江西省抚州市东乡区红星中学2021-2022学年中考数学模拟试题含解析

这是一份江西省抚州市东乡区红星中学2021-2022学年中考数学模拟试题含解析，共21页。试卷主要包含了下列各式计算正确的是，cs45°的值是，下列说法中正确的是，计算3÷2的结果是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．长度单位1纳米米，目前发现一种新型病毒直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
2．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　）
A． B．
C． +4＝9 D．
3．计算（﹣）﹣1的结果是（　　）
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
4．下列各式计算正确的是（ ）
A．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2 B．2a3+a3=3a6
C．a3•a=a4 D．（﹣a2b）3=a6b3
5．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（　　）

A． cm B．cm C．cm D． cm
6．cos45°的值是（     ）
A．                                         B．                                         C．                                         D．1
7．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k<5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>5
8．下列说法中正确的是（ ）
A．检测一批灯泡的使用寿命适宜用普查.
B．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是，如果抛掷10次，就一定有5次正面朝上.
C．“367人中有两人是同月同日生”为必然事件.
D．“多边形内角和与外角和相等”是不可能事件.
9．下列所给函数中，y随x的增大而减小的是（　　）
A．y=﹣x﹣1 B．y=2x2（x≥0）
C． D．y=x+1
10．计算(－ab2)3÷(－ab)2的结果是(　　)
A．ab4 B．－ab4 C．ab3 D．－ab3
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．大型纪录片《厉害了，我的国》上映25天，累计票房约为402700000元，成为中国纪录电影票房冠军．402700000用科学记数法表示是________．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为______．

13．等腰三角形一边长为8，另一边长为5，则此三角形的周长为_____．
14．某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是___岁．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=12，若以点A为圆心， AC为半径的弧交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径的弧交AB于点D，则图中阴影部分图形的面积为__（保留根号和π）

16．如图，在边长为1的正方形格点图中，B、D、E为格点，则∠BAC的正切值为_____．

17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标（6，0），B的坐标（0，8），点C的坐标（﹣2，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间为t秒（t＞0），△OMN的面积为S．则：AB的长是_____，BC的长是_____，当t＝3时，S的值是_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，
求证：AF=DC；若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
19．（5分）解分式方程：
- =
20．（8分）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．

（1）求证：DE＝DB：
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；
（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长
21．（10分）如图,已知二次函数与x轴交于A、B两点,A在B左侧,点C是点A下方,且AC⊥x轴.
(1)已知A(－3，0),B(－1，0),AC=OA．
①求抛物线解析式和直线OC的解析式；
②点P从O出发,以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动,Q从O出发,以每秒个单位的速度沿OC方向运动,运动时间为t.直线PQ与抛物线的一个交点记为M,当2PM=QM时,求t的值(直接写出结果,不需要写过程)
(2)过C作直线EF与抛物线交于E、F两点(E、F在x轴下方),过E作EG⊥x轴于G,连CG,BF,求证：CG∥BF

22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为( )

A．40° B．55° C．65° D．75°
23．（12分）我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为______°.
(2)若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为_______人.
(3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率.

24．（14分）（定义）如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
（运用）如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）两点．
（1）C（4，），D（4，），E（4，）三点中，点　 　是点A，B关于直线x=4的等角点；
（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan=；
（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．




参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、D
【解析】
先将25 100用科学记数法表示为2.51×104，再和10-9相乘，等于2.51×10-5米．
故选D
2、A
【解析】
根据轮船在静水中的速度为x千米/时可进一步得出顺流与逆流速度，从而得出各自航行时间，然后根据两次航行时间共用去9小时进一步列出方程组即可.
【详解】
∵轮船在静水中的速度为x千米/时，
∴顺流航行时间为：，逆流航行时间为：，
∴可得出方程：，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握顺流与逆流速度的性质是解题关键．
3、D
【解析】
根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【详解】
解： ，
故选D．
【点睛】
本题考查了负整数指数幂，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．
4、C
【解析】
各项计算得到结果，即可作出判断．
解：A、原式=4a2﹣b2，不符合题意；
B、原式=3a3，不符合题意；
C、原式=a4，符合题意；
D、原式=﹣a6b3，不符合题意，
故选C．
5、B
【解析】
试题解析：∵菱形ABCD的对角线

