2022-2023学年浙江省杭州市高三上学期开学检测数学试题及答案

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市高三上学期开学检测数学试题及答案，共26页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卷两部分，考试结束，只需上交答题卡， 已知函数．下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!
3.考试结束，只需上交答题卡.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解法以及对数函数性质可求得集合,根据集合的并集运算即可求得答案.
【详解】由题意可得，
故，
故选：D.
2. 若复数（其中i为虚数单位），则（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由除法运算化简复数，再根据定义求模即可.
【详解】因为，则.
故选：C．
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角恒等变换及齐次式弦化切，即可求值.
【详解】.
故选：A．
4. 已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移个单位长度得到函数的图象，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出函数与的图象，数形结合可得出不等式的解集.
【详解】根据图中信息作出函数、的图象如下图所示：
因为，则，且，
由图可知，不等式的解集为.
故选：C.
5. 已知非零向量的夹角的余弦值为，且，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】结合向量数量积运算及向量垂直的表示，可得关于的齐次方程，即可进一步求得的值.
【详解】由得.
∴，令，∴，解得或（舍去）.
故选：A.
6. 冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）
①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1；③均值为3，众数为4；④均值为2，标准差为．
A. ①③B. ③④C. ②③D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数、众数、平均数、标准差等知识确定正确答案.
【详解】任意连续7天，每天不超过5人体温高于的人数为2，2，2，3，3，4，6，
则满足中位数是3，众数为2，但第7天是6人高于5人，故①错误；
任意连续7天，每天不超过5人体温高于的人数为0，1，2，4，4，4，6，
则满足均值是3，众数为4，但第7天是6人高于5人，故③错误；
对于②，将个数据从小到大排列为，
，，所以，
由于是自然数，且，
所以都不超过，②正确
对于④，将个数据从小到大排列为，
，，
，
，
由于是自然数，若自然数大于，则，矛盾，
所以都不超过，④正确.
综上所述，正确的为②④.
故选:D
7. 已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设的中点为M，根据求出r，进而得到M点横坐标；再设直线，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k．
【详解】设的中点为M，轴于点N，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，如下图：
由抛物线的定义知，
故，
所以，
即，
解得或（舍去），
故M的横坐标为，
设直线，
将代入，
得，
则，
解得，
故直线l的方程为．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．
8. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设切点为，结合导数法有，则存在两条切线等价于方程有两个不同正解，结合判别式法及韦达定理列不等式组即可化简判断选项.
【详解】设切点为，则，∴，则，
化简得：①，则，
∵过点可以作曲线的两条切线，∴方程①有两个不同正解，∴，∴.
故选：B．
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数．下列命题中正确的是（ ）
A. 的图象是轴对称图形，不是中心对称图形
B. 在上单调递增，在上单调递减
C. 的最大值为，最小值为0
D. 的最大值为，最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用函数对称的结论，即可验证选项A,由，知和在定义域内的单调性相同，可验证选项B,通过单调性，即可求得最大值和最小值.
【详解】对于选项A，由，得的对称轴为直线，因此的图象是轴对称图形，不是中心对称图形．对于选项BCD，因为，函数和在定义域内的单调性相同，而在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，取到最大值；当或3时，取到最小值．
故选：ABD.
10. 甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件与事件相互独立B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由题设求出、，利用条件概率公式、全概率公式判断B、C、D，根据是否相等判断事件的独立性.
【详解】由题意，，，
先发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则，
先发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则，
先发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则，
所以，B正确；，，
，C错误；
则，，，A错误；
，D正确.
故选：BD
11. 若函数在区间上单调递增，则（ ）
A. 存在，使得函数为奇函数
B. 函数的最大值为
C. 的取值范围为
D. 存在4个不同的，使得函数的图象关于直线对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A选项，计算，得到其与的关系即可判断，对B选项，根据正弦函数的值域即可求出的最大值，对C选项，根据在区间上单调递增，得到不等式组，解出即可，对D选项，令，解出，再结合C选项范围则可得到的值.
