高考数学统考一轮复习第4章4.5.1两角和与差的正弦余弦和正切学案

第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切

　三角函数公式的基本应用

[自主练透型]

1．[2021·山西吕梁阶段检测]sin 7°cos 37°－sin 83°cos 307°＝(　　)

A．－　　　B.　　　C．－　　　D.

2．[2021·湖南益阳、湘潭质量统测]已知sin α＝(角α为第二象限角)，则cos＝(　　)

A.  B.  C.  D.

3．[2020·全国卷Ⅲ]已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　)

A．－2  B．－1  C．1  D．2

悟·技法

三角函数公式的应用策略

(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．

(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.

考点二　三角函数公式的活用[互动讲练型]

[例1]　(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)

A．－  B.  C.  D．－

(2)[2021·陕西汉中模拟]化简：＝(　　)

A.  B.   C．1  D．－

悟·技法

三角函数公式活用技巧

(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．

(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用(如本例(1)).

[变式练]——(着眼于举一反三)

1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)

A．－  B.  C．－  D.

2．已知cos－sin α＝，则sin＝________.

3．(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝________.

考点三　角的变换[互动讲练型]

[例2]　(1)已知tan＝－2，则tan＝(　　)

A．－  B.  C．－3  D．3

(2)[2021·百校联盟联考]已知α、β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则sin α＝(　　)

A.  B.

C.   D.

悟·技法

利用角的变换求三角函数值的策略

(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

(3)常见的角变换技巧：

α＝2·；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；

α＝[(α＋β)＋(α－β)]；β＝[(α＋β)－(α－β)]；

＋α＝－.

(4)特殊角的拆分：＝＋，＝＋，＝－.

[变式练]——(着眼于举一反三)

4．已知α，β均为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝________.

5．若cos(75°－α)＝，则cos(30°＋2α)＝________.

第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切

课堂考点突破

考点一

1．解析：sin 7°cos 37°－sin 83°cos 307°＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(7°－37°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－，故选A.

答案：A

2．解析：因为角α为第二象限角，且sin α＝，所以cos α＝－.所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝－×＋×＝.故选D.

答案：D

3．解析：2tan θ－tan＝2tan θ－＝7，整理可得tan2θ－4tan θ＋4＝0，∴tan θ＝2，故选D.

答案：D

考点二

例1　解析：(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.

(2)＝＝

＝＝，故选A.

答案：(1)B　(2)A

变式练

1．解析：cos2＝＝＋sin 2α＝＋×＝.

答案：D

2．解析：由cos(α＋)－sin α＝cos α－sin α－sin α＝cos α－sin α＝(cos α－sin α)＝cos＝sin＝，得sin＝.sin＝－sin＝－sin＝－.

答案：－

3．解析：(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2.

答案：2

考点三

例2　解析：(1)∵tan＝－2，∴tan＝tan＝＝＝－，故选A.

(2)∵α、β都是锐角，∴0<α＋β<π，－<α－β<.又∵cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，∴sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝－.∵cos 2α＝1－2sin2α＝－，

∴sin2α＝，∵sin α>0，∴sin α＝，故选A.

答案：(1)A　(2)A

变式练

4．解析：由于α为锐角，且cos α＝，故sin α＝＝，tan α＝＝.由tan (α－β)＝＝－，解得tan β＝.

答案：

5．解析：∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝，

∴cos(30°＋2α)＝1－2sin2(15°＋α)＝1－2×＝.

答案：