辽宁省重点高中协作校2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

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数学试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.设，，则等于（   ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

考点：集合交集.

【易错点晴】质数是只能被和本身整除的数，是从开始的.集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.

2.若且，那么函数与的图象关于（   ）

A．原点对称 B．直线对称           C．轴对称            D．轴对称

【答案】B

【解析】

试题分析：同底的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于对称.

考点：指数函数和对数函数图象.

3.无论取何值，函数的图象必过（   ）点

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

试题分析：当时，函数值恒为，故定点为.

考点：指数函数图象过定点.

4.下列四组函数中，表示同一函数的是（   ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

考点：定义域与值域.

5.已知是一次函数，且，，则的解析式为（   ）

A． B．         C． D．

【答案】A

【解析】

试题分析：设一次函数，依题意有， ，联立方程组，解得，所以.

考点：待定系数法求解析式.

6.下列说法正确的是（   ）

A．对于任何实数，都成立

B．对于任何实数，都成立

C．对于任何实数，，总有

D．对于任何实数，，总有

【答案】A

【解析】

试题分析：当时，，故B错误；C，D都不满足对数运算；A选项正确.

考点：指数运算.

7.已知集合，，则从集合到集合的映射可能有（   ）种

A．6 B．8 C．9 D．12

【答案】C

考点：映射.

8.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

试题分析：A的指数大于零，故在上递增，B，C不是偶函数，故选D.

考点：函数的单调性与奇偶性.

9.函数（）的值域是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

试题分析：分离常数得，因为，所以.

考点：值域.

10.已知是函数的一个零点，若，，则有（   ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】

试题分析：函数是增函数，故.

考点：零点.

11.下列四个命题：

（1）函数在时是增函数，时也是增函数，所以是增函数；

（2）若，且，则；

（3）函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是；

（4）的减区间为．

其中正确的个数是（   ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

考点：函数的单调性.

【思路点晴】本题主要考查函数的单调性.（1）是考查单调性的定义，如，在和上都是递减的，但是在整个定义域上不是递减的.（2）考查了对数函数的值域，当底数大于零小于一且真数大于一时，对数值是小于零的.（3）考查了二次函数单调性问题，主要突破口在于开口方向和对称轴.（4）考查了复合函数的单调性，首先要求出定义域，然后利用同增异减来求得减区间.

12.已知函数，，对于不相等的实数，，设，

，则下列说法正确的有（   ）

①对于任意不相等的实数，，都有；

②对于任意不相等的实数，，都有；

③存在不相等的实数，，使得．

A．① B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】B

【解析】

试题分析：表示函数图象上任意两点连线的斜率，同理表示函数图象上任意两点连线的斜率.由于是减函数，所以①正确；左减右增，所以②错误；由于两个函数图像有两个交点，此时这两个交点连线斜率相同，故③正确.

考点：函数的单调性.

【思路点晴】本题主要考查指数函数的单调性，二次函数的单调性.是单调递减函数，是二次函数，且左减右增. ，的几何意义表示的是函数图象上任意两点连线的斜率. 由于是减函数，所以①正确；左减右增，所以②错误；由于两个函数图象有两个交点，此时这两个交点连线斜率相同，故③正确.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13.设的图象在区间上不间断，且，用二分法求相应方程的根时，若

，，，则取有根的区间为               ．

【答案】

考点：二分法.

14.设函数的定义域为，则函数的定义域为        ．

【答案】

【解析】

试题分析：，所以.

考点：定义域.

【思路点晴】求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于；④含，则；⑤含，则

.对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域，则复合函数的定义域由不等式得到.

15.若函数为奇函数，则           ．

【答案】

考点：函数的奇偶性.

【思路点晴】判断函数奇偶性，首先判断函数的定义域是否关于原点对称．若定义域关于原点对称，则 在定义域的条件下对函数式进行适当的化简最后判断与间的关系(相等还是互为相反数)；若定义域不关于原点对称，则不具有奇偶性．对于分段函数的奇偶性应分段判断．也可以利用，或等于零来判断.

16.设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，

同时成立，则正整数的最大值是            ．

【答案】

【解析】

试题分析：，则；，则；，则；，则；，则；其中，由此可得时，可以找到实数，使，但当时，上述区间没有公共部分，故的最大值为.

考点：取整函数.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知集合，集合．

（1）对于区间，定义此区间的“长度”为，若的区间“长度”为3，试求实数的值；

（2）若，试求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

考点：定义域，值域，子集.

18.化简：（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）；

（2）.

试题解析：

（1）；

（2）2

考点：对数和指数运算.

19.设全集，，，其中，如果

，求的取值范围．

【答案】.

试题解析：

由题意，

因为，所以，

当时，当时符合题意，

当，，即，解得，符合题意；

当时，当中只有一个元素时，

，即，解得（舍），，

检验，此时，符合题意；

当中有两个元素时，由题意，将，代入方程可知此时无解．

综上所述，的取值范围为．

考点：集合交集，并集和补集.

20.如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成．

（1）求的解析式；

（2）比较与的大小；

（3）已知，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）.

试题解析：

（1）由题意得解得∴

因为，所以，即．

（3）由题意，

所以解得，

所以的取值范围是．

考点：函数的单调性.

21.某产品关税与市场供应量的关系近似地满足：（其中为关税的税率，且

，为市场价格，，为正常数），当时，市场供应量曲线如图所示：

（1）根据函数图象求，的值；

（2）若市场需求量，它近似满足．当时的市场价格为均衡价格，为使均衡价格控

制在不低于9元的范围内，求税率的最小值．

【答案】（1）；（2）.

试题解析：

考点：函数实际应用.

【方法点晴】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．利用图象上点的坐标待定系数，利用分离参数法求的最值.

22.已知函数（，）和函数（，，）．

问：（1）证明：在上是增函数；

（2）把函数和写成分段函数的形式，并画出它们的图象，总结出的图象

是如何由的图象得到的．请利用上面你的结论说明：的图象关于对称；

（3）当，，时，若对于任意的恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）理由见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用单调区间定义法，计算，所以函数为增函数；（2）根据绝对值的意义，有.的图象是由的图象向右平移个单位得到的，因此，函数图象，是由向右平移个单位得到，故图像关于对称；（3）当，，时，若等价于对于任意的恒成立，根据去绝对值，分类讨论的取值范围.

试题解析：

（1）在内任取两个实数，，且，则，

，

因为，，所以，又有，所以，

所以在是增函数．

（2）

的图象是由的图象向右平移1个单位得到的，

先考虑函数（，），

在的定义域内任取一个实数，则也在其定义域内，

因为，所以函数是偶函数,

即其图象的对称轴为，

由上述结论，的图象是由的图象向右平移个单位得到，

所以的图象关于对称．

结合以上两种情况．

当时，不等式，

即对于任意恒成立，

由题意进而对称轴，

所以，即，解得，

所以．

综上所述，的取值范围为．

考点：单调性的证明，函数图象与性质.

【方法点晴】本题主要考查利用定义法证明单调性，考查函数图象平移变换. 若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有

，那么就说函数在区间上是减函数.的图像可经过平移、伸缩或对称变换得到.