC，∴BC⊥AD，∵AD⊥PC，BC∩PC＝C，∴AD⊥平面PBC，

∴∠ABD为AB与平面PBC所成角，

在直角△PAC中，由等面积可得AD＝＝，

在直角△ADB中，sin∠ABD＝＝=，∠ABD=

∴AB与平面PBC所成的角为，

故答案为：．

16．等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C—BM—A的大小为_____________．

【答案】

【解析】

结合题意可知,

所以,而发现

 所以,结合二面角的找法:如果两平面内两直线

分别垂直两平面交线,则该两直线的夹角即为所求二面角,故

为所求的二面角,为

三、解答题

17．如图,在底面为直角梯形的四棱锥中，， 平面，,.

(1)求证: 平面；

(2)求二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）连接交于，平面，平面．．

又，．

，，，即．

又．平面．

（2）连接．平面．，．为二面角的平面角．

在中，，，，二面角的大小为．

18．如图（1）是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题。

（1）求证：MN∥平面PBD；

（2）求证：平面；

（3）求PB和平面NMB所成的角的大小．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】MN和PB的位置如右图示：

（1）∵ND∥MB 且ND＝MB，∴四边形NDBM为平行四边形

∴MN//DB

∵平面PDB,平面PDB

∴MN∥平面PBD

（2）∵平面ABCD，平面，∴

又∵   ∴平面,

面 ∴,同理可得,∵

∴面PDB

（3）连结PQ交MN于点E,

∵ ,

∴平面

连结BE,则为PB和平面NMB所成的角

在直角三角形PEB中∵      ∴=30°.

 即PB和平面NMB所成的角为30°

19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.

（I）求异面直线与所成角的余弦值；

（II）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.

【解析】解：（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.

因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.

在Rt△PDA中，由已知，得，

故.

所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.

（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.

又因为BC//AD，所以PD⊥BC，

又PD⊥PB，

所以PD⊥平面PBC.

（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，

则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，

所以为直线DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，

由已知，得CF=BC–BF=2.

又AD⊥DC，故BC⊥DC，

在Rt△DCF中，可得,

在Rt△DPF中，可得.

所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

20．如图，已知中，，，且，，绕旋转至，使点与点之间的距离.

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成的角的余弦值.

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】（1），

，，

又

平面

，

又在中，

，，，

，

即，

又

平面

（2）过作，在平面中作于，

连，则为与所成角．

，

又因为，

平面

．

，，

又，，

 又∵在中，

，

即与所成角的余弦值为.

21．如图所示，四棱锥中，，底面中，，，又，，为中点．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】 (1)取的中点为，连接、，

则在中，且，

因为且，所以且，

所以四边形为平行四边形，，

因为平面，平面，

所以平面。

(2)取中点，连接，

因为且，所以为平行四边形，，

所以或其补角为PA与CB所成角，

由题意得，

所以，与所成角为。