安徽省六安市霍邱县第三中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份安徽省六安市霍邱县第三中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

安徽省六安市霍邱三中2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）（每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的）
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（　　）
A．内角和增加360° B．外角和增加360°
C．对角线增加一条 D．内角和增加180°
3．解一元二次方程x2﹣6x+2＝0，用配方法可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝9 B．（x+3）2＝9 C．（x﹣3）2＝11 D．（x﹣3）2＝7
4．下列性质中，平行四边形不一定具备的是（　　）
A．邻角互补 B．对角互补
C．对边相等 D．对角线互相平分
5．已知样本数据1，0，6，1，2，下列说法不正确的是（　　）
A．平均数是2 B．中位数是6 C．众数是l D．极差是6
6．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）

A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC
C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD
7．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx+m的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，AD是△ABC的中线，点O是AC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接CE，添加下列条件仍不能判断四边形ADCE是菱形的是（　　）

A．AB⊥AC B．AB＝AC
C．AC平分∠DAE D．AB2+AC2＝BC2
9．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（　　）

A．20 B．24 C． D．
10．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）

A． B． C．6 D．3
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）二次根式中，字母x的取值范围是 　 　．
12．（5分）若数据1，4，a，9，6，5的平均数为5，则中位数是　 　；众数是　 　．
13．（5分）阅读材料：如果a，b分别是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则有a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0；创新应用：如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2008＝　 　．
14．（5分）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（不与A、B重合），连接EF、CF，则以下结论：
①∠DCF＝∠BCD；
②EF＝CF；
③S△BEC＜2S△CEF；
④∠DFE＝4∠AEF．
一定成立的是　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：
（1）；
（2）（+）2+（﹣1）（+1）．
16．（8分）解方程：
（1）x2+6x+5＝0；
（2）2x2﹣x﹣2＝0．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图所示，四边形ABCD是张大爷的一块小菜地，已知AD⊥AB，AD⊥CD，AD＝，BC＝CD＝2，请帮张大爷计算一下这个四边形菜地的周长和面积．

18．（8分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的一个根是x＝1，请求出方程另一个根，并求以此方程的两根为边长的直角三角形的周长．
20．（10分）已知：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．
求证：（1）∠DAG＝∠DCG；
（2）GC⊥CH．

六、（本题满分12分）
21．（12分）王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率98%．现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示．
（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；
（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？

七、（本题满分12分）
22．（12分）某商店以每件20元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（340﹣10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超30%，商品计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少元？
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）当△ABQ的面积是正方形ABCD面积的时，求DQ的长；
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）（每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的）
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
2．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（　　）
A．内角和增加360° B．外角和增加360°
C．对角线增加一条 D．内角和增加180°
【分析】利用多边形的内角和定理和外角和特征即可解决问题．
【解答】解：因为n边形的内角和是（n﹣2）•180°，
当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n﹣1）•180°，
内角和增加：（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180°＝180°；
根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和特征．先设这是一个n边形是解题的关键．
3．解一元二次方程x2﹣6x+2＝0，用配方法可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝9 B．（x+3）2＝9 C．（x﹣3）2＝11 D．（x﹣3）2＝7
【分析】将左边2改写为9﹣7，再将前3项写成完全平方形式，同时将﹣7移至右边即可．
【解答】解：∵x2﹣6x+2＝0，
∴x2﹣6x+9﹣7＝0，
则（x﹣3）2＝7，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．下列性质中，平行四边形不一定具备的是（　　）
A．邻角互补 B．对角互补
C．对边相等 D．对角线互相平分
【分析】直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．
【解答】解：A、平行四边形邻角互补，正确，不合题意；
B、平行四边形对角不一定互补，错误，符合题意；
C、平行四边形对边相等，正确，不合题意．
D、平行四边形对角线互相平分，正确，不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
5．已知样本数据1，0，6，1，2，下列说法不正确的是（　　）
A．平均数是2 B．中位数是6 C．众数是l D．极差是6
【分析】根据平均数、中位数、众数和极差的定义和公式分别进行计算，再进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A、平均数是（1+0+6+1+2）÷5＝2，故本选项正确；
B、把这组数据从小到大排列为0，1，1，2，6，处在中间的数是1，中位数是1，故本选项错误；
C、1出现的次数最多，出现了2次，则众数是1，故本选项正确；
D、极差是6﹣0＝6，故本选项正确；
故选：B．
【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和极差，根据平均数、中位数、众数和极差的定义和公式是本题的关键，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
6．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）

