山东省淄博市实验中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题

淄博实验中学高一年级第一学期第一次模块考试

数学

一、选择题（第1-10题为单选，第11-13题为多选。每题4分。）

1.命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定是特称命题得到答案.

【详解】命题“，”的否定为：，

故选：

【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题.

2.已知集合0，1，，，则　　

A.  B.  C.  D. 1，

【答案】C

【解析】

【分析】

求出集合A，B，由此能求出．

【详解】集合0，1，，

，

．

故选C．

【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3.若存在x∈R，使ax2＋2x＋a＜0，则实数a的取值范围是(　　)

A. a＜1 B. a≤1

C. －1＜a＜1 D. －1＜a≤1

【答案】A

【解析】

【分析】

先求对任意x∈R，都有恒成立时a的取值范围，再求该范围的补集即可．

【详解】命题：存在x∈R，使ax2＋2x＋a＜0的否定为：对任意x∈R，都有恒成立，

下面先求对任意x∈R，都有恒成立时a的取值范围：

（1）当时，不等式可化为，即，显然不符合题意；

（2）当时，有，解得，

所以存在x∈R，使ax2＋2x＋a＜0的实数a的取值范围是，答案选A．

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及特称命题与全称命题的转化，属于基础题

4.下列大小关系正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意，由于那么根据与0,1的大小关系比较可知结论为，选C.

考点：指数函数与对数函数的值域

点评：主要是利用指数函数和对数函数的性质来比较大小，属于基础题．

5.若为实数，则“”是“”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】解：由得0＜a＜1，

则“a＜1”是“”的必要不充分条件，

故选B．

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．

6.已知函数，且函数图像不经过第一象限，则的取值范围

是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】

利用指数函数的图像即可求解．

【详解】函数为减函数，且图像不经过第一象限, ,即,故选 C.

【点睛】本题考查指数函数图像的应用，需熟记指数函数的大致图像．

7.已知，，，则与的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，利用作差比较，即可得到与的大小关系，得到答案.

【详解】由题意，，

则，

所以，即，

故选C.

【点睛】本题主要考查了代数式的比较大小，其中解答中熟练应用不等式的性质，利用作差比较法进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

8.已知函数，则=（  ）

A. 30 B. 19 C. 6 D. 20

【答案】B

【解析】

函数，令，则，故选B.

9.给出下列四个命题：①函数的最小值是2；②函数的最小值是2；③函数的最小值是2；④函数的最大值是.

其中错误的命题的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据基本不等式分别求出各函数的值域，即可判断正误，方可选出答案．

【详解】①当时，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，所以的值域为， 错误

②，当且仅当时取等号，所以函数的值域为，正确

③令,则，所以，因为在上单调递增，所以，所以函数最小值为，错误

④由③知函数，有最小值，无最大值，错误

所以①③④错误

故选C

【点睛】本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求函数的值域，在使用基本不等式是需注意：一正、二定、三相等，缺一不可，属于中档题．

10.已知是奇函数，当时，，若 ，则a等于（    ）

A.  B.  C.  D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】

根据奇函数性质可求得，由解析式可得，解方程求得结果.

【详解】为奇函数   

    ，即：

    ，解得：

故选

【点睛】本题考查根据函数奇偶性求解参数值的问题，关键是能够利用奇偶性求得已知区间内的函数值，从而利用解析式构造方程.

11.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（  ）

A  B.

C.  D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.

【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.

12.（多选）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（    ）

A.  B. 函数的最大值为1

C. 函数的最小值为0 D. 方程有无数个根

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据新的定义，研究函数的性质，对A选项直接计算进行判断．

【详解】，，A正确；显然，因此，∴无最大值，但有最小值且最小值为0．B错，C正确；方程解为，D正确．

故选ACD.

【点睛】本题考查新定义问题，考查学生的创新意识，解决问题的方法就是用新定义把“新问题”转化为“老问题”，转化为我们熟悉的问题进行解决．

13.（多选）若函数的定义域为，值域为，则的值可能是（）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】ABC

【解析】

【分析】

作出函数的部分图像，由图像与题中条件，即可得出结果.

【详解】函数的部分图像如图，，.

因为函数的定义域为，值域为，

所以的取值范围是，

故选ABC.

【点睛】本题主要考查由二次函数的定义域与值域求参数的问题，熟记二次函数的图像与性质即可，属于常考题型.

二、填空题（每题4分，其中第17题每空2分。）

14.函数的定义域为_______________.

【答案】

【解析】

【分析】

列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可.

【详解】函数

，解得，

函数的定义域为.

故答案为

【点睛】本题考查函数的定义域，考查对数函数和二次根式的性质.

1、函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，求函数定义域的步骤：

（1）写出使函数有意义的不等式（组）；

（2）解不等式（组）；

（3）写出函数的定义域（注意用区间或集合的形式写出）

2、求函数定义域的主要考虑如下：

（1）不为零：即分式的分母、负指数幂和零指数幂的底数不能为零；

（2）非负：即偶次方根的被开方式其值非负；

（3）大于零：对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.

（4）特殊位置：正切函数，

（5）实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；

（6）复合函数定义域，本着内层函数的值域为外层函数定义域的原则求得定义域；

（7）组合函数：取各个基本函数定义域的公共部分.

