浙江省杭州市第十四中学2023届高三上学期9月月考数学试题（Word版附答案）

杭十四中二O二二学年第一学期高三数学学科九月练习试题

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集为，集合，则（）

A.  B.  C.  D.

2. 设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（   ）

A.  B.

C.  D. 2

3. 已知均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题

其中真命题是（）

A.  B.  C.  D.

4. “莱洛三角形”是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.“莱洛三角形”在实际生活中有非常重要的用途，“转子发动机”的核心零部件为“曲侧面三棱柱”，而该“曲侧面三棱柱”的底面就是“莱洛三角形”.如图是一个底面为莱洛三角形的曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，高为5，且底面任意两顶点之间的距离为4，则其表面积为（）

A.  B.  C.  D.

5. 有六条线段，其长度分别为.现任取三条，则这三条线段在可以构成三角形的前提下，能构成钝角三角形的概率是（）

A.  B.  C.  D.

6. 函数，已知为图象一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（）

A.  B.  C.  D.

7. 在正三棱柱中，若三棱锥的体积等于底面三角形边长的倍，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（）

A.  B.  C.  D.

8. 设，则（）

A.  B.

C.  D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知函数，下列结论中正确的有（）

A.

B. 函数的图象是中心对称图形

C. 若是的极小值点，则在区间单调递减

D. 若是的极值点，则

10. 已知抛物线C：的焦点为F，点P在抛物线C上，，若为等腰三角形，则直线AP的斜率可能为（）

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（）

A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B. 存在点Q，使平面MBN

C. 三棱锥P-MBN的体积为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为

12. 已知直线y=a与曲线相交于A，B两点，与曲线相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则（）

A.  B.  C.  D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若函数称为“准奇函数”，则必存在常数，使得对定义域内的任意值，均有，请写出一个的“准奇函数”(填写解析式)：___________.

14. 已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.

15. 的展开式中的系数为___________.（用数字作答）

16. 椭圆（焦点在轴上）的上､下顶点分别为，点在椭圆上，平面四边形满足，且，则该椭圆的离心率为___________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，.

（1）求数列和通项公式；

（2）令，抽去数列的第3项､第6项､第9项､.....第项､....，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，求数列的前2023项和.

18. 如图，在中，，，点在线段上．

(Ⅰ) 若，求的长；

（Ⅱ） 若，的面积为，求的值．

19. 如图，在三棱柱中，所有棱长均为.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.

20. 新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：

单位：人

（1）根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；

（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，求X的分布列及数学期望．

附：，．

21. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．

22. 已知函数.

（1）当a=-1时，求曲线y=在点处的切线方程；

（2）若>a，求实数a的取值范围.

1. 已知全集为，集合，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

2. 设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（   ）

A.  B.

C.  D. 2

【答案】C

3. 已知均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题

其中真命题是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

4. “莱洛三角形”是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.“莱洛三角形”在实际生活中有非常重要的用途，“转子发动机”的核心零部件为“曲侧面三棱柱”，而该“曲侧面三棱柱”的底面就是“莱洛三角形”.如图是一个底面为莱洛三角形的曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，高为5，且底面任意两顶点之间的距离为4，则其表面积为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

5. 有六条线段，其长度分别为.现任取三条，则这三条线段在可以构成三角形的前提下，能构成钝角三角形的概率是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

6. 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

7. 在正三棱柱中，若三棱锥的体积等于底面三角形边长的倍，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

8. 设，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

9. 已知函数，下列结论中正确的有（）

A.

B. 函数的图象是中心对称图形

C. 若是的极小值点，则在区间单调递减

D. 若是的极值点，则

【答案】ABD

10. 已知抛物线C：的焦点为F，点P在抛物线C上，，若为等腰三角形，则直线AP的斜率可能为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（）

A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B. 存在点Q，使平面MBN

C. 三棱锥P-MBN的体积为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为

【答案】ABC

12. 已知直线y=a与曲线相交于A，B两点，与曲线相交于B，C两点，A，B，C横坐标分别为x1，x2，x3，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

13. 若函数称为“准奇函数”，则必存在常数，使得对定义域内的任意值，均有，请写出一个的“准奇函数”(填写解析式)：___________.

【答案】(答案不唯一)

14. 已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.

【答案】4

15. 的展开式中的系数为___________.（用数字作答）

【答案】

16. 椭圆（焦点在轴上）的上､下顶点分别为，点在椭圆上，平面四边形满足，且，则该椭圆的离心率为___________.

【答案】

17. 已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，抽去数列的第3项､第6项､第9项､.....第项､....，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，求数列的前2023项和.

【答案】（1）

（2）

小问1详解】

由题意，，整理得，解得或，

因为公比，所以，则，

所以，；

【小问2详解】

由（1）可得，

当时，

，

当时，，

故.

18. 如图，在中，，，点在线段上．

(Ⅰ) 若，求的长；

（Ⅱ） 若，的面积为，求的值．

【答案】(1)；(2).

【详解】（I）在三角形中，∵，∴．

在中，由正弦定理得，

又，，．∴．

（II）∵，∴，，

又，∴，

∵，∴，

∵，，

，∴，

在中，由余弦定理得．

∴，∴．

19. 如图，在三棱柱中，所有棱长均为.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.

【小问1详解】

取中点，连接则.

，，∴△为等边三角形，

，

∵，，

，，

平面，

平面，∴平面平面.

【小问2详解】

由题可知二面角的正弦值与二面角正弦值相等.

平面，过作于点，连接，

即为所求二面角的平面角，

∵，，

.

故二面角的正弦值为.

20. 新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：

单位：人

（1）根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；

（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，求X的分布列及数学期望．

附：，．

【答案】（1）购车种类与性别有关；

（2）X的分布列见解析，.

【小问1详解】

设零假设为：购车种类与性别无关，

根据数表可得，

所以零假设是错的，即在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，可以认为购车种类与性别有关.

【小问2详解】

随机抽取1辆汽车属于传统燃油汽车的概率为，

被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，X的可能值为：0，1，2，3，

依题意，，，

，，

，
 

所以X的分布列为：

X的数学期望.

21. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．

【答案】（1），；（2）

详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，

可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，

所以，解得

因此，椭圆C的方程为．

因为圆O的直径为，所以其方程为．

（2）①设直线l与圆O相切于，则，

所以直线l的方程为，即．

由，消去y，得

．（*）

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

所以．

因为，所以．

因此，点P的坐标为．

②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．

设，

由（*）得，

所以

．

因为，

所以，即，

解得舍去），则，因此P的坐标为．

综上，直线l的方程为．

22. 已知函数.

（1）当a=-1时，求曲线y=在点处的切线方程；

（2）若>a，求实数a的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

当时，，

切点切线方程为，即.

【小问2详解】

①当时，，此时，

令.

当时，在上单调递减

当时，在上单调递增

所以，又则

又，所以

，此时符合题意

②当时，

令，，则在上单调递增

又，

存在唯一的使且

所以

当时，，由

则在上单调递减，

当时，，由

当时，在上单调递增，则

所以当时，，所以在上单调递增

所以，由题意则

设，则上恒成立，所以在上单调递增.

此时，即

综上所述：实数的取值范围为.