湖北省华中师范大学第一附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题含解析

湖北省华中师范大学第一附属中学2017-2018学年

高一上学期期中考试

数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题）

一、单选题

1．设全集，集合，，则（    ）．

A.     B.     C.     D.

2．下列对应不是映射的是（    ）．

A.     B.     C.     D.

3．已知函数，则等于（    ）

A.     B.     C.     D.

4．函数的零点所在一个区间是（    ）．

A.     B.     C.     D.

5．函数的定义域为（    ）．

A.     B.     C.     D.

6．函数的图象是（ ）

7．若关于的不等式无解，则实数的取值范围是（    ）．

A.     B.     C.     D.

8．已知，则 （    ）

A.     B.     C.     D.

9．若定义在上的函数满足，对任意的，，都有，且当时，，则（    ）．

A. 是奇函数，且在上是增函数    B. 是奇函数，且在上是减函数

C. 是奇函数，但在上不是单调函数    D. 无法确定的单调性和奇偶性

10．已知定义域为的函数满足，当时，单调递减，且，则实数的取值范围是（    ）．

A.     B.     C.     D.

11．已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（    ）．

A.     B.     C.     D. 以上都不对

12．函数的定义域为，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在上为非减函数．设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（    ）．

A.     B.     C.     D.

第II卷（非选择题）

二、填空题

13．函数（且）的图象恒过定点__________．

14．若是奇函数，则常数的值为___________．

15．某同学在研究函数时，给出下面几个结论：

①等式对任意的恒成立；

②函数的值域为；

③若，则一定；

④函数在上有三个零点．

其中正确的结论的序号是___________（写出所有正确结论的序号）．

16．设函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是          .

三、解答题

17．计算：（1）；

（2）.

18．设函数，函数．

（）求函数的值域．

（）若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

19．已知函数．

（）若，求的单调区间．

（）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．

20．一片森林原面积为．计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积的百分比相等．并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的．已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的．

（1）求每年砍伐面积的百分比；

（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

（3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？

21．已知函数，且．

（）求函数在上的单调区间，并给出证明．

（）设关于的方程的两根为，，试问是否存在实数，使得不等式对任意的及恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

22．已知幂函数，满足．

（）求函数的解析式．

（）若函数，，是否存在实数使得的最小值为？

若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

（）若函数，是否存在实数，，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

湖北省华中师范大学第一附属中学2017-2018学年

高一上学期期中考试

数 学 答 案

1．D

【解析】 由，，∴，∴，故选．

2．D

【解析】选项A,B,C中的对应满足映射的条件，即集合M中的元素具有任意性、集合N中的元素具有唯一性。选项D中的元素1与集合N中的两个元素对应，不具有唯一性，故选项D中的对应不是映射。选D。

3．B

【解析】，那么，故选B.

点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

4．B

【解析】 因为函数单调递增，且，，

∴，∴函数在内存在唯一的零点，故选B．

5．B

【解析】 由函数有意义，则满足，

解得，∴综上，即函数的定义域为，故选．

6．D

【解析】试题分析：，故选D．

考点：分段函数．

7．A

【解析】关于的不等式无解，而需要不超过的最小值．

又表示到数轴上的距离．表示到的距离，如图所示，

∴的最小值为，∴，故选．

8．C

【解析】试题分析：因为，又

，所以即

考点：根据对数单调性比较大小

9．B

【解析】 因为，∴令，可得，

令，则，即，∴为奇函数．

令，则．

．

∴，∴为减函数，故选B．

10．B

【解析】由可知关于对称，则．

∵时，单调递减，∴时，单调递增．

又定义域为，∴可得，故选．

11．A

【解析】 因为，∴，∴．

当时，，，得；

当时，．满足题意；当时，，得．

所以，故选．

 点睛：本题考查了函数的恒成立与存在性问题的求解，属于中档试题，解得中把对任意的，总存在，使得，转化为，求出函数，再分类讨论，求出是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．

12．D

【解析】由③得，，∴．

由②．

∵且，．

又在上非减函数，∴，故选．

点睛：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及新定义的理解，要注意对函数新定义的理解是解答的关键，同时把函数的奇偶性和单调性联合运用可以把抽象函数问题转化为具体函数的问题，在一些抽象函数问题中有时需要先探究函数的奇偶性，然后再利用函数的单调性来解决问题是常见的一种解题思路，着重考查了计算能力和转化思想点的应用，属于中档试题．

13．

【解析】当时，不论取大于0且不等于1以外的任何值， 都等于4，因此函数恒过定点.

