福建省漳浦第一中学2021-2022学年高二下学期第二次调研考试数学试卷（含答案）

漳浦一中2021-2022学年下学期第二次调研考试

高二（数学）试卷

（时间：120分钟   满分：150分）   

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.)

1．双曲线的渐近线方程是（       ）

A．    B．      C．  D．

2．若函数的图象在点处的切线方程为，则（       ）

A．    B．     C．  D．

3．已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（       ）

A．    B．     C．  D．

4．某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程(单位：万千米)对应维修保养费用(单位：万元)的四组数据，这四组数据如下表：

若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是（       ）

A．万元    B．万元         C．万元   D．万元

5．已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（       ）

A．4    B．6     C．8   D．10

6．函数图象上一点到直线的最短距离为（       ）

A．     B．       C．   D．

7．实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是，没有平局.若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于（   ）

A．    B．     C．   D．

8．在正四棱柱中，，为的中点，点为线段上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最大值为（       ）

A．    B．     C．    D．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9．一组样本数据的平均数为，标准差为s．另一组样本数据，的平均数为，标准差为s．两组数据合成一组新数据，新数据的平均数为，标准差为，则（       ）

A．        B．            C．             D．

10．已知随机变量，满足，且，则下列说法正确的是（       ）

A．                B．

C．                        D．

11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，      ，且，下列说法正确的有（       ）

A．     

    B．该圆台轴截面ABCD面积为

C．该圆台的体积为 

D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm

12．已知函数，则（       ）

A．的图象关于直线对称          

  B．在上为减函数

C．有4个零点                        

D．，使

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．从标有的6张卡片中，不放回地随机抽取两次，每次抽取一张，“在第一次抽到标号是4的条件下，第二次抽到的标号是奇数”的概率为_______．

14．在三棱柱中，，，，则该三

棱柱的高为_______．

15．某圆锥高为1，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为

_________．

16．已知椭圆C1：（0＜b＜2）的离心率为，F1和F2是C1的左右焦点，M是C1上的动点，点N在线段F1M的延长线上，｜MN｜＝｜MF2｜，线段F2N的中点为P，则

｜F1P｜的最大值为__________．

四、解答题(本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17．（本题满分10分）

2020年初，新型冠状病毒肆虐，全民开启防疫防控。冠状肺炎的感染主要是人与人之间进行传播，可以通过飞沫以及粪便进行传染，冠状肺炎感染人群年龄大多数是40岁以上的人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06，如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的2×2列联表：

(1)是否有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关？

(2)假设潜伏期Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；

附：．

若随机变量服从正态分布，则，，，．

18．（本题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC—中，底面△ABC是以角B为直角的等腰直角三角形，且腰长为2，D为BC的中点，三棱柱体积．

(1)求三棱柱的外接球的表面积和体积；

(2)求三棱锥的体积.

19．（本题满分12分）

有一个猜谜语活动，有A和B两道谜语，小明猜对A谜语的概率为0.8，猜对获得奖金10元，猜对B谜语的概率为0.5，猜对获得奖金20元．猜不出不给奖金．

(1)设事件A：“两道谜语中小明恰好答对一道”，求；

(2)如果按照规则猜谜：只有在猜对一道谜语的情况下，才有资格猜下一道．

(i)如果猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢？请说明理由

(ii)若小明已经获得30元奖金，此时主办方临时增加了一道终极谜语C，参赛者可以自行选择是否继续猜谜．假设小明猜对C谜语的概率为a，若小明不继续，可以直接拿走奖金，若继续且答错C谜语，则没收全部奖金．若继续且答对C谜语，即可获得奖金90元．问：概率a至少为何值，值得小明同学继续猜谜？

20.（本题满分12分）

已知四棱锥P—ABCD中，△ABD､△BCD､△BDP都是正三角形

(1)求证：平面ACP⊥平面BDP；

(2)求直线BP与平面ADP所成角的正弦值.

21．（本题满分12分）

已知椭圆的离心率为，是C的上、下顶点，且．过点的直线l交C于B，D两点（异于），直线与交于点Q．

(1)求C的方程；

(2)证明：点Q的纵坐标为定值．

22．（本题满分12分）

已知函数，.

(1)讨论的单调性；

(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.

