第三章圆锥曲线的方程：点差法学案--高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

《圆锥曲线》专题38－1    点差法

（5套，6页，含答案） 

知识点：

典型例题：

1. 已知椭圆4x2＋9y2＝36，以(1， 1)为中点的弦所在的直线n的方程是               .
2. 求与n平行的弦的中点M的轨迹方程            ；
3. 已知椭圆4x2＋9y2＝36的一条弦AB的方程为y＝x－1，则弦AB的中点为               .
4. 已知椭圆4x2＋9y2＝36的一条弦AB过点(1， 1)，则弦AB的中点的轨迹方程是              .
5. 已知直线与焦点为的椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点为(1， 1)，
   则椭圆方程为[i]           

随堂练习1：

6. 已知点是椭圆内的一点．
   （1）求以P为中点的弦所在的直线n的方程；
   （2）求与直线n平行的弦的中点M的轨迹方程；
   （3）求过点P的直线被椭圆截得的弦的中点Q的轨迹方程；
   （4）该椭圆的一条弦AB的方程为，则弦AB的中点为。
   （5）已知直线，椭圆的一个焦点为（3，0），直线和椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点为，则椭圆方程为 [ii]                （该小问答案错）

随堂练习2：

1. 已知抛物线的弦AB过定点（－2，0），则弦AB中点的轨迹方程是_____[iii]___．

2. 直线与椭圆相交于不同的两点P、Q，若PQ的中点横坐标为2，
   则直线的斜率等于     [iv]    。

3. 抛物线被点P(－1，1)所平分的弦的直线方程为_____[v]____．

4. 已知椭圆E：(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　[vi]　)．
   A．      B．     C．      D．

5. 已知圆x2＋y2＝4，过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是（  [vii]  ）
   A、(x－2)2＋y2＝4          B、(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)
   C、(x－1)2＋y2＝4          D、(x－1)2＋y2＝4(0≤x＜1)

专题38－1答案：，，4x(x－1）＋9y(y－1)＝0，； 答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；

 答案：； 答案：； 答案：； 答案：D ； 答案：B；

《圆锥曲线》专题38－2    点差法

1. 已知点P（1，1）是椭圆内的一点．
   （1）求以P为中点的弦所在的直线L的方程；
   （2）求斜率为3弦的中点M的轨迹方程；
   （3）求过点P的直线被椭圆截得的弦的中点Q的轨迹方程； 
   （4）该椭圆的一条弦AB的方程为，则弦AB的中点为         。
   （5）已知直线，椭圆的一个焦点为（，0），直线和椭圆相交于A、B两点，
   弦AB的中点为，则椭圆方程为[viii]              

2. 椭圆x2＋4y2＝16的斜率为1的弦的中点的轨迹方程为（ [ix]   ）
   （A）x＋4y＝0      （B）4x＋y＝0    （C）4x＋y＝0(－4＜x＜4)   （D）x＋4y＝0(－4＜x＜4)

3. （2018山东理G106）已知直线L与抛物线：相交于，两点，若线段的中点为，则直线L的方程为（ [x]  ）
   A．          B．        C．       D．
    
4. 中心为(0, 0)，一焦点为F(0， 5)，截直线y＝3x－2所得弦的中点的横坐标为的椭圆为（  [xi]  ）
   （A）    （B）    （C）    （D）
5. 设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：动点P的轨迹方程；（[xii]）

专题38－2答案：x＋2y－3＝0，x＋6y＝0，x（x－1）＋2y（y－1）＝0，，；

 答案：D； 答案：D； 答案：A； 答案：；

《圆锥曲线》专题38－3    点差法

1. 已知点P（1，2）是椭圆内的一点．
   （1）求以P为中点的弦所在的直线的方程；
   （2）求斜率为-2的弦的中点M的轨迹方程；
   （3）求过点P的直线被椭圆截得的弦的中点Q的轨迹方程； 
   （4）该椭圆的一条弦AB的方程为，则弦AB的中点为          ；
   （5）已知直线，椭圆的两个焦点为，直线和椭圆相交于A、B两点，
   弦AB的中点为，则椭圆方程为[xiii]              

2. 若倾斜角为的直线交椭圆＋y2＝1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是______[xiv]_____．

3. 已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，直线与抛物线C相交于两点．若线段AB的中点为，则直线l的方程为(   [xv] )
   A．     B．     C．     D．
    
4. 若、是抛物线上关于直线对称的相异两点，则([xvi]　)
       A．         B．        C．       D．

5. 已知椭圆的方程为，过点P(，的直线与椭圆相交于A、B两点，
   求AB中点的轨迹方程.（[xvii]）
    

专题38－3答案：，9x－8y＝0，，，；

 答案：x＋4y＝0； 答案：A； 答案：C； 答案：；

《圆锥曲线》专题38－4    点差法

1. 已知点P是椭圆内的一点．
   （1）求以P为中点的弦所在的直线L的方程；
   （2）求斜率为4的弦的中点M的轨迹方程；
   （3）求过点P的直线被椭圆截得的弦的中点Q的轨迹方程； 
   （4）该椭圆的一条弦AB的方程为，则弦AB的中点为         。
   （5）已知直线，椭圆的一个焦点为，直线和椭圆相交于A、B两点，
   弦AB的中点为，则椭圆方程为[xviii]              