A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC
C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD
【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．
【解答】解：A、AB∥DC，AB＝CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
C、AC＝BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
D、OA＝OB＝OC＝OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；
故选：D．
【点评】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．
7．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx+m的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＜0，所以m＜﹣1，然后根据一次函数的性质判断一次函数y＝mx+m的图象所在的象限即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，
∴m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＜0，
∴m＜﹣1，
∵一次函数y＝mx+m的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
8．如图，AD是△ABC的中线，点O是AC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接CE，添加下列条件仍不能判断四边形ADCE是菱形的是（　　）

A．AB⊥AC B．AB＝AC
C．AC平分∠DAE D．AB2+AC2＝BC2
【分析】由AAS证明△OAE≌△OCD，得出OD＝OE，证出四边形ADCE是平行四边形，添加AB⊥AC时，AD＝BC＝CD，得出四边形ADCE是菱形，选项A不符合题意；
添加AC平分∠DAE，得出∠DAC＝∠EAC＝∠DCA，证出AD＝CD，则四边形ADCE是菱形，选项C不符合题意；
添加AB2+AC2＝BC2，可得到AB⊥AC，同选项A可判断四边形ADCE是菱形，故选项D不符合题意；
只有添加选项B不能判定四边形ADCE是菱形；即可得出结论．
【解答】解：∵AE∥BC，
∴∠OAE＝∠OCD，∠OEA＝∠ODC，
∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
在△OAE和△OCD中，
，
∴△OAE≌△OCD（AAS），
∴OD＝OE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
添加AB⊥AC时，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD＝BC＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，故选项A不符合题意；
添加AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，故选项C不符合题意；
添加AB2+AC2＝BC2，可得到AB⊥AC，
同选项A可判断四边形ADCE是菱形，故选项D不符合题意；
只有添加选项B不能判定四边形ADCE是菱形，故选项B符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定是关键．
9．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（　　）

A．20 B．24 C． D．
【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积．
【解答】解：设小正方形的边长为x，
∵a＝3，b＝4，
∴AB＝3+4＝7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（3+x）2+（x+4）2＝72，
整理得，x2+7x﹣12＝0，
而长方形面积为x2+7x+12＝12+12＝24
∴该矩形的面积为24，
故选：B．

【点评】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键．
10．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）

A． B． C．6 D．3
【分析】作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N则P'P''的长即为△PMN周长的最小值；连接OP'，OP''，过点O作OC⊥P'P''，在Rt△OCP'中求出P'C即可求出P'P''；
【解答】解：作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N
则P'P''的长即为△PMN周长的最小值，
连接OP'，OP''，过点O作OC⊥P'P''，
由对称性可知OP＝OP'＝OP''，
∵OP＝3，∠AOB＝60°，
∴∠P'＝∠P''＝30°，OP＝OP''＝3，
∴P'C＝，
∴P'P''＝3；
故选：D．

【点评】本题考查利用轴对称求最短距离问题；通过轴对称将△PMN周长转化为P'P''的长是解题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）二次根式中，字母x的取值范围是 　x＜1　．
【分析】根据二次根式（a≥0），以及分母不能为0，可得1﹣x＞0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
≥0，且1﹣x≠0，
∴1﹣x＞0，
∴x＜1，
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式（a≥0），以及分母不能为0是解题的关键．
12．（5分）若数据1，4，a，9，6，5的平均数为5，则中位数是　5　；众数是　5　．
【分析】根据平均数的计算公式先求出a的值，再根据中位数和众数的定义即可得出答案．
【解答】解：∵数据1，4，a，9，6，5的平均数为5，
∴（1+4+a+9+6+5）÷6＝5，
解得：a＝5，
把这些数从小到大排列为：1，4，5，5，6，9，
则中位数是＝5；
∵5出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是5；
故答案为：5，5．
【点评】此题考查了平均数、众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
13．（5分）阅读材料：如果a，b分别是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则有a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0；创新应用：如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2008＝　2019　．
【分析】由m，n满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3且m≠n，可得出n2＝n+3，m+n＝1，mn＝﹣3，将其代入2n2﹣mn+2m+2008中即可求出结论．
【解答】解：∵m，n满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，且m≠n，
∴m，n为一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不等实数根，n2＝n+3，
∴m+n＝1，mn＝﹣3，
∴2n2﹣mn+2m+2008＝2（n+3）﹣mn+2m+2008＝2（m+n）﹣mn+2014＝2×1﹣（﹣3）+2014＝2019．
故答案为：2019．
【点评】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系，找出m+n＝1，mn＝﹣3是解题的关键．
14．（5分）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（不与A、B重合），连接EF、CF，则以下结论：
①∠DCF＝∠BCD；
②EF＝CF；
③S△BEC＜2S△CEF；
④∠DFE＝4∠AEF．
一定成立的是　①②③　．

