人教B版高考数学一轮总复习47椭圆练习含答案

四十七　椭圆

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)

A．2 B．6 

C．4 D．12

C　解析：设另一焦点为F，由题意知F在BC边上，所以△ABC的周长l＝|AB|＋|BC|＋|CA|＝|AB|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝2＋2＝4.

2．(2020·深圳高三模拟)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，椭圆C的面积为 2π，且短轴长为2，则椭圆C的标准方程为(　　)

A.＋y2＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

B　解析：由题意可得解得

因为椭圆C的焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

3．(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长为2，离心率为.过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则(　　)

A．椭圆C的方程为＋x2＝1

B．椭圆C的方程为＋y2＝1

C．|PQ|＝

D．△PF2Q的周长为4

ACD　解析：由已知得，2b＝2，b＝1，＝.

又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.

所以椭圆方程为x2＋＝1.

所以|PQ|＝＝＝，△PF2Q的周长为4a＝4.

4．(多选题)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，则(　　)

A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]

B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁

D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小

ABD　解析：根据椭圆的定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；

当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，B正确；

＝＝－1，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；

根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．

5．(2020·龙岩质量检查)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B.若△AFB是直角三角形，则椭圆的离心率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

D　解析：由题意知，F(－c,0)，A(0，b)，B(a,0)，因为△ABF是直角三角形，所以AF⊥AB，所以·＝0.

又因为＝(－c，－b)，＝(a，－b)，

所以－ac＋b2＝0.

又因为b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2＝0.

又因为e＝，所以e2＋e－1＝0，

所以e＝－.又因为0<e<1，所以e＝.故选D.

6．(2019·郴州二模)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2－2，离心率为，则椭圆E的方程为________．

＋＝1　解析：因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，

所以a－c＝2－2，离心率e＝，

所以＝，解得a＝2，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，

所以椭圆E的方程为＋＝1.

7．已知直线x＋2y－3＝0与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线3x－4y＋1＝0，则此椭圆的离心率为________．

　解析：联立解得所以直线x＋2y－3＝0与3x－4y＋1＝0的交点为 M(1，1)，所以线段AB的中点为M(1,1)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，直线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程＋＝1(a>b>0)，得两式相减，整理得＝－＝－，所以a2＝2b2.又a2＝b2＋c2，所以a＝b＝c，所以e＝＝.

8．已知椭圆＋y2＝1，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围为________．

[1,4]　解析：根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.

设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝4，m，n∈[a－c，a＋c]，

即m，n∈[2－，2＋]，则＋＝＋＝＝∈[1,4]．

9．点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.

(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

解：(1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)．

设点P(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．

由已知可得

则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.

由于y>0，故x＝，于是y＝，

所以点P的坐标是.

(2)由(1)可知，直线AP的方程是x－y＋6＝0.

设点M(m,0)，则M到直线AP的距离是.

于是＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2.

 椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，

则d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝2＋15.

由于－6≤x≤6, 所以当x＝时，d取得最小值.

B组　新高考培优练

10．(多选题)(2020·济南模拟)已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则(　　)

A．椭圆C的焦距为 

B．椭圆C的离心率为

C．圆D在椭圆C的内部 

D．|PQ|的最小值为

BC　解析：依题意可得c＝＝，

则椭圆C的焦距为2，e＝＝.

设P(x，y)(－≤x≤)，

由题意知圆心D(－1,0)，

则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝2＋≥>，所以圆D在椭圆C的内部，且|PQ|的最小值为－＝.故选BC.

11．已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足 ＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．

5　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(－x1，1－y1)，＝(x2，y2－1)．由＝2，

得即

因为点A，B在椭圆上，

所以

解得y2＝m＋，

所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.

12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，其关于直线y＝bx的对称点Q在椭圆上，则离心率e＝________，S△FOQ＝________.

　　解析：设点Q(x，y)，则由点Q与椭圆的右焦点F(1,0)关于直线y＝bx对称得解得代入椭圆C的方程得＋＝1，结合a2＝b2＋1，解得则椭圆的离心率e＝＝，S△FOQ＝|OF|·＝×1×＝.

13．(2020·石家庄模拟)已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积．

解：(1)由已知得

解得

故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)．

由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.

由Δ＝36m2－16(3m2－12)>0，得m2<16.

由根与系数的关系得x1＋x2＝－m，x1x2＝.

则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，

即D.

因为AB是等腰△PAB的底边，所以PD⊥AB，

即PD的斜率k＝＝－1，

解得m＝2，满足m2<16.

直线l的方程为y＝x＋2.

此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，

则|AB|＝|x1－x2|＝·＝3.

又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝＝，

所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.

14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心，3为半径的圆与以F2为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.求的值．

解：(1)设两圆的交点为M，则|MF2|＋|MF1|＝1＋3＝4＝2a，所以2a＝4，则a＝2.又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1，

设点P(x0，y0)，＝λ，

由题意知Q(－λx0，－λy0)．

因为＋y＝1，又＋＝1，

即＝1，所以λ＝2，即＝2.