广东省六校2016-2017学年高一上学期期中联考数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 

2016-2017学年上学期期中六校联考

高一数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1. 已知全集，集合，，则（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】试题分析：由题意得，所以，故选C．

考点：集合的运算．

2. 下图分别为集合到集合的对应，其中，是从到的映射的是（    ）．

A. （）（）    B. （）（）（）    C. （）（）（）    D. （）（）（）（）

【答案】A

【解析】（）（）中的每一元素满足在中有唯一确定的元素和它们相对应，故（）是映射，

（）中元素在中有两个元素和它对应，不满意映射定义，故（）不是映射，

（）中元素在中有两个元素和它对应，且元素无元素和它对应，故（）不是映射．

故选．

3. 函数的零点所在的区间是（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】试题分析：解：∵函数f（x）=2x+3x是R上的连续函数，且单调递增，f（-1）=2-1+3×（-1）=-＜0，f（0）=20+0=1＞0，∴f（-1）f（0）＜0．∴f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间为（-1，0），故答案为 （-1，0）．选B.

考点：函数零点

点评：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。

视频

4. 下列所示的图形中，可以作为函数的图像是（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】作直线与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，

∴是的函数，那么直线移动中始终与曲线只有一个交点，于是可排除，，，．

只有符合．

故选．

5. 已知，，，则，，的大小关系是（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】A

故选A.

6. 已知函数的值域为，则（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】，

由题意，得，，，，

∴，

．

故选．

7. 已知函数，若，则（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】，，所以．

故选．

8. 若集合，则（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】，解得，即，

所以为．

故选．

9. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】因为在上单调递增，

所以，解得，．

故选．

点睛：本题考查分段函数的单调性，解决本题的关键是熟悉指数函数，一次函数的单调性，确定了两端函数在区间上单调以外，仍需考虑分界点两侧的单调性，需要列出分界点出的不等关系.

10. 对于任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，例如；；即函数叫做“取整部分”，它在数学本身和生产实践中有广泛应用，那么的值为（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由于，有个，

，有个，

，有个，

∴．

故选C.

11. 已知函数是定义在区间上的偶函数，当，是减函数，如果不等式成立，则实数的取值范围是（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】A

考点：函数的奇偶性与单调性.

12. 用表示，，三个数中的最大值，设，，则取得最小值时所在的区间为（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】分别作出，，在的图象，

函数，的图象为如图中的实线部分．

由图象可得的最低点为，即为和的交点，

设的横坐标为，，在递增，，，

由函数的零点存在定理可得，．

故选．

点睛：本题利用数形结合思想很好的解释了题中新函数表示，，三个数中的最大值的意义.

函数取最小值，涉及到两函数的交点的求解，但是和联立不好求解，于是可以利用零点存在定理可以找到零点的所在的区间.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】，解得．

故答案为：.

点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求

(1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．

(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.

(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．

14. 已知幂函数的图像经过点，则函数的解析式为__________．

【答案】

【解析】幂函数的图象经过点，

所以，解得：，所以函数．

故答案为：．

15. 若，，那么__________．

【答案】15

【解析】令，解得，当时，，所以．

故答案为：15.

16. 设函数是定义在上的偶函数，且对任意恒有，已知当，，则下列命题：

①是函数的周期；

②函数在上递减，在上递增；

③函数的最大值是，最小值时是；

④当，．

其中，正确的命题的序号是__________．

【答案】①②④

【解析】∵对任意的恒有，

∴则的周期为，故①正确；

∵函数是定义在上的偶函数，当时，，

∴函数在上是增函数，函数在上是减函数，所以在上递减，在上是增函数，故②正确；

∴函数的最大值是，最小值为，故③不正确；

设，则，，故④正确．

故答案为：①②④．

三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答须写出说明．证明过程和演算步骤．

17. 计算下列各式的值：

（）．

（）．

【答案】（1）；（2）3.