15.已知，试用表示________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据已知，利用换底公式，都表示为以12为底数的对数，根据对数运算法则计算即可.

【详解】

【点睛】本题主要考查了换底公式，对数的运算法则，属于中档题.

16.已知是上的增函数，那么的取值范围是___________

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：由题意可得，解不等式得的取值范围是[，3）

考点：分段函数单调性

17.已知函数（R）且，则_________，_________.

【答案】    (1). 1    (2). 5

【解析】

【分析】

直接计算，而计算可借助于奇函数，也可通过计算得出．

【详解】，

，

∴．

故答案为1；5．

【点睛】本题考查奇函数的定义，既然我们已知知道奇函数中，因此计算时可直接利用它求解．本题中就是利用消去参数，得出结论．当然同学们也可以构造新函数，这是一个奇函数，然后求解．

三、解答题

18.已知集合

(1)当时，用列举法表示出集合C；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】

试题分析：（1）根据两个集合的交集、并集的定义求出A∩B，A∪B．
（2）根据A∩B=B，分B=∅时和B≠∅时两种情况，分别求得m的范围，再取并集，即得所求．

试题解析：

(1)当时，则，

所以

(2)若，则

①当时，,解得；

②当时，由,解得

综上所述，实数的取值范围是

19.(1)

(2)

【答案】(1);(2)100.

【解析】

【分析】

利用对数运算性质、根式转化为指数分数幂与指数运算性质即可求解.

【详解】(1)

(2)

.

【点睛】指数幂运算的4个原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

20.函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有，当时，有

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性并加以证明；

(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．

【答案】（1）0；（2）见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）在恒等式中，令，即可求得的值；（2）设，且，利用恒等式得到，根据题中条件，判断的正负，利用函数单调性的定义，即可证明函数的单调性；（3）根据（2）的结论，将值域问题转化为求最值，根据，结合，赋值，，代入即可求得，从而求得在上的值.

试题解析：(1)∵当，时，，∴令，则

(2)设，且，则，∵，∴，∴，∴，即在上是增函数．

(3)由(2)知在上是增函数．∴，，∵，由，知，∴，∴在上的值域为．

21.如图，某学校准备修建一个面积为600平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFDC为正方形，设米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为每米800元，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．

（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；

（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值．

【答案】（1）；（2）当为20米时，最小．的最小值为96000元．

【解析】

【详解】试题分析：（1）由题意,已知了整个矩形场地的面积,又设了宽AB为x米，所以其长就应为米，从而围墙的长度就为：（）米，从而修建总费用元，只是注意求函数的解析式一定要指出函数的定义域，此题中不仅要而且还要注意题目中的隐含条件：“中间用围墙隔开，使得为矩形，为正方形”从而可知矩形ABCD的长应当要大于其宽x,所以x还应满足：；（2）由（1）知所以可用基本不等式来求y的最小值，及对应的x的值；最后应用问题一定要注意将数学解得的结果还原成实际问题的结果．

试题解析：（1）设米，则由题意得，且

故，可得

则，

所以关于的函数解析式为．

（2），

当且仅当，即时等号成立．

故当为20米时，最小．的最小值为96000元．

考点：１．函数解析式；２．基本不等式．

22.已知定义域为的函数，是奇函数.

（1）求，的值；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）先由求出，然后由求出

（2）由得在上为减函数，然后将不等式化为即可.

【详解】（1）因为是上的奇函数，

所以，即，解得.

从而有.又由知，解得.

经检验，当时，，满足题意

（2）由（1）知，

由上式易知在上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于.

因为是上的减函数，由上式推得.

即对一切有，从而，解得.

【点睛】本题主要考查的是利用函数的奇偶性和单调性解不等式，较为典型.

23.设，，函数.

（Ⅰ）设不等式的解集为C，当时，求实数取值范围；

（Ⅱ）若对任意，都有成立，试求时，的值域；

（Ⅲ）设，求的最小值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）．（Ⅲ）当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据，且，可知满足题意的条件为使函数与轴的两个交点横坐标，可得关于m的不等式组，解不等式组即可得m的取值范围；

（Ⅱ）根据可得对称轴，即可求得m的值．则二次函数在B集合内的值域即可求出；

（Ⅲ）对分类讨论，在的不同取值范围下讨论的单调性，即可求得在不同取值范围时的最小值．

【详解】（Ⅰ），因为，二次函数图象

开口向上，且恒成立，故图象始终与轴有两个交点，由题意，要使这两个

交点横坐标，当且仅当

， 解得

（Ⅱ）对任意都有，所以图象关于直线对称

所以，得

所以为上减函数．

；．

故时，值域为．

（Ⅲ）令，则

（i）当时，，

当，则函数在上单调递减，

从而函数在上的最小值为．

若，则函数在上的最小值为，且．

（ii）当时，函数

若，则函数在上的最小值为，且

若，则函数在上单调递增，

从而函数在上的最小值为．

综上，当时，函数的最小值为

当时，函数的最小值为

当时，函数的最小值为

【点睛】本题考查了二次函数根的分布，二次函数的对称性及值域，含参数二次函数的最值与单调性综合应用，属于难题．

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