【详解】解：，定义域为，
不恒成立，
则不存在，使得函数为奇函数，故A错误;
由，得，则的最大值为，故B正确;
由于在区间上单调递增，故,
解第一个不等式得，,故，解二式得，故，
又，所以，故C正确;
令，，解得，，
由知的取值为，，，，共4个值，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题的难点在于C,D选项的判断，根据的某个单调增区间，则其整体应该在，即应该是后者的子集，再结合，从而得到关键的不等式组，解出范围，而D选项我们采取代入法，将代入则内部整体应等于对称轴通项即，再结合范围，则得到所有取值.
12. 已知函数，设为实数，且．下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 不等式的解集为
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，由可判断；对B，根据函数单调递增可求解；对CD，根据的性质画出函数图象，表示出直线的方程，根据均在直线上方建立不等关系可得.
【详解】对A，，函数的图象关于点对称，故A正确；
对B，在上单调递增，且，则化为，则，解得，故不等式的解集为，故B正确；
对CD，，则可得，且关于点对称，在上单调递增，可得函数图象如下：
均在直线上方，其中直线的方程为，
则可得，，
所以，
，
，即，故C错误，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出函数的对称性和单调性画出函数图象，数形结合求解.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中的系数为_______________.
【答案】40
【解析】
【分析】利用展开式的通项，令的指数等于3和1，即得展开式中的系数.
【详解】因为的展开式的通项，
令和，可得的系数为.
故答案为：40.
14. 将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
【答案】##
【解析】
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当时
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
15. 已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线的离心率e的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设出切线方程，联立双曲线方程消元得一元二次方程，则两条切线等价于有两个不等实根，即可进一步列判别式不等式求得参数范围，从而求得离心率的取值范围.
【详解】设切线方程为代入得，易得，
由，由题意此方程有两个不等的实根，故，则，所以，即，
又代入得，所以，
故离心率e的取值范围为．
故答案为：．
16. 已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知得出，对恒成立，而在，上，，可得，将化为，令，根据导数得出其单调性，则可化为，即可根据单调性得出，令，根据导数得出，即可得出
，即可得出答案.
【详解】，对恒成立，
则，对恒成立，
，，
，，
则要满足，则，即，
化为：，
两边乘得：，
令，则，
令，解得，
则在上单调递增，
不等式，对恒成立，
即时，恒成立，
则可化为：，
当，时，，，
则根据单调性可得，
则，
令，则，
令，解得，即在上单调递增，
令，解得，即上单调递减，
则，
则，即，
，
综上，
故答案为.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知等比数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由数列是公比为2的等比数列，写出通项公式，用求得通项公式.
(2)考查用错位相减法求和,写出，，两式错位作差，化简.
【小问1详解】
，①时，，②
①-②，∵为等比数列∴∴
【小问2详解】
，∴，①
，②
①-②得，
∴.
18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算作答.
（2）由（1）的结论，利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答.
【小问1详解】
在中，，由正弦定理得：，
整理得，由余弦定理得：，而，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，由正弦定理得：，
则，而，令，
在锐角中，，解得，，
于是得，则，
所以周长的取值范围是.
19. 已知函数满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的方程恰有四个不同的实根，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）构造等式，即可解得的解析式；
（2）对k的符号分类讨论，其中时，由参变分离可得恰有四个不相等的实根，结合对勾函数性质数形结合讨论即可.
【小问1详解】
由题意得：，∴，
解得；
【小问2详解】
i.当时，明显无解；
ii.当时，只有一个实根，不符合条件；
iii.当时，恰有四个不相等的实根.
∴与共有四个不相等的实根.
∴解得或，∴或，
∴实数k的取值范围是．
20. 第届冬季奥运会将于年月日在北京开幕，本次冬季奥运会共设个大项，个分项，个小项.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经过计算可得.
