浙江省杭州市西湖高级中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

杭西高2023年10月高一数学试卷

一、单选题

1．（2022高一上·浙江月考）下列结论不正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】元素与集合的关系

【解析】【解答】由题可知，，正确，错误.

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，进而得出结论不正确的选项。

2. 已知或，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合的交、补运算求即可.

【详解】由题设，，而，

∴.

故选：C

3. 函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由偶次根式和分式的基本要求可构造方程组求得结果.

【详解】由题意得：，解得：或，

的定义域为.

故选：D.

4．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据同一函数的定义域、对应法则均要相同的原则，判断各选项中的函数是否为同一函数即可.

【详解】A：，显然与的对应法则不同，不是同一函数；

B：的定义域为，显然与的定义域不一致，不是同一函数；

C：与对应法则、定义域均相同，是同一函数；

D：的定义域，显然与的定义域不相同，不是同一函数.

故选：C

5. 设，则“”是“方程无解”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程无解可得，解出的范围，由推出关系可得结论.

【详解】当方程无解时，，解得：；

则方程无解；方程无解；

“”是“方程无解”的必要不充分条件.

故选：B.

6．（2022高一上·浙江月考）若函数的定义域是，则函数的定义域是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【知识点】函数的定义域及其求法

【解析】【解答】函数的定义域是，即，则，

所以函数的定义域是，

则函数的定义域满足：，解得：且，

故的定义域是，，。

故答案为：B．

【分析】利用已知条件结合换元法和分式函数求定义域的方法，再结合交集的运算法则，从而得出函数g(x)的定义域。

7．（2022高一上·浙江月考）实数，，满足且，则下列关系成立的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】不等式比较大小

【解析】【解答】由可得，则，

由可得，利用完全平方可得

所以，

，

，

综上所述：。

故答案为：D

【分析】利用已知条件结合完全平方差公式和作差比较大小的方法，再利用二次函数求值域的方法，从而判断出a，b，c的大小，进而找出关系成立的选项。

8．（2022高一上·浙江月考）世界公认的三大著名数学家为阿基米德､牛顿､高斯，其中享有“数学王子"美誉的高斯提出了取整函数表示不超过的最大整数，例如.已知，则函数的值域为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明

【解析】【解答】根据题意，设，则，

在区间上，，且为增函数，则有，

在区间上，，且为增函数，则有，

综合可得：的取值范围为或，

又由，则的值域为，2，。

故答案为：B．

【分析】 利用取整函数表示不超过的最大整数，再结合分类讨论的方法和单调函数的定义，从而判断函数的单调性，从而求出函数的值域。

二、多选题

9  .ABD

10．ABD

11．B,C

12.  ABC

三、填空题

13．若，则的取值范围为　         　.

【答案】

14．已知集合，集合，则______.

【答案】

【解析】

【分析】化简集合A,B，根据交集运算即可.

【详解】因为，，

所以，

故答案为：

15．某口罩批发商在疫情期间销售口罩，口罩规格为每包100只，每包成本价10元.经过一段时间，批发商发现当以每包12元出售，每天销量800包，若每包口罩的批发价每涨1元，销售量就减少40包.当定价每包______元时，批发商可获得利润最大.

【答案】21

【解析】

【分析】根据题意得出获利的与涨价x元的函数关系，利用二次函数求最值.

【详解】设涨价为元，

则获利，

所以当时，，

所以定价为元时，批发商可获得利润最大.

16．已知，若命题“，都有成立”为假命题，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题设命题为假命题，将问题转化为时有解，结合对应二次函数的性质求参数范围即可.

【详解】由题设，使，则时，有解，

令，开口向上且对称轴为，

∴要使时，有解，则，解得.

故答案为：

四、解答题

17.[ 5,9]   [-2,1

18．（2022高一上·浙江月考）设集合，

（1）若，求；

（2）若是的真子集，求实数的取值范围；

（3）若中只有一个整数，求实数的取值范围.

【答案】（1）解：当时，，

因为，

所以或，

所以

（2）解：因为是的真子集，

所以，

因为

所以，解得，

即实数的取值范围为，

（3）解：因为中只有一个整数，或，，

所以，且，解得，

所以实数的取值范围是.

【知识点】子集与真子集；并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算

【解析】【分析】（1）利用m的值求出集合B，再利用并集、交集和补集的运算法则，进而得出 。
（2）利用 是的真子集，所以，再利用交集的运算法则和空集的定义，进而得出实数m的取值范围。
（3）利用 中只有一个整数，得出或，， 所以，再利用空集的定义，进而得出实数m的取值范围。
19.

20．（2022高一上·浙江月考）已知

（1）若，求的最小值及此时的值；

（2）若，求的最小值及此时的值；

（3）若，求的最小值及此时的值.

【答案】（1）解：，

当且仅当时，等号成立，解得；

的最小值为1，此时

（2）解：，即

当且仅当时，等号成立，解得；

的最小值为，此时

（3）解：，由，可得

当且仅当时，取号

的最小值为3，此时

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合基本不等式变形求最值的方法，再利用基本不等式满足的条件，进而得出 的最小值及此时的值。
（2） 利用已知条件结合基本不等式变形求最值的方法，再利用基本不等式满足的条件，进而得出 的最小值及此时的值。
（3）利用已知条件结合基本不等式变形求最值的方法，再利用基本不等式满足的条件，进而得出 的最小值及此时的值。

21．（2022高一上·浙江月考）已知不等式的解集为，记函数.

（1）求证：方程必有两个不同的根；

（2）若方程的两个根分别为、，求的取值范围；

（3）是否存在这样实数的、、及，使得函数在上的值域为.若存在，求出的值及函数的解析式；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明：由题意知：，所以

对于方程，恒成立，

所以方程有两个不相同的根

（2）解：因为的解集为，

所以和为方程的两根，且，

所以，即，

所以

，

因为，所以，所以

（3）解：假设存在满足题意的实数、、及，

所以

，，

所以函数图像的对称轴为，且，

所以，解得，

要使函数在上的值域为，只要即可，

①当，即时，，解得，符合题意，

②当，即时，，解得（舍去）或（舍去），

综上所述，时符合题意，此时，解得，

所以函数的表达式为.

【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的图象；二次函数在闭区间上的最值；一元二次不等式的解法；一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合判别式法证出方程有两个不相同的根 。
（2）利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法得出 和为方程的两根， 再利用根与系数的关系，进而结合韦达定理和转化的方法，从而利用t的取值范围和二次函数求值域的方法，进而得出 的取值范围 。
（3） 假设存在满足题意的实数、、及，所以，，再利用二次函数的图象的对称性和开口方向，进而得出二次函数的最小值，从而得出a的值，要使函数在上的值域为，只要即可，再利用分类讨论的方法结合二次函数的图象求最值的方法，进而求出满足要求的t的值，进而解方程组求出此时的b，c的值，从而得出函数的解析式。