2021-2022学年福建省福州第一中学高三上学期开学质检考试数学试卷含答案

福州一中2021-2022学年第一学期高三开学质检考试

数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（    ）

 A． B． C． D．

2．若，则（    ）

 A． B． C． D．

3．已知，，，则（    ）

 A． B． C． D．

4．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（    ）

 A．  B．

 C．  D．

5．已知均为单位向量，且，则（    ）

 A． B． C． D．

6．已知角满足，则（    ）

 A． B． C． D．

7．将一个底面半径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体内，若不考虑消耗，则得到的圆柱体的最大体积是（    ）

 A． B． C． D．

8．过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（    ）

 A． B． C． D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．已知双曲线（），则不因改变而变化的是（    ）

 A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程

10．已知四棱锥中，平面底面，是等边三角形，底面是菱形，且，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ）

 A．平面  B．

 C．  D．与所成角的余弦值为

11．甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ）

 A．  B．

 C．事件与事件不相互独立 D．两两互斥

12．设函数，则下列结论正确的是（    ）

 A．的最大值为  B．

 C．曲线存在对称轴 D．曲线存在对称中心

三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。

13．曲线在处的切线方程为__________．

14．在的展开式中，项的系数是__________．

15．已知是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，的中点为，过作抛物线准线的垂线交准线于，若的中点为，则__________．

16．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德．因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息九一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”．由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日．已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为__________；2021年全年他们约定的“家庭日”共有__________个．（第一个空2分，第二个空3分）

四、解答题：本大题共有6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）

 已知数列满足，，设．

 （1）求数列的通项公式；

 （2）若，求数列的前项和．

18．（12分）

 在四边形中，，，，，．

 （1）求；

 （2）求的长．

19．（12分）

 为落实国家“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学利用课余课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方记分，失败方记分，没有平局，谁先获得分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获胜的概率都是．

 （1）求比赛结束时恰好打了局的概率；

 （2）若已知小明以的比分领先，记表示到比赛结束时还需打的局数，求的分布列及期望．

20．（12分）

 如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，，，．

 （1）求证：；

 （2）若，且二面角为，求多面体的体积．

21．（12分）

 已知椭圆经过，两点．

 （1）求椭圆的离心率；

 （2）设椭圆的右顶点为，点在椭圆上（不与椭圆的顶点重合），直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：直线过定点．

22．（12分）

 已知函数．

 （1）若，讨论的单调性；

 （2）若，，求的取值范围．

福州一中2021-2022学年第一学期高三开学质检考试

数学参考答案

一、单项选择题：

二、多项选择题：

三、填空题：

 13．； 14．；

 15．； 16．，．

四、解答题：

17．（10分）

解：（1）证明：因为，

所以，即，

所以为等差数列，

其首项为，公差．

所以．

（2）由（1）得，，

设数列的前项和为，

则，

，

相减得，．

，

数列的前项和为．

18．（12分）

解：（1）因为，，，

所以，，

．

（2）由已知及正弦定理，可得，解得，

由于，，

在中，由余弦定理可得

．

19．（12分）

解：（1）恰好打了7局小明获胜的概率是，

恰好打了7局小亮获胜的概率为，

比赛结束时恰好打了7局的概率为，

（2）的可能取值为2，3，4，5，

，

，

，

，

的分布列如下：

．

20．（12分）

证明：（1）设与交于点，连接，

四边形为菱形，，为的中点，

，，

又，平面，

而平面，；

解：（2）连接，，，

又，且，平面，

以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

，，，0，，，1，，，，，

设，0，，再设平面的法向量为，

，，，，0，，

则，取，得，

设平面的法向量为，，

则，

取，则，

，

即，解得，

由（1）知，平面，为的中点，

．

，

．

多面体的体积为．

21．（12分）

解：（Ⅰ）因为点，都在椭圆上，

所以，，

所以，

所以椭圆的离心率为．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆的方程为，，

由题意知直线的方程为，

设，，，，，，，

因为，，三点共线，

所以，

所以，

所以，

所以，，

因为，，三点共线，

所以，即，

所以，，

所以直线的方程为，

因为点在椭圆上，

所以，

所以直线的方程为，

所以直线过定点．

22．（12分）

解：（1）若，，

则，

令，则，

令，解得：，

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增，

则，且当时等号成立，即，且当时等号成立 ，

故在上单调递增．

（2），

由（1）得：当，即，

若，，在上单调递减，

由于，所以时，，不符合题意；

若，令，则，

由于，所以，所以在上单调递减，即在上单调递减，

由于，

若，，

当时，在上单调递减，所以，所以在上单调递增，

，符合题意；

若，，而，可得：；

令，则，，

设，则，

当时，，因此在上单调递增，所以，

即，因此，使得，

因此当时，，函数在上单调递减，所以，不符合题意；

综上所述，的取值范围为．