湖北省部分重点中学2017-2018学年高一上学期期中联考数学试题 Word版含解析

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湖北省部分重点中学2017-2018学年度上学期期中联考

高一数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】图中阴影部分所表示的集合为，全集，，所以 ，，故选C.

2. 下列四组函数中，表示同一函数的是（     ）

A. 与

B. 与

C. 与

D. 与

【答案】D

【解析】在选项中，前者的属于非负数，后者的，两个函数的值域不同；在选项中，前者的定义域为，后者为或，定义域不同；在选项中，两函数定义域不相同；在选项中，定义域是的定义域为，定义域不相同，值域、对应法则都相同，所以是同一函数，故选D.

3. 函数的定义域为（）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】要使函数有意义，则，则，故函数的定义域是，故选B.

4. 下列函数中为偶函数且在上单调递减的函数是（）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】项，定义域为，不是偶函数，故项错误；项，定义域为，，是偶函数，由反比例函数性质可得，在上单调递减，故项正确；项，在递增，故项错误；项，原函数是奇函数，故错误，故选B.

5. 函数的单调递增区间是（）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】函数的定义域为，设 ，根据复合函数的性质可得函数的单调增区间即的单调减区间，的单调减区间为，函数的单调递增区间是，故选A.

【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.

6. 已知函数，，则函数的值域为（）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】设 ，时，，时，，的值域为，故选B.

7. 已知，则不等式的解集为（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

设，则不等式等价为，作出的图象，如图，由图象可知时，，即时，，若，由得，解得，若，由，得，解得，综上，即不等式的解集为，故选C.

8. 一水池有两个进水口和一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示，某天0点到8点该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0点到4点只进水不出水；②4点到6点不进水只出水；③6点到8点不进水也不出水，其中一定正确的是（     ）

A. ①②③    B. ②③    C. ①③    D. ①

【答案】D

【解析】由甲、乙两图可得进水速度为，出水速度为，结合丙图中直线的斜率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少的速度是，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少的速度是，故③不正确，故选D.

9. 若在上为减函数，则实数的取值范围为（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】为上的减函数，时，递减，即，①，时，递减，即，②  且 ，③    联立①②③解得，，故选C.

【方法点晴】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.

10. 若，，，定义在上的奇函数满足：对任意的且都有，则的大小顺序为（     ）

A.     B.

C.     D.

【答案】B

【解析】对任意且都有，在上递减，又是奇函数，在上递减，由对数函数性质得，由指数函数性质可得， 又，，故选B.

11. 设集合，，从到建立的映射中，其中为函数值域的映射个数为（     ）

A. 9个    B. 8个    C. 7个    D. 6个

【答案】D

12. 已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是（      ）

A.     B.

C.     D.

【答案】A

【解析】

由是把函数向右平移个单位得到的，所以函数的图象关于 对称，如图，且，，，结合函数的图象可知，当或时，综上所述，的解集是，故选A.

【方法点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用以及函数的图象的变换，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. ．已知幂函数的图像过点，则的值为_________.

【答案】

【解析】由题意令，由于图象过点，得， ，故答案为.

14. 设，那么的解析式_________，定义域为_________.

【答案】    (1).      (2).

【解析】，令，，故答案为（1），（2）.

15. 设函数，若，则_________.

【答案】3

【解析】令，则，是奇函数，，即

，，故答案为.

16. 若函数在上为减函数，则实数的取值集合是_________.

【答案】

【解析】显然，求导函数可得：函数在区间上是减函数，在区间上恒成立，，或实数的取值范围是，故答案为.

...............

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 求下列各式的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：（1）直接利用指数幂的运算法则求解，化简过程中注意避免计算错误；（2）直接利用对数运算法则，化简过程中注意运用换底公式.

试题解析：（1）原式=

（2）原式=

18. 已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为集合.

（1）求集合和集合；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法以及含参数的不等式的解法解不等式即可分别求出集合；（2）等价于，利用（1）的结论根据的包含关系，分类讨论，分别得到关于的不等式，解出即可得结果.

试题解析：（1）若有意义，则

所以的定义域；

的解集为集合

当时，集合

当时，集合

当时，集合；   

 （2）因为所以 由(1)

当时，即

当时，即

当时，集合

综上，实数的取值范围是.

【方法点睛】本题主要考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合的子集以及分类讨论思想.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.

19. 设函数.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）等价于方程无解，根据判别式小于零即可得结果；（2）等价于时，恒成立，分离参数可得，求出的最小值，从而可得结果.

试题解析：(1)因为方程无解，所以的判别式或有两个相等的实根为，即或

所以实数的取值范围为

 (2)由题意，即 ，令

当时，

所以实数的取值范围为.   

20. 已知函数（且）为奇函数.

（1）求的值；

（2）求函数的值域；

（3）判断的单调性并证明.

【答案】（1）2（2）（3）详见解析

【解析】试题分析：（1）利用，求得，验证此时为奇函数即可；（2）化简，利用函数单调性及即可得结果；（3）任取

,作差，化简分解因式可得，利用指数函数的性质可得，从而可得结果.

试题解析：(1)因为的定义域为

所以，

当时，可得则为奇函数，所以

(2)因为又

 所以的值域为；

（3）为上的增函数.

证明:对任意的,

因为

所以,,所以为上的增函数.

【方法点睛】本题主要考查函数的值域、奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；

（3）判断的符号， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.

21. 设函数.

（1）求函数的定义域；

（2）若对任意实数，关于的方程总有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】试题分析：（1）对，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法，求解不等式即可得结果；（2）任意实数方程总有解,等价于函数的值域为，的值域为，利用判别式非负，解不等式即可的结果.

试题解析：(1) 由有意义

当时,的定义域为

当时,的定义域为

当时,的定义域为

(2) 对任意实数方程总有解, 等价于函数的值域为则的值域为，则至少有一解,，实数的取值范围

22. 设函数.

（1）判断函数的奇偶性；

 （2）求函数在上的最大值的解析式.

【答案】（1）为非奇非偶函数（2）

【解析】试题分析：（1）当时,可得 ，可得为奇函数，当时,由且，可得为非奇非偶函数；（2）根据二次函数的对称轴与区间之间的关系，对分三种情况讨论，分别结合函数单调性可得函数在上的最大值，从而可得的解析式.

试题解析：(1) 当时,

所以为奇函数;

当时, ,则

所以为非奇非偶函数;

(2) ，

当时,在上是单调递增函数,

当时,

在上是单调递增函数, 在上是单调递减函数.

其中

当时,

当时,

当时,在上是单调递增函数, 在上是单调递减函数.

当时,在上是单调递增函数,

所以函数在上的最大值的解析式