漳浦一中2021-2022学年下学期第二次调研考试

高二数学参考答案及评分标准

一、1-4  A C D A    5-8  C B D C     二、9.BC    10.BD     11.BCD      12.AB 

三、13．      14．        15．2       16．3

8.【详解】

如图建立空间直角坐标系，则，

∴，

∴，即为直角三角形，

所以可设三棱锥的外接球的球心，

所以球的半径为，

∴，即，又，∴，即，

∴，，所以三棱锥的外接球表面积的最大值为.

12.解：定义域为，

因为，其中与关于轴对称，即的图象关于轴对称，

将 向右平移个单位得到，即关于对称，

又关于直线对称，故函数的图象关于直线对称，故A正确；

当时，则，

所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，故B正确；

所以当时在处取得极大值即最大值，又因为，根据对称性可得，所以只有2个零点，故C错误；

由，所以不存在，使，故D错误；故选：AB

16.由条件得，∴，∴椭圆的方程是，，

∴，．由于点在线段的延长线上，，

所以，

∴点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆，方程为．

设，则关于对称的点的坐标为，

∴，化简得点的轨迹方程为，

即点的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，，所以的最大值为3．

四、解答题：

17. (1)，……………………………………3分

由于3.17<3.841，……………………………………4分

故没有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关，……………………………………5分

(2)由题意知潜伏期，……………………………………6分

由，……………………………………9分

得知潜伏期超过14天的概率很低．因此隔离14天是合理的．………………………………10分

18.(1)易知，……………………………………1分

三棱柱体积，解得.…………………2分

取中点，取中点，连接交于，易知为的外心，为的外心，即为外接球的球心，……………………3分

，

故外接球半径为，…………………………4分

故外接球表面积为，……………………………………5分

体积为.……………………………………6分

(2)易知，又，，所以面，………………………8分

故.………………………………12分

19. (1)；……………………………………2分

(2)(i)有两种顺序：①先猜A，②先猜B．

设选择先猜A谜语得到的奖金为X元，选择先猜B谜语得到的奖金为Y元﹒

①X的可能取值为：0，10，30，

，，，

∴X的分布列为：

则；……………………………………5分

Y的可能取值为：0，20，30，

，，，

∴Y的分布列为：

则，……………………………………8分

∵，∴小明应该先猜A；……………………………………9分

(ii)设小明继续猜谜语得到的奖金为Z元，Z的可能取值为：0，90，

则Z的分布列为：

则，

若，则，即当a至少为时，值得小明同学继续猜谜…………………12分

20. 证明：(1)连接OP，如图所示：

在四边形ABCD中△ABD､△BCD都是正三角形，

所以四边形ABCD是菱形，点O为BD中点；

因为△ABD､△BDP都是正三角形，

所以

因为，面，所以BD⊥平面APC，.

因为BD平面BDP，

所以平面ACP⊥平面BDP. ……………………………6分

(2)由题意可得，因为，所以°，

以O为原点，直线OA，OB分别为x轴，y轴，

过点O与平面ABCD垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系如下所示：

则，

所以

设平面ADP的法向量为，则有，得取，得；……………………………9分

设直线BP与平面ADP所成角为θ，

则=，

所以直线BP与平面ADP所成角的正弦值为.……………………………12分

21. (1)因为，所以，……………………………1分

因为，其中，

所以设，解得．……………………………3分

所以椭圆C的方程为．……………………………4分

(2)显然直线l的斜率存在，设直线l方程为，

联立直线l与椭圆C方程，消去y得，．……………………………5分

设，当，即时，

有．……………………………6分

直线方程为：，直线方程为：．………………………7分

两式相除得，，……………………………9分

因为，所以，……………………………11分

整理得．即点Q的纵坐标为定值．……………………………12分

22. (1)的定义域为．…………1分

∵，∴．……………………………2分

当，即时，，在上单调递减；…………3分

当，即时，则当时，，当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减．…………4分

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减．……………………5分

(2)  由，得，

即，

即在上恒成立．…………7分

令，，则，

∴在上单调递增，∴，∴，…………9分

即只需在上单调递增．

∵，∴在上恒成立，即在上恒成立．

∵函数在上单调递增，∴，

故实数a的取值范围是．……………………………12分