根据勾股定理，
设菱形的高为h，
则菱形的面积
即
解得
即菱形的高为cm．
故选B．
6、C
【解析】
本题主要是特殊角的三角函数值的问题，求解本题的关键是熟悉特殊角的三角函数值.
【详解】
cos45°= .
故选：C.
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值.
7、B
【解析】
试题解析：∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选B．
8、C
【解析】
【分析】根据相关的定义(调查方式，概率，可能事件，必然事件)进行分析即可.
【详解】
A. 检测一批灯泡的使用寿命不适宜用普查，因为有破坏性；
B. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是，如果抛掷10次，就可能有5次正面朝上，因为这是随机事件；
C. “367人中有两人是同月同日生”为必然事件.因为一年只有365天或366天，所以367人中至少有两个日子相同；
D. “多边形内角和与外角和相等”是可能事件.如四边形内角和和外角和相等.
故正确选项为：C
【点睛】本题考核知识点：对(调查方式，概率，可能事件，必然事件)理解. 解题关键：理解相关概念，合理运用举反例法.
9、A
【解析】
根据二次函数的性质、一次函数的性质及反比例函数的性质判断出函数符合y随x的增大而减小的选项．
【详解】
解：A．此函数为一次函数，y随x的增大而减小，正确；
B．此函数为二次函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，错误；
C．此函数为反比例函数，在每个象限，y随x的增大而减小，错误；
D．此函数为一次函数，y随x的增大而增大，错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，掌握函数的增减性是解决问题的关键．
10、B
【解析】
根据积的乘方的运算法则，先分别计算积的乘方，然后再根据单项式除法法则进行计算即可得，
(-ab2)3÷(-ab)2
=-a3b6÷a2b2
=-ab4，
故选B.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、4.027
【解析】
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
详解：4 0270 0000用科学记数法表示是4.027×1．
故答案为4.027×1．
点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12、
【解析】
试题解析：连接AE，

在Rt三角形ADE中，AE=4，AD=2，
∴∠DEA=30°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEA=30°，
∴的长度为：=.
考点：弧长的计算.
13、18或21
【解析】
当腰为8时，周长为8+8+5=21；
当腰为5时，周长为5+5+8=18.
故此三角形的周长为18或21.
14、1．
【解析】
根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案．
【详解】
解：∵该班有40名同学，
∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数．
∵14岁的有1人，1岁的有21人，
∴这个班同学年龄的中位数是1岁．
【点睛】
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），熟练掌握中位数的定义是本题的关键．
15、15π−18.
【解析】
根据扇形的面积公式：S=分别计算出S扇形ACE，S扇形BCD，并且求出三角形ABC的面积，最后由S阴影部分=S扇形ACE+S扇形BCD-S△ABC即可得到答案．
【详解】
S阴影部分=S扇形ACE+S扇形BCD-S△ABC，
∵S扇形ACE==12π，
S扇形BCD==3π，
S△ABC=×6×6=18，
∴S阴影部分=12π+3π−18=15π−18.
故答案为15π−18.
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形的面积公式.
16、
【解析】
根据圆周角定理可得∠BAC=∠BDC，然后求出tan∠BDC的值即可．
【详解】
由图可得，∠BAC=∠BDC，
∵⊙O在边长为1的网格格点上，
∴BE=3，DB=4，
则tan∠BDC==
∴tan∠BAC=
故答案为
【点睛】
本题考查的知识点是圆周角定理及其推论及解直角三角形，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理及其推论及解直角三角形.
17、10， 1， 1
【解析】
作CD⊥x轴于D，CE⊥OB于E，由勾股定理得出AB＝10，OC＝＝1，求出BE＝OB﹣OE＝4，得出OE＝BE，由线段垂直平分线的性质得出BC＝OC＝1；当t＝3时，N到达C点，M到达OA的中点，OM＝3，ON＝OC＝1，由三角形面积公式即可得出△OMN的面积．
【详解】
解：作CD⊥x轴于D，CE⊥OB于E，如图所示：
由题意得：OA＝1，OB＝8，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝10；
∵点C的坐标（﹣2，4），
∴OC＝＝1，OE＝4，
∴BE＝OB﹣OE＝4，
∴OE＝BE，
∴BC＝OC＝1；当t＝3时，N到达C点，M到达OA的中点，OM＝3，ON＝OC＝1，
∴△OMN的面积S＝×3×4＝1；
故答案为：10，1，1．

