2021-2022学年福建省龙岩第一中学高二上学期开学考试数学试题含答案

龙岩一中2023届高二上学期开学考

数学试卷

（考试时间：120分钟  满分：150分）

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在等差数列中，若，则（    ）

A．18 B．30 C．36 D．72

2．设是等差数列的前项和，若，则公差（    ）

A． B． C． D．1

3．已知等比数列各项均为正数，且，则=（    ）

A． B．2 C． D．

4．用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（    ）

A．199 B．201 C．203 D．205

5．在等比数列中，､是方程的两根，则的值为（    ）

A． B．3 C． D．

6．等差数列中，，公差，为其前项和，对任意自然数，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（    ）

A． B．C．D．

7．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数（如4，9），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（    ）

A．1976 B．1977 C．2064 D．2065

8．已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大值为（    ）

A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分

9．已知单调递增的等差数列满足，则下列各式一定成立的有（    ）

A． B．

C． D．

10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则下面对该数列描述正确的是（    ）

A． B． C． D．共有202项

11．设数列前项和为，关于数列有下列命题，其中正确的命题是（    ）

A．若则数列既是等差数列又是等比数列

B．若，则数列为等差数列

C．若数列为等比数列，则成等比数列

D．若，则数列是等比数列

12．设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A．数列为等比数列

B．数列的前项和为

C．数列的通项公式为

D．数列为等比数列

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).

13．在数列，，，则_______.

14．已知等比数列的前项和为，且，，则__________.

15．等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝________，又令该数列的前n项的积为，则的最大值为________．

16．给出数列如下：，…，，…，则该数列的第2021项为_______．

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分10分）设等差数列的前项和为，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）在公比为的等比数列中，，，求．

18．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为 (n∈N*)．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，求{bn}的前n项和.

19．（本小题满分12分）已知数列满足，.

（1）求证数列为等差数列；

（2）设，求数列的前项和.

20．（本小题满分12分）为数列的前项和满足：.

（1）设，证明是等比数列；

（2）求.

21．（本小题满分12分）在① ，② ，③ 这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答.

已知数列的前项和为，满足___________，___________；又知递增等差数列满足，且，，成等比数列.

（1）求和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

22．（本小题满分12分）已知数列满足，．

（1）记，求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

数学参考答案

1C  2B  3D  4B  5B  6A  7D  8D  9BD  10AB  11BD  12AB

13．，14．，15.（1）；（2）2   16．64.

17．解：由已知可得，，解得，.........2分

. 所以.                .........5分

（2）依题意，，，               .........6分

即，，消去，得，       .........7分

解得或（舍），                               .........8分

所以..                       .........10分

18. 解：（1）当时，，               .........1分 

当时， ，     ........5分

满足上式，所以，                            .........6分

（2）由（1）可得，

=

   .............10分

                                  .............12分

19．解：（1）数列满足，.整理得，.............1分

故（常数），                   .............4分

所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.  .............5分

（2）由于数列是以1为首项，为公差的等差数列.

所以，    .............7分

故                   ............8分

所以，  .............10分

则：........12分

20．（1）因为…①,故…②,

②-①可得.       .............2分

整理可得,即,.   .............4分

因为,.故是等比数列.  .............5分

（2）当时, ,解得,    .............6分

又,   

故当为偶数时有

.              .............9分

当为奇数时有

.      .............11分

故.............12分

21．（1）选择① ② ：

当时，由得，  

两式相减，得，即，  ..........1分

由①得，即，

∴，得．     ..........2分

∴，∴为，公比为的等比数列，..........3分

∴．    ..........4分

选择② ③：

当时，由③ ，得，

两式相减，得，∴，..........1分

又，得，    .........2分

∴，∴为，公比为的等比数列，.........3分

∴．..........4分

选择① ③，由于和等价，故不能选择；

设等差数列的公差为d，，

且，，成等比数列．

，即，  .........5分

解得，（舍去），∴．  ..........6分

（2），  ..........7分

，

，   ..........8分

∴，   ..........9分

∴，    ..........11分

．…........…12分

22．解：（1）因为，

当时，，因为，所以，…........…1分

由，

可得，

，

两式相减可得：，…........…3分

因为，所以，   …........…4分

所以是以为首项，公差为的等差数列，

所以，  …........…5分

（2）当时，

，  …........…8分

当时，

，

经检验也满足上式， …........…11分

综上所述： .   …........…12分