【分析】延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF，得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故①正确；

如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DMF中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EM＝FE，故②正确；

∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，即S△ECM＝2S△CEF，
∵△AEF≌△DMF，
∴S△AEF＝S△DMF，
∴S△ECM＝S四边形AECD，
∵S△ABC＜S四边形AECD，
故S△ABC＜2S△CEF；，
∵S△BEC＜S△ABC，
∴S△BEC＜2S△CEF；
故③成立；

设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④不正确．
正确的有①②③，
故答案为：①②③．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：
（1）；
（2）（+）2+（﹣1）（+1）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）
＝﹣2
＝
＝﹣；
（2）（+）2+（﹣1）（+1）
＝3+2+5+3﹣1
＝10+2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
16．（8分）解方程：
（1）x2+6x+5＝0；
（2）2x2﹣x﹣2＝0．
【分析】（1）利用因式分解法解方程可求解；
（2）利用公式法解方程可求解．
【解答】解：（1）∵x2+6x+5＝0，
∴（x+5）（x+1）＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝﹣1；
（2）∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣2）＝17，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和公式法是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图所示，四边形ABCD是张大爷的一块小菜地，已知AD⊥AB，AD⊥CD，AD＝，BC＝CD＝2，请帮张大爷计算一下这个四边形菜地的周长和面积．

【分析】如图，作CE⊥AB于E．首先证明四边形AECD是矩形，在Rt△BCE中，求出BE即可解决问题．
【解答】解：如图，作CE⊥AB于E．

∵AD⊥AB，AD⊥CD，
∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°，
∴四边形AECD是矩形，
∴AD＝CE＝，CD＝AE＝2，
在Rt△BCE中，BE＝＝＝3，
∴AB＝AE+BE＝2+3，
∴四边形ABCD的周长＝+2+2+2+3＝7+3，
四边形ABCD的面积＝•＝．
【点评】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（8分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．

【分析】（1）由AD∥BC，知∠ADB＝∠DBC，根据折叠的性质∠ADB＝∠BDF，所以∠DBC＝∠BDF，得BE＝DE，即可用AAS证△DCE≌△BFE；
（2）在Rt△BCD中，CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°，知BC＝2，在Rt△BCD中，CD＝2，∠EDC＝30°，知CE＝，所以BE＝BC﹣EC＝．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
根据折叠的性质∠ADB＝∠BDF，∠F＝∠A＝∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠BDF，
∴BE＝DE，
在△DCE和△BFE中，
，
∴△DCE≌△BFE；

（2）在Rt△BCD中，
∵CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴BC＝2，
在Rt△ECD中，
∵CD＝2，∠EDC＝30°，
∴DE＝2EC，
∴（2EC）2﹣EC2＝CD2，
∴CE＝，
∴BE＝BC﹣EC＝．

【点评】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等角对等边、平行线的性质以及勾股定理的综合运用，熟练的运用折叠的性质是解决本题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的一个根是x＝1，请求出方程另一个根，并求以此方程的两根为边长的直角三角形的周长．
【分析】根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，由勾股定理得斜边的长度为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．
【解答】解：根据题意，得
12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，
解得，m＝2，
则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为；
该直角三角形的周长为1+3+＝4+；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2＝4+2，
综上所述，直角三角形的周长为4+或4+2．
【点评】本题综合考查了勾股定理、一元二次方程解的定义．“分类讨论”是解题的关键．
20．（10分）已知：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．
求证：（1）∠DAG＝∠DCG；
（2）GC⊥CH．

【分析】（1）要证明∠DAG＝∠DCG，需把两角放到两三角形中，证明两三角形△ADG与△CDG全等得到，全等的方法是：由ABCD为正方形，得到AD与DC相等，∠ADB与∠CDB相等，再加上公共边DG，利用“SAS”得到全等，利用全等三角形的对应角相等得证；
（2）要证明GC与CH垂直，需证∠GCH＝90°，即∠FCH+∠DCG＝90°，方法是：由正方形的对边AD与BE平行，根据两直线平行，内错角相等得到∠DAF与∠E相等，由（1）得到的∠DAG与∠DCG相等，等量代换得到∠E与∠DCG相等，再由CH为直角三角形ECF斜边上的中线，得到CH与HE相等都等于斜边EF的一半，根据“等边对等角”得到∠E与∠HCE相等，又∠FCH+∠DCG等于90°，等量代换得到∠FCH+∠DCG＝90°，即∠GCH＝90°，得证．
【解答】证明：（1）∵ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，
又DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠DAG＝∠DCG；