2. 已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是 [xix]  ．

3. 若抛物线 （ ）的弦PQ中点为（），则弦PQ的斜率为（  [xx]）
   　　A．　　B．　　C．　　D．

4. 已知倾斜角为的直线交双曲线于两点，若线段的中点为，则的离心率是（[xxi]    ）
   A．         B．       C.          D．

5. 过点M( －2， 0)作直线L交双曲线x－y ＝ 1于A、B两点，
   以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。求动点P的轨迹方程。（[xxii]）
    

专题38－4答案：，5x+8y＝0，，，；

 答案：（4，2）； 答案：B； 答案：C； 答案：；

《圆锥曲线》专题38－5    点差法

1. 已知点P（2，1）是椭圆内的一点．
   （1）求以P为中点的弦所在的直线的方程；
   （2）求斜率为-3的弦的中点M的轨迹方程；
   （3）求过点P的直线被椭圆截得的弦的中点Q的轨迹方程； 
   （4）该椭圆的一条弦AB的方程为，则弦AB的中点为          ；
   （5）已知直线，椭圆的两个焦点为，直线和椭圆相交于A、B两点，
   弦AB的中点为，则椭圆方程为[xxiii]              

2. 已知椭圆C的焦点F1（－，0）和F2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C于
   A、B两点，求线段AB的中点坐标。（[xxiv]）
   
    
3. 已知椭圆，以及椭圆内一点P(4， 2)，则以P为中点的弦所在的直线的斜率是（   [xxv] ）
     （A）                （B）－      （C）2      （D）－2

4. 点位于椭圆内，过点的直线与椭圆交于两点A、B，且点为线段AB的
   中点，求直线AB的方程及的值。[xxvi]

5. 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a＞b＞0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
   (1)求M的方程；（2）（[xxvii]）

专题38－5答案：，，，，；

 答案：；； 答案：B；答案：AB：x ＋ 2y －3 ＝ 0，| AB | ＝ ；答案：；

[i] 答案：，，，4x(x－1）＋9y(y－1)＝0，；

[ii] 答案：（1）；（2）；（3） ；
（4）；（5）；

[iii] 答案：；

[iv] 答案： ；

[v] 答案：；

[vi] 答案：D

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，

∴

①－②，得

，

即，

∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，

而＝kAB＝，∴.

又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.

∴椭圆E的方程为.故选D.

[vii] 答案：B；

[viii] 答案：x＋2y－3＝0，x＋6y＝0，x（x－1）＋2y（y－1）＝0，，；

[ix] 答案：D；

[x] 答案：D；

[xi] 答案：A；

[xii] 答案：；
（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为

记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组

                 的解.

将①代入②并化简得，，所以

于是

设点P的坐标为则

消去参数k得     ③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为

解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以

  ④               ⑤

④—⑤得，所以

当时，有      ⑥

并且    ⑦   将⑦代入⑥并整理得     ⑧

当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）

也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

[xiii] 答案：，9x－8y＝0，，，；

[xiv] 答案：x＋4y＝0；

解析：　设中点坐标为(x，y)，直线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程得5x2＋8bx＋4(b2－1)＝0，

则得x＋4y＝0.由Δ＞0得－＜b＜，故－＜x＜.

[xv] 答案：A

【解析】易知抛物线的方程为.设则，

两式相减得：，

所以的斜率，[来源:学科网ZXXK]

从而直线的方程为，即.故A正确.

[xvi] 答案：C；
解：设点，，依对称性可知，由点差法可得，设 中点为，则，代入对称轴方程可得，∴直线的方程为，与抛物线方程联立知：，∴，，故选C。

[xvii] 答案：

[xviii] 答案：，5x+8y＝0，，，；

[xix] 答案：（4，2）；

[xx] 答案：B；

[xxi] 答案：C；

[xxii] 答案：

[xxiii] 答案：，，，，；

[xxiv] 答案：；
解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c＝，a＝3，从而b＝1，所以其标准方程是:

.联立方程组，消去y得， .

设A()，B()，AB线段中点为M()那么: ，

所以也就是说线段AB中点坐标为

（2）解:由于椭圆焦点为F(0，4)，离心率为e＝，所以双曲线的焦点为F(0，4)，离心率为2，

从而c＝4，a＝2，b＝2.所以求双曲线方程为: .

[xxv] 答案：B；

[xxvi] 答案： AB：x ＋ 2y －3 ＝ 0，| AB | ＝ ；

点差法或联立方程组法

    AB：x ＋ 2y －3 ＝ 0     | AB | ＝

[xxvii] 答案：；

，最大值为；

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，

则，，，

由此可得.

因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，，

所以a2＝2b2.

又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.

因此a2＝6，b2＝3.

所以M的方程为.

(2)由

解得或

因此|AB|＝.

由题意可设直线CD的方程为

y＝，

设C(x3，y3)，D(x4，y4)．

由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.

于是x3，4＝.

因为直线CD的斜率为1，

所以|CD|＝.

由已知，四边形ACBD的面积.

当n＝0时，S取得最大值，最大值为.

所以四边形ACBD面积的最大值为.