（1）求的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；
（2）①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取人，再从这人中抽取人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；
②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为，求的数学期望.
附表：
附：.
【答案】（1），有的把握；
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）完善列联表，根据的计算可得出关于的等式，即可解得正整数的值，结合临界值表可得出结论；
（2）①分析可知这人中男生的人数为，女生的人数为，利用组合计数原理结合古典概型和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
②分析可知，利用二项分布的期望公式可求得的值.
【小问1详解】
解：列联表如下表所示：
，，可得，
，
因此，有的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；
【小问2详解】
解：①采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取人，
这人中男生的人数为，女生的人数为，
再从这人中抽取人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为；
②由题意可知，故.
21. 已知椭圆的离心率为，上顶点为M，下顶点为N，，设点在直线上，过点T的直线分别交椭圆C于点E和点F．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：直线恒过定点，并求出该定点；
（3）若的面积为的面积的k倍，则当t为何值时，k取得最大值？
【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）由短轴长及离心率求得参数，可得标准方程；
（2）分别联立直线、直线与椭圆的方程，解出坐标，即可写出直线方程，判断定点；
（3）设EF交y轴与P，由得到关于t的齐次式函数，结合均值不等式讨论最值即可.
【小问1详解】
由题意可得
由椭圆的离心率为可得，
所以椭圆C的标准方程为．
【小问2详解】
由题意知直线的方程为，直线的方程为．
由，得．同理，．
所以 ，
所以直线的方程为：，即，
所以，直线过定点．
【小问3详解】
设EF交y轴与P，则
．
因为，所以．
当且仅当，即时，等号成立．所以当时，k取得最大值．
【点睛】方法点睛：（1）直线过顶点问题，一般可写出直线方程，通过方程判断定点，本题直线上的点由其它直线与圆锥曲线相交所得，故可联立直线与圆锥曲线求得交点，即可写出直线方程。
（2）最值问题，一般写出对应的函数式，进而讨论最值，本题为面积比值的最值，考虑到已知的点的坐标，可以用拼凑法表示面积.
22. 已知函数
（1）若1是的极值点，求a的值；
（2）求的单调区间：
（3） 已知有两个解，
（i）直接写出a的取值范围；（无需过程）
（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意，当时都有，求λ的取值范围.
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）求导后，利用极值点的定义可知，从而求得；
（2）分类讨论与，可得的单调情况；
（3）（i）构造，分类讨论与时的图像性质，由极大值得到，再分类讨论区间与上零点的情况可确定a的取值范围；
（ii）对进行转化得，令，则，构造函数证得，分类讨论与两种情况，从而确定.
【小问1详解】
因为，所以，
因为1是的极值点，所以，故，故.
此时，则时，时，
所以上递增，上递减，则1是的极值点，满足题设.
综上，.
【小问2详解】
由（1）知，
当时，，故在上单调递增；
当时，令得；令得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增；
当时，上单调递增，在上单调递减，
【小问3详解】
（i）由得，即有两个解，
令，则，且在上两个零点，
当时，，故在上单调递增，则在上没有两个零点，不满足题意；
当时，令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，即的极大值为，
为使在上有两个零点，则，即，解得，
当时，易知，因为，故，
又在上单调递增，所以在有唯一零点；
当时，
令，则，
再令，则，故在上单调递增，
所以，即，故在上单调递增，
所以，因为，
所以，即，即，即，故，
所以，故，
又在上单调递减，所以在有唯一零点；
综上：当时，在上两个零点，即有两个解时，，即；
（ii）由（i）得，，，故，
又，所以，即，即，故，
令，则， 故，
设，则，
当时，，
故当时，恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，而
当时，
故存在，使得，使得，
故在为减函数，故，矛盾，舍；
综上：，即.
【点睛】方法点睛：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．男生
女生
合计
了解
不了解
合计
男生
女生
合计
了解
不了解
合计