四川省广安代市中学校2021-2022学年上学期高二第三次月考数学（文）试卷

高二第3次月考

数学（文科）试题

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．直线过点，，则直线的倾斜角为（    ）

  A．          B．          C．          D．

2．经过圆：的圆心，并且与直线垂直的直线方程（    ）

  A．                       B．        

  C．                       D．

3．在空间直角坐标系，点关于平面对称的点为（    ）

  A．       B．        C．       D．

4．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生总人数是（    ）

  A．                 

  B．                       

  C．          

  D．

5．以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为（    ）

  A．      B．      C．       D． 

6．已知直线：，：，若，则为（    ）

  A．          B．           C．          D．或

7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为（    ）

A．＝0.4x＋2.3       B.＝2x－2.4     C.＝－2x＋9.5   D.＝－0.3x＋4.4

8．已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（    ）

  A．           B．         C．          D．

9．直线：被圆：截得的最短弦的长度为（    ）

  A．      B．      C．     D．

10．设两条直线的方程分别为，，若，是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（    ）

  A．，       B．，      C．，       D．，

11．已知点是双曲线：上任意一点，，是曲线的两个焦点，若，则的取值范围为（    ）

  A．    B．     C．     D．

12．椭圆的中心在原点，左右焦点在轴上，分别是椭圆的上顶点和右顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率等于 （    ）

A．                B．             C．              D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卡中的横线上．

13．某工厂生产，，三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽出容量为的样本，样本中型产品有件，那么样本容量为______。

14．已知椭圆的焦距为8，离心率为0.8，则椭圆的标准方程为_______________________。

15．在平面直角坐标系中，以直线为渐近线，且经过抛物线焦点的双曲线的方程是         。

16．已知椭圆，，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线，的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为________。

三．解答题：本大题共4小题，17小题10分，18-22题每小题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图。

（1）求直方图中的a值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；

（3）估计居民月均用水量的中位数。

18．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据：

（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；并指出是否线性相关；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

（3）已知该厂技术改造前吨甲产品能耗为吨标准煤，试根据求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

（参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式:

）

19．（12分）已知抛物线的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点。

（Ⅰ）当时，求点P的坐标；

（Ⅱ）求点P到直线的距离的最小值。

20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB，PD的中点。

（1）求证：PB∥平面FAC；

（2）求三棱锥P﹣EAD的体积。

21．（12分）过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点。

(1)求|AB|；

(2)求△AOB的面积。

22．（12分）已知椭圆焦点在x轴上，下顶点为D(0，－1)，且离心率．直线L经过点P (0，2)。

 (1)求椭圆的标准方程；

（2）若直线L与椭圆相切，求直线L的方程；

（3）若直线L与椭圆相交于不同的两点M、N，求三角形DMN面积的最大值。

数学

1—5：C D B C D      6—10：C A A A D     11—12：A D

13．        14．        15．       16．

17．17.（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.

同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.

由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，

解得a=0.30.

（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000.

（Ⅲ）设中位数为x吨.

因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，

而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5

资*源%库 ziyuanku.com所以2≤x<2.5.

由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.

故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.

18．（1）散点图见解析；（2）；（3）.

试题解析：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图如图：

由图可知出是线性相关.......................................................................................................................4分

（2）由对照数据，计算得，，，回归方程系数为 ，

,所求线性回归方程为 .................................................................10分

（3）由（2）的线性回归方程，估计生产吨甲产品的生产能耗为（吨），吨，预测比技改前降低了吨标准煤.........................................................................................................12分

20.证明：（Ⅰ）连接BD，与AC交于点O，连接OF，

在△PBD中，O，F分别是BD，PD的中点，

所以OF∥PB，

又因为OF⊂平面FAC，PB⊄平面FAC，

所以PB∥平面FAC．

解：（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA为棱锥P﹣ABD的高．

因为PA=AB=2，底面ABCD是正方形，

所以=，

因为E为PB中点，所以S△PAE=S△ABE，

所以．

21．解析：(1)由双曲线的方程得a＝，b＝，  xXa

所以c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)。

直线AB的方程为y＝(x－3)。

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

得5x2＋6x－27＝0。

所以x1＋x2＝－，x1x2＝－。

所以|AB|＝|x1－x2|

＝

＝·＝。

(2)直线AB的方程变形为x－3y－3＝0。

所以原点O到直线AB的距离为d＝＝。

所以S△AOB＝|AB|·d＝××＝。

22. （12分）解：(Ⅰ$来&源：ziyuanku.com)设椭圆方程为由已知得，

又，∴

即椭圆方程为……………………………………………………………………2分

 (Ⅱ) 当直线L的斜率不存在时，显然不成立。可设直线L方程为：

由消去y整理得，

又得，

∴直线L方程为：…………………………………………………4分

（Ⅲ）设，由(Ⅱ) ，……6分

又……………………8分

又PD=3，∴…………………………………………………………………11分

当，的最大值为…………………………………………………………12分

（其他解法酌情给分）