【解析】试题分析：（1）由已知利用指数性质、运算法则求解．
（2）由已知利用对数性质、运算法则求解．

试题解析：

（）原式（或写成）．

（）原式．

18. 已知集合，．

（）当时，求．

（）若，求实数的取值集合．

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据两个集合的交集的定义求出A∩B．
（2）根据B⊆A，分B=∅时和B≠∅时两种情况，分别求得m的范围，再取并集，即得所求．

试题解析：

（），

当时，，

．

（）当时，，所以满足题意；

当时，由题意，解得．

综上知：实数的取集合．

19. 已知函数为奇函数，当，．

（）求当时，函数的解析式．

（）设，作出的图像，并由图指出的单调区间和值域．

【答案】（1）；（2）单调增区间为，单调减区间，值域为.

【解析】试题分析：（1）由奇函数可得当时，，则，即可得解；

（2）根据分段函数的解析式得到图象，由图像可得单调区间和值域.

试题解析：

（）当时，，则，

∵为奇函数，

∴，

∴，

∴当时，函数的解析式为．

（）

由图得单调增区间为，单调减区间，值域为．

20. 已知函数．

（）判断并证明函数的奇偶性．

（）判断并用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集．

【答案】（1）奇函数；（2）.

【解析】试题分析：（1）的定义域为，关于原点对称，进而验证可得函数为奇函数；

（2）任取，，且，判断的正负可得单调性，从而根据函数单调性解不等式即可.

试题解析：

（）是奇函数，

证明如下：的定义域为，关于原点对称，

，

∴，

所以为奇函数．

（）在上为增函数．

证明：任取，，且，

则，

∵，，且，

∴，，，

∴即，

∴在上为增函数，

∵在上为增函数且，

∴，

∴，

即的解集为．

点睛：本题主要考查函数函数单调性的证明与应用，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.

21. 某创业投资公司拟开发某种新能源产品，估计能获得万元到万元的投资利益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过收益的．

（）请分析函数是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因．

（）若该公司采用函数模型作为奖励函数模型，试确定最小正整数的值．

【答案】（1）；（2）328.

【解析】试题分析：

（1）题意要求且，当时，验证此式，发现不合要求；故不符合要求.

（2）对函数，通过单调性得出的最大值，由最大值得一个范围，又由恒成立，又得一个范围，两者的交集就是我们所求的答案.

试题解析：

 (1)对于函数模型

当时,为增函数,

,   所以恒成立,

但当时,,  即不恒成立,

故函数模型不符合公司要求

(2)对于函数模型,  即

当,即时递增,

为使对于恒成立,  即要,即,

为使对于恒成立, 即要,

即恒成立,  即恒成立,

又 ,  故只需即可,所以

综上,,  故最小的正整数的值为.

22. 已知函数，．

（）当时，求在区间上的最大值和最小值．

（）解关于的不等式．

（）当时，若存在，使得，求实数的取值范围．

【答案】（1）最大值为4，最小值为-5；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）时，函数在上是减函数，在上是增函数，从而得最值；

（2）不等式，即，进而讨论解不等式即可；

（3）时，为开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为，只需即可.

试题解析：

（）时，函数在上是减函数，在上是增函数，

所以当时，有最大值，且，

当时，有最小值，且．

（）不等式，即，

当时，解得，

当时，的两根为和，

当时，，不等式的解集为：或，

当时，，

所以当时，，不等式的解集为：，

当时，不等式的解集为：，

当时，，不等式的解集为：，

综上所述：当时，，不等式的解集为：或；

当时，不等式的解集为：；

当时，，不等式的解集为：；

当时，不等式的解集为：；

当时，不等式的解集为：．

（）时，为开口向下的抛物线，

抛物线的对称轴为，

若存在，使得，则，

即，解得或，

综上所述：的取值范围是．

点睛：函数的存在性问题可转化为函数的最值问题处理，存“在，使得成立，等价于”， “在，使得成立，等价于”，当的最值不存在时，可用函数值域的端点值代替，但要注意等号能否取得