【点睛】
本题考查了勾股定理、坐标与图形性质、线段垂直平分线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE．
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD．
在△AFE和△DBE中，
∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED， AE=DE，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
∴AF=BD．
∴AF=DC．
（2）四边形ADCF是菱形，证明如下：
∵AF∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=DC．
∴平行四边形ADCF是菱形
19、方程无解
【解析】
找出分式方程的最简公分母，去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再代入最简公分母进行检验即可．
【详解】
解：方程的两边同乘（x＋1）（x−1），
得:,

，
∴此方程无解
【点睛】
本题主要考查了解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③验根.
20、（1）见解析；（2）2 （3）1
【解析】
（1）通过证明∠BED=∠DBE得到DB=DE；
（2）连接CD，如图，证明△DBC为等腰直角三角形得到BC=BD=4，从而得到△ABC外接圆的半径；
（3）证明△DBF∽△ADB，然后利用相似比求AD的长．
【详解】
（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠BED=∠1+∠3=∠2+∠4=∠5+∠4=∠DBE，
∴DB=DE；
（2）解：连接CD，如图，

∵∠BAC=10°，
∴BC为直径，
∴∠BDC=10°，
∵∠1=∠2，
∴DB=BC，
∴△DBC为等腰直角三角形，
∴BC=BD=4，
∴△ABC外接圆的半径为2；
（3）解：∵∠5=∠2=∠1，∠FDB=∠BDA，
∴△DBF∽△ADB，
∴=，即=，
∴AD=1．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
21、 (1)①y=－x2－4x－3；y=x；②t= 或；（2）证明见解析.
【解析】
(1)把A(－3，0),B(－1，0)代入二次函数解析式即可求出；由AC=OA知C点坐标为(-3,-3),故可求出直线OC的解析式；②由题意得OP=2t,P(－2t，0)，过Q作QH⊥x轴于H,
得OH=HQ=t,可得Q(－t,－t),直线 PQ为y＝－x－2t，过M作MG⊥x轴于G,由，则2PG＝GH，由，得， 于是，解得，从而求出M(－3t,t)或M（），再分情况计算即可； (2) 过F作FH⊥x轴于H，想办法证得tan∠CAG=tan∠FBH，即∠CAG=∠FBH，即得证.
【详解】

解：(1)①把A(－3，0),B(－1，0)代入二次函数解析式得解得
∴y=－x2－4x－3；
由AC=OA知C点坐标为(-3,-3),∴直线OC的解析式y=x；
②OP=2t,P(－2t，0)，过Q作QH⊥x轴于H,
∵QO=,∴OH=HQ=t,
∴Q(－t,－t),∴PQ：y＝－x－2t，
过M作MG⊥x轴于G,
∴，
∴2PG＝GH
∴，即，
∴ ，
∴，
∴M(－3t,t)或M（）
当M(－3t,t)时：，
∴
当M（）时：，
∴
综上：或
(2)设A(m,0)、B(n,0),
∴m、n为方程x2－bx－c=0的两根，
∴m+n=b,mn＝－c,
∴y＝－x2+(m+n)x－mn＝－(x－m)(x－n),
∵E、F在抛物线上，设、，
设EF：y＝kx+b,
∴ ，
∴
∴
∴，令x＝m
∴
＝
∴AC=,
又∵,
∴tan∠CAG=，
另一方面：过F作FH⊥x轴于H，
∴，，
∴tan∠FBH=
∴tan∠CAG=tan∠FBH
∴∠CAG=∠FBH
∴CG∥BF