（2）∵ABCD为正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAG＝∠E，又∠DAG＝∠DCG，
∴∠E＝∠DCG，
∵H为直角三角形CEF斜边EF边的中点，
∴CH＝HE＝EF，
∴∠HCE＝∠E，
∴∠DCG＝∠HCE，
又∠FCH+∠HCE＝90°，
∴∠FCH+∠DCG＝90°，即∠GCH＝90°，
∴GC⊥CH．
【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，是一道证明题．要求学生熟练掌握正方形的性质：四条边都相等，四个角相等都为直角，对角线互相垂直且平分，一条对角线平分一组对角，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
六、（本题满分12分）
21．（12分）王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率98%．现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示．
（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；
（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？

【分析】（1）根据平均数的求法求出平均数，再用样本估计总体的方法求出产量总和即可解答．
（2）要比较哪个山上的杨梅产量较稳定，只要求出两组数据的方差，再比较即可解答．
【解答】解：（1）＝（50+36+40+34）＝40（千克），＝（36+40+48+36）＝40（千克），
总产量为40×100×98%×2＝7840（千克）；

（2）（千克2），
＝[（36﹣40）2+（40﹣40）2+（48﹣40）2+（36﹣40）2]＝24（千克2），
∴S2甲＞S2乙．
答：乙山上的杨梅产量较稳定．
【点评】本题考查了平均数与方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某商店以每件20元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（340﹣10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超30%，商品计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少元？
【分析】根据：每件盈利×销售件数＝总盈利额；其中，每件盈利＝每件售价﹣每件进价建立等量关系，列出出方程，求解即可．
【解答】解：根据题意得：（a﹣20）（340﹣10a）＝400，
整理，得a2﹣54a+720＝0，
解得a1＝24，a2＝35，
当a＝24时，利润率为：×100%＝20%＜30%，符合题意；
当a＝35时，利润率为：×100%＝75%＞30%，不符合题意，舍去；
则340﹣10a＝340﹣10×24＝100（件）．
答：需要进货100件，每件商品应定价24元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，列代数式和代数式求值．解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）当△ABQ的面积是正方形ABCD面积的时，求DQ的长；
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

【分析】（1）根据正方形性质得出AB＝AD，∠BAD＝90°，∠DAC＝∠BAC＝45°，利用“边角边”证明△ADQ≌△ABQ即可；
（2）过点Q作QE⊥AD于E，利用△ABQ的面积是正方形ABCD面积的求出QE，进而求出DE最后用勾股定理即可；
（3）点P运动时，△ADQ恰为等腰三角形的情况有三种：QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD．
①当点P运动到与点B重合时，QD＝QA，此时△ADQ是等腰三角形；
②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；
③当AD＝AQ＝4时，有CP＝CQ，CP＝AC﹣AD而由正方形的对角线的性质得到CP的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AD＝AB，∠DAQ＝∠BAQ＝45°
又 AQ＝AQ，
∴△ADQ≌△ABQ
即 无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ

（2）如图1，

作 QE⊥AD于E，由（1）得△ADQ≌△ABQ，
∴S△ADQ＝S△ABQ
∵△ABQ的面积是正方形ABCD面积的
∴AD×QE＝S正方形ABCD＝，
∴QE＝
又∵QE⊥AD，∠DAQ＝45°
∴∠AQE＝∠DAQ＝45°
∴AE＝QE＝
∴DE＝4﹣＝
∴在Rt△DEQ中，QE＝，DE＝，
根据勾股定理得，DQ＝

（3）若△ADQ是等腰三角形，则有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD，
①当点P运动到与点B重合时，由正方形知QD＝QA此时△ADQ是等腰三角形；
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；
③如图4，设点P在BC边上运动到CP＝x时，有AD＝AQ，
∵AD∥BC
∴∠ADQ＝∠CPQ．
又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，
∴∠CQP＝∠CPQ．
∴CQ＝CP＝x．
∵AC＝4，AQ＝AD＝4．
∴x＝CQ＝AC﹣AQ＝4﹣4．
即当CP＝4﹣4时，△ADQ是等腰三角形．

【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，（3）需要分类讨论．