人教B版高考数学一轮总复习23三角恒等变换练习含答案

这是一份人教B版高考数学一轮总复习23三角恒等变换练习含答案，共9页。
二十三　三角恒等变换(建议用时：45分钟)A组　全考点巩固练1．(2020·山东省实验中学第二次诊断)已知cos＝2cos(π＋α)，且tan(α＋β)＝，则tan β的值为(　　)A．－7 B．7  C．1 D．－1B　解析：因为cos＝2cos(π＋α)，所以sin α＝－2cos α，即tan α＝－2.又tan(α＋β)＝，则＝，将tan α＝－2代入，解得tan β＝7.故选B.2．(2020·威海一模)已知sin(β－α)cos β－cos(α－β)sin β＝，α为第三象限角，则cos＝(　　)A．－ B．－  C．   D．A　解析：因为sin(β－α)cos β－cos(α－β)sin β＝sin[(β－α)－β]＝－sin α＝，所以sin α＝－.又α为第三象限角，则cos α＝－，所以cos＝cos αcos－sin αsin＝－×＋×＝－.3．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　)A．－2 B．－1  C．1 D．2D　解析：2tan θ－tan＝2tan θ－＝7，整理可得tan2θ－4tan θ＋4＝0，所以tan θ＝2.故选D.4．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4B　解析：易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3×＋1＝·cos 2x＋，所以f(x)的最小正周期为π.当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.5．若cos＝，则cos的值为(　　)A． B．－  C． D．－A　解析：因为cos＝，所以cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.所以cos＝cos＝－cos＝.故选A.6．(2021·山西模拟)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x.若f(x1)·f(x2)＝－3，则|x1＋x2|的最小值是(　　)A.   B.  C.   D.A　解析：f(x)＝sin 2x＋2sin2x＝sin 2x＋2×＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1.所以函数f(x)的最大值为3，最小值为－1.又f(x1)·f(x2)＝－3，所以f(x)在x1，x2处取到最大值和最小值．不妨设在x1处有最大值，则x1＝k1π＋，k∈Z；在x2处取到最小值，则x2＝k2π－，k∈Z.所以|x1＋x2|＝，k1，k2∈Z.所以|x1＋x2|的最小值为.故选A.7．已知函数f(x)＝＋asin ·cos的最大值为2，则常数a的值为________．±　解析：因为f(x)＝－·asin x＝(cos x－asin x)＝cos(x＋φ)(其中tan φ＝a)，所以＝2，解得a＝±.8．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.　解析：由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝.又0<β<α<，得0<α－β<.故cos(α－β)＝＝.因为cos α＝，所以sin α＝.所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.又0<β<，故β＝.9．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈时，f(x)≥0.(1)解：因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)证明：由(1)可知f(x)＝sin＋1.当x∈时，2x－∈，所以sin∈，所以sin＋1∈[0，＋1]．当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值0.所以，当x∈时，f(x)≥0.10．已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解：(1)f(x)＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x.所以f(α)＝sin α＝，解得sin α＝.因为α是第一象限角，所以cos α＝，所以g(α)＝2sin2＝1－cos α＝.(2)由f(x)≥g(x)，得sin x≥1－cos x.所以sin x＋cos x＝sin≥，所以x＋∈，k∈Z，所以x∈，k∈Z. B组　新高考培优练11．(多选题)下列式子的运算结果为的是(　　)A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)C．D．ABC　解析：对于A，tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°·tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝；对于B,2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°·cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝；对于C，＝＝tan 60°＝；对于D，＝×＝×tan ＝.故选ABC.12．(2020·河南、江西、湖南三省部分重点中学4月联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设θ＝∠BAC，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③tan ＝；④tan＝－.其中所有正确结论的编号是(　　)A．①③ B．①③④C．①④ D．②③④B　解析：设BC＝x(x>0)，则AC＝x＋1.因为AB＝5，所以52＋x2＝(x＋1)2.所以x＝12.所以tan θ＝.由tan θ＝，解得tan ＝(负根舍去)．因为tan θ＝，所以tan＝＝－.故正确结论的编号为①③④.13．(多选题)已知函数f(x)＝msin x＋ncos x，且f 是它的最大值(其中m，n为常数，且mn≠0)．下列命题中正确的是(　　)A．函数f 为偶函数B．函数f(x)的图像关于点对称C．f 是函数f(x)的最小值D．函数f(x)的图像在y轴右侧与直线y＝的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|＝πABC　解析：函数f(x)＝msin x＋ncos x＝sin(x＋φ)，其中，sin φ＝，cos φ＝.因为f 是最大值，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z.所以f(x)＝·sin＝·sin.对于A，由于f ＝·sin＝cos x是偶函数，故A正确；对于B，由于当x＝时，f(x)＝0，故函数f(x)的图像关于点对称，故B正确；对于C，由于f ＝·sin＝－是函数f(x)的最小值，故C正确；对于D，由正弦函数的图像可知，|P2P4|等于最小正周期2π，故D不正确．14．已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)＝(　　)A．   B．  C．－ D．－A　解析：因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝.又因为＝2，所以sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．展开并整理，得cos(α＋β)＝sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝.15．函数y＝sin xcos的最小正周期是________，单调递增区间是________________．π　(k∈Z)　解析：y＝sin x·cos＝·sin xcos x－sin2x＝sin 2x－×＝sin－，故函数f(x)的最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，即此函数的单调递增区间是(k∈Z)．16．如图，现要在一块半径为1，圆心角为的扇形铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上．设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于θ的函数解析式；(2)求S的最大值及相应的θ的大小．解：(1)分别过点P，Q作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，则四边形QEDP为矩形．由扇形半径为1，得|PD|＝sin θ，|OD|＝cos θ.又|OE|＝|QE|＝|PD|，所以|MN|＝|QP|＝|DE|＝|OD|－|OE|＝cos θ－sin θ，所以S＝|MN|·|PD|＝·sin θ＝sin θcos θ－sin2θ，θ∈.(2)由(1)知S＝sin 2θ－(1－cos 2θ)＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin－.因为θ∈，所以2θ＋∈，所以sin∈.当θ＝时，S取最大值，且Smax＝.