14．1

【解析】 因为，所以，

因为，所以，

化解得，所以，解得．

15．①②③

【解析】由题意，①项，，故①正确．

②项，当时，，则，

当时，，则，∴值域为，故②正确．

③项，当时，．

当时，，故在上严格单调递增．

∴若，则一定有，故③正确．

④项，当时，．

当时，，故在上单调递减．

，∴函数在上只有一个零点，故④错误．

点睛：本题主要考查了函数的性质的综合应用问题，试题比较综合，属于中档试题，对于函数的基本性质：（1）熟记常见函数的基本性质，这些性质也是研究复合函数单调性的基础与依据，同时注意函数的单调性与奇偶性、周期性的结合应用；（2）注意导数在函数性质中的应用．

16．

【解析】

试题分析：画出函数图象如下图所示，由图可知函数与函数有四个交点时，，函数有个不同的零点，即函数在区间上有两个零点，故需满足不等式组解得.

考点：分段函数零点问题，二次函数根的分布.

【思路点晴】本题考查分段函数零点问题，二次函数根的分布问题.先画出函数的图象，由图象可知，有个函数值相等的地方位于直线之间.故可令，这样只需函数在区间上有两个零点就可以，因为有个不同的，每一个都对应了两个零点，一共就有个零点.

17．（1）－3；（2）．

【解析】试题分析：

试题解析：

（1）原式；

(2)

18．（）；（）

【解析】试题分析：（）把函数化简为，利用基本不等式，即可得到函数的值域；

（）由题意，求得函数的值域 ，使得，列出不等式组，即可求解实数的取值范围．

试题解析：

（）．

∵，

∴．

当时，，

∴．

（）∵，，

∴时，，

∴，．

∴，∴．

19．（）在上单调递增，在上单调递减；（）．

【解析】试题分析：（）代入，令，求得函数的定义域，进而借助复合函数的单调性，即求得函数的单调区间；

（2）若在上是增函数，分和，即可求解实数的取值范围．

试题解析：

（）∵，∴，∴．

∵的对称轴为，

∴在上单调递减，在上单调递减．

（）令的对称轴为．

又∵在上是增函数．

①，∴，∴．

又∵在恒大于，

∴，，∴，∴．

②，

∴，∴．

又∵在上恒大于．

∴，，∴可得（舍），∴综上，．

20．（1）；（2）到今年为止，已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年．

【解析】试题分析：（1）根据每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，设每年砍伐面积的百分比为x 可建立方程，解之即可得到每年砍伐面积的百分比；

（2）设经过m年剩余面积为原来的．根据题意：到今年为止，森林剩余面积为原来的．可列出关于m的等式，解之即可；

（3）根据题意设从今年开始，以后砍了n年，再求出砍伐n年后剩余面积，由题意，建立关于n的不等关系，利用一些不等关系即可求得今后最多还能砍伐多少年．

解：（1）设每年砍伐面积的百分比为x （ 0＜x＜1）．则，

即，解得

（2）设经过m年剩余面积为原来的，则，

即，，解得m=5

故到今年为止，已砍伐了5年．

（3）设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为

令≥，即（1﹣x）n≥，≥，≤，

解得n≤15

故今后最多还能砍伐15年．

考点：函数模型的选择与应用．

21．（）见解析；（）或

【解析】试题分析：根据，求解，可得解析式，利用定义即可证明；

（2）由，可得，利用韦达定理求得的范围，转化为一个新函数在恒成立，即可求解实数的取值范围．

试题解析：

（），∴，∴，

令，解得，

在上任取，且，

则

．

∵，∴，．

当时，，

∴，

在上单调递减，

当时，，，

∴在上单调递增．

（），则，

整理得．∴，

∴ ．

∵，∴．

∵对于任意的，，恒成立，

∴对于任意的恒成立．

即对于任意的恒成立．

∴，解得或．

点睛：本题主要考查了函数的单调性的判定与应用，函数最值的求解，以及不等式的恒成立问题，试题比较综合，属于中档试题，利用韦达定理求得 的范围，把对于任意的，恒成立转化为在 恒成立是解答关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．

22．（）；（）；（）

【解析】试题分析：（1）根据幂函数是幂函数，可得，求解的值，即可得到函数的解析式；

（2）由函数，利用换元法转化为二次函数问题，求解其最小值，即可求解实数的取值范围；

（3）由函数，求解的解析式，判断其单调性，根据在上的值域为，转化为方程有解问题，即可求解的取值范围．

试题解析：

（）∵为幂函数，∴，∴或．

当时，在上单调递减，

故不符合题意．

当时，在上单调递增，

故，符合题意．∴．

（），

令．∵，∴，∴，．

当时，时，有最小值，

∴，．

②当时，时，有最小值．∴，（舍）．

③当时，时，有最小值，

∴，（舍）．∴综上．

（），

易知在定义域上单调递减，

∴，即，

令，，

则，，∴，∴，

∴．

∵，

∴，∴，∴，

∴．

∵，∴，∴，

∴ ．∴．

点睛：本题主要考查了幂函数的解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质等知识点的综合应用，其中熟记一元二次函数的图象与性质是解答的关键，试题综合性强，属于难题，考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识．