【点睛】
此题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质及正确作出辅助线进行求解.
22、C．
【解析】
试题分析：由作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，
∵∠CAB=50°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，
故选C．
考点：作图—基本作图．
23、（1）60，30；；（2）300；（3）
【解析】
（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；
∵了解部分的人数为60﹣（15+30+10）=5，
∴扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°=30°；
故答案为60，30；
（2）根据题意得：900×=300（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人，
故答案为300；
（3）画树状图如下：

所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A的情况有2种，
所以P（抽到女生A）==．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24、（1）C（2）（3）b＜﹣且b≠﹣2或b＞
【解析】
（1）先求出B关于直线x=4的对称点B′的坐标，根据A、B′的坐标可得直线AB′的解析式，把x=4代入求出P点的纵坐标即可得答案；（2）如图：过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P，作BH⊥l于点H，根据对称性可知∠APG=A′PG，由∠AGP=∠BHP=90°可证明△AGP∽△BHP，根据相似三角形对应边成比例可得m=
根据外角性质可知∠A=∠A′=，在Rt△AGP中，根据正切定义即可得结论；（3）当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q
根据对称性质可证明△ABQ是等边三角形，即点Q为定点，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合，所以直线y=ax+b（a≠0）过定点Q，连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N，可证明△AMO∽△ONQ，根据相似三角形对应边成比例可得ON、NQ的长，即可得Q点坐标，根据A、B、Q的坐标可求出直线AQ、BQ的解析式，根据P与A、B重合时b的值求出b的取值范围即可.
【详解】
（1）点B关于直线x=4的对称点为B′（10，﹣），
∴直线AB′解析式为：y=﹣，
当x=4时，y=，
故答案为：C
（2）如图，过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P
作BH⊥l于点H
∵点A和A′关于直线l对称
∴∠APG=∠A′PG
∵∠BPH=∠A′PG
∴∠APG=∠BPH
∵∠AGP=∠BHP=90°
∴△AGP∽△BHP
∴，即，
∴mn=2，即m=，
∵∠APB=α，AP=AP′，
∴∠A=∠A′=，
在Rt△AGP中，tan

（3）如图，当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，
点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方
若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q
由对称性可知：∠APQ=∠A′PQ，
又∠APB=60°
∴∠APQ=∠A′PQ=60°
∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°
∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ
∴△ABQ是等边三角形
∵线段AB为定线段
∴点Q为定点
若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合
∴直线y=ax+b（a≠0）过定点Q
连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N
∵A（2，），B（﹣2，﹣）
∴OA=OB=
∵△ABQ是等边三角形
∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=，
∴∠AOM+∠NOD=90°
又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO
∵∠AMO=∠ONQ=90°
∴△AMO∽△ONQ
∴,
∴，
∴ON=2，NQ=3，∴Q点坐标为（3，﹣2）
设直线BQ解析式为y=kx+b
将B、Q坐标代入得
，
解得
，
∴直线BQ的解析式为：y=﹣，
设直线AQ的解析式为：y=mx+n，
将A、Q两点代入，
解得 ，
∴直线AQ的解析式为：y=﹣3，
若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时，b=﹣，
若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，b=，
又∵y=ax+b（a≠0），且点P位于AB右下方，
∴b＜﹣ 且b≠﹣2或b＞.
【点睛】
本题考查对称性质、相似三角形的判定与性质、根据待定系数法求一次函数解析式及锐角三角函数正切的定义，熟练掌握相关知识是解题关键.