2020-2021学年5 利用三角形全等测距离导学案

5 利用三角形全等测距离

【学习目标】

1. 会利用三角形全等测距离.

2. 能在解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表述.

3. 体会数学与生活的密切联系，能够利用三角形全等解决生活中的实际问题.

重点：能利用三角形的全等解决实际问题.

难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.

学习策略：探索、归纳总结。

学习过程：

.情景引入

1.全等三角形具有什么性质？

2.判定两个三角形全等的条件有哪些？

【问题导学】

1、如图，根据下列各小题的要求完成填空：

(1)若∠DAC＝∠BAC，添加___________时,△ACD≌△ACB(SAS)

(2)若∠DAC＝∠BAC，添加___________时,△ACD≌△ACB(ASA)

(3) 若∠DAC＝∠BAC，添加___________时,△ACD≌△ACB(AAS)

(4) 若AD＝AB，添加___________时,△ACD≌△ACB(SSS)

2、你能利用三角形全等知识测量一些无法接近的距离吗？

1.阅读课本第108页“想一想”之前的问题，回答下列问题：

（1）把这一故事转化为实际问题，实际是让说明___________

（2）本题中，要证___________可通过证明它们所在的两个三角形全等，即________________，进而得到___________.

（3）要证两个三角形全等，需要_______个条件，你能在题目中找到吗？

【自学检测】

1.完成课本第108页“想一想”，说明其中的道理。

2.用下面的方法解决“想一想”的问题, 说明其中的道理。

3、如图是一个池塘，现要在池塘两侧A、B架设电线塔，由于无法直接测出A、B的距离，请你设计一个方案，测出A、B的距离，并说明理由.

4、如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是(      )

 A、SSS    B、ASA    C、AAS   D、SAS

三尝试应用

1.如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由？

（四）自主总结

能利用三角形的全等解决实际问题，能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。

（五）达标测试

一、选择题

1．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，如图，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（　　）

A．SAS      B．ASA     C．SSS     D．HL

2．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　）

A．SAS     B．ASA   C．AAS  D．SSS

3．如图：要测河岸相对两点A、B间距离，先从B出发与AB成90°角方向，向前走50米到C立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为17米．这一作法的理论依据是（　　）

A．SSS   B．SAS      C．ASA      D．AAS

二、填空题

4．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB=　    　．

5．如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站　   　千米的地方．

6．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH，小明是通过全等三角形的识别得到的结论，请问小明用的识别方法是　   　（用字母表示）．

三、解答题

7．如图，A、B两点分别位于一个假山两边，请你利用全等三角形的知识设计一种测量A、B间距离的方案，并说明其中的道理．

（1）测量方案：

（2）理由：

8.小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？

9．如图所示，在铁路线CD同侧有两个村庄A，B，它们到铁路线的距离分别是15km和10km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且CD=25，现在要在铁路旁建一个农副产品收购站E，使A，B两村庄到收购站的距离相等，用你学过的知识，通过计算，确定点E的位置．

参考答案

一、选择题

1．【解析】B。∵AB⊥BF，DE⊥BF，

∴∠ABC=∠EDC=90°，

在△EDC和△ABC中，

，

∴△EDC≌△ABC（ASA）．

【点评】本题主要考察了利用三角形全等测距离。结合图形根据三角形全等的判定方法解答．

2．【解析】D。在△ADC和△ABC中，

，

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠DAC=∠BAC，

即∠QAE=∠PAE．

【点评】本题主要考察了利用三角形全等测距离。在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．

3．【解析】：C。∵先从B处出发与AB成90°角方向，

∴∠ABC=90°，

在△ABC和△EDC中，

∴△ABC≌△EDC（ASA），

∴AB=DE，

∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17

∴AB=17．

【点评】本题主要考察了利用三角形全等测距离。根据已知条件求证△ABC≌△EDC，利用其对应边相等的性质即可求得AB．

二、填空题

4.【解析】∵点C是AD的中点，也是BE的中点，

∴AC=DC，BC=EC，

∵在△ACB和△DCE中，

，

∴△ACB≌△DCE（SAS），

∴DE=AB=20米

答案：20米

【点评】本题主要考察了利用三角形全等测距离。根据题目中的条件可证明△ACB≌△DCE，再根据全等三角形的性质可得AB=DE，进而得到答案．

5．【解析】设AE=x千米，则BE=（36﹣x）千米，

在Rt△AEC中，CE2=AE2+AC2=x2+242，

在Rt△BED中，DE2=BE2+BD2=（36﹣x）2+122，

∵CE=ED，

∴x2+242=（36﹣x）2+122，解得x=12，

所以E站应建在距A站12千米的地方，能使蔬菜基地C、D到E的距离相等．

答案：12

【点评】本题主要考察了利用三角形全等测距离。设AE=x千米，则BE=（36﹣x）千米，分别在Rt△AEC和Rt△BED中，利用勾股定理表示出CE和ED，然后通过CE=ED建立方程，解方程即可．

6．【解析】：∵在△DEH和△DFH中，

∴△DEH≌△DFH（SSS），

∴∠DEH=∠DFH

答案：SSS．

【点评】本题主要考察了利用三角形全等测距离。根据题目中的条件DE=DF，EH=FH，再加上公共边DH=DH，可利用SSS证明△DEH≌△DFH，再根据全等三角形的性质可得∠DEH=∠DFH．

三、解答题

7．【解析】： 1）测量方案：先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；

（2）理由：

在△EDC和△ABC中，

，

∴△EDC≌△ABC（SAS），

∴ED=AB（全等三角形对应边相等），

即DE的距离即为AB的长．

【点评】本题主要考察了利用三角形全等测距离。（1）先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；

（2）利用SAS证明△EDC≌△ABC，根据全等三角形的对应边相等得到ED=AB．

8【解析】∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，

∴∠DCP=∠APB=54°，

在△CPD和△PAB中

∵，

∴△CPD≌△PAB（ASA），

∴DP=AB，

∵DB=36，PB=10，

∴AB=36﹣10=26（m），

答：楼高AB是26米．

【点评】本题主要考察了利用三角形全等测距离。根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．

9．答案：E点在距离C点10km处．

：【解析】设CE=xkm，则DE=（25﹣x）km，

∵AC⊥CD，BD⊥CD，

∴△ACE和△BDE都是直角三角形，

在Rt△ACE中，AE2=152+x2，

在Rt△BDE中，BE2=102+（25﹣x）2，

∵AE=BE，

∴152+x2=102+（25﹣x）2，

解得：x=10，

∴E点在距离C点10km处

【点评】本题主要考察了利用三角形全等测距离。产品收购站E，使得A、B两村到E站的距离相等，在Rt△DBE和Rt△CAE中，设出CE的长，可将AE和BE的